第47课 基本不等式及其应用.pdf

专业文档第第 4747 课课 基本不等式及其应用基本不等式及其应用(本课时对应学生用书第页)自主学习自主学习回归教材回归教材41.(必修5P98例1改编)若x0，则x+x的最小值为.【答案】【答案】444【解析】【解析】因为x0，所以x+x4，当且仅当x=x，即x=2时取等号.ba2.(必修5P98例1改编)设a，b均为正数，则a+b的最小值为.【答案】【答案】2b ababa【解析】【解析】因为a，b为正数，所以a+b2a b=2，当且仅当a=b，即a=b时取等号.13.(必修5P105习题10改编)函数y=x+x1(x-1)的值域为.【答案】【答案】1，+)11【解析】【解析】因为x-1，所以x+10，所以y=x+x1=x+1+x1-12-1=1，当且仅当x=0时取等号，1所以函数y=x+x1(x-1)的值域为1，+).44.(必修5P105习题9改编)函数y=2-x-x(x0)的最大值为.【答案】【答案】-2珍贵文档专业文档4444xxxx=2-4=-2，当且仅当x=x，2-2x【解析】【解析】因为x0，所以y=2-x-=2-即x=2时取等号.115.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x+2y=1，那么x+y的最小值为.【答案】【答案】3+22【解析】【解析】因为x0，y0，x+2y=1，11所以x+y 11 2y x2yxxy22xy(x+2y)=1+2+x+y3+2=3+22，当且仅当x=2y时取得最小值3+22.a b1.基本不等式的定理表达式为ab2(a a0，0，b b0)，当且仅当0)，当且仅当a a=b b时取“=”时取“=”.2.应用基本不等式求最值时应注意的问题是一正；二定；三相等一正；二定；三相等.3.与基本不等式相关的重要不等式：(1)a a+b b22abab(a a，b bR)R)；2 22 2ba(2)a+b2(2(abab0)0)；a2b2a b22(a a，b bR)R).(3)a b4.基本不等式ab2(a0，b0)的两个等价变形：a b 2(当且仅当当且仅当a a=b b时取“=”)时取“=”)；(1)abab2珍贵文档专业文档(2)a a+b b22ab(当且仅当当且仅当a a=b b时取“=”)时取“=”).【要点导学】【要点导学】要点导学要点导学各个击破各个击破利用基本不等式证明利用基本不等式证明bccaab例1已知a0，b0，c0，求证：a+b+ca+b+c.【思维引导】【思维引导】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.【解答】【解答】因为a0，b0，c0，bc cabccaab=2c；所以a+b2bc abca abbcabcaabacbc=2a.a+c2=2b；b+c2bccaabbc2(a+b+c)，以上三式相加得2abccaab即a+b+ca+b+c，当且仅当a=b=c时取等号.【精要点评】【精要点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值微课微课1111珍贵文档专业文档 问题提出 问题提出从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求积的最值、和的最值时，基本不等式焕发出强大的生命力，它是解决最值问题的强有力工具.我们结合例2谈谈运用基本不等式求最值有哪些方法技巧.典型示例 典型示例例2(2015南通期末)如图所示，已知函数y=a+b0)的图象经过点 P(1，3)，则x41a-1+b的最小值为.(例2)【思维导图】【思维导图】9【答案】【答案】2【规范解答】方法一：【规范解答】方法一：(基本不等式法)由图可知a1，点(1，3)在函数y=a+b的图象上，x 411411a-1b=2(a-所以a+b=3，且1a3，0b2.所以a-1+b=224ba-19 4114ba-1725a-1b2a-1b2.当且仅当a-1=b，即a=3，b=3时取等号，所1)+b=419以a-1+b的最小值为2.珍贵文档专业文档4141方法二：方法二：(判别式法)由方法一可知a+b=3，1a3，0b2+2=2.，所以u2.当a=3，b=3时，419419u=a-1+b=2，所以a-1+b的最小值为2.a-1 b方法三：方法三：(三角代换法)由方法一可知a+b=3，且1a3，0b0，则b+a2(当且仅当a=b时取“=”).珍贵文档专业文档ababab若ab0，则ba2，即b+a2或b+a-2(当且仅当a=b时取“=”).a b a2b222(当且仅当a=b时取“=”).(4)若a，bR R，则 题组强化 题组强化241.已知x0，那么y=2+x+x的最大值是.【答案】【答案】-244 4(-x)(-x)(-x)(-x)2-2【解析】【解析】因为x0，所以y=2+x+x=2-=-2，44当且仅当-x=-x，即x=-2时取等号，所以y=2+x+x的取大值为-2.xy2.(2015福建卷)若直线a+b=1(a0，b0)过点(1，1)，则a+b的最小值为.【答案】【答案】4a b 1111abab=1+b+a+12+2b a=4，【解析】【解析】依题意有a+b=1，所以a+b=(a+b)当且仅当a=b=2时等号成立.3.(2014重庆卷改编)若log4(3a+4b)=log2ab，则a+b的最小值是【答案】【答案】7+43【解析】【解析】由log4(3a+4b)=log243ab，得3a+4b=ab，则a+b=1，4b 3a 434b3a4b3a所以a+b=(a+b)ab=7+a+b7+2ab=7+43，当且仅当a=b，即a=4+23，b=23+3时等号成立，故其最小值是7+43.珍贵文档专业文档ab224.(2015无锡期末)已知正实数a，b满足9a+b=1，则3a b的最大值为.2【答案】【答案】12ab9a2b223ab2ab6 2=12，当且仅当3a=b时等号成【解析】方法一：【解析】方法一：3a b2 3ab=6 2立，222ab22又因为9a+b=1，a0，b0，所以当a=6，b=2时，3a b取得最大值为12.3a cos，ab1sincos0，b sin，2，则3a b=3cossin.令t=cos +sin方法二：方法二：令42.=sin2 3，1，0，42因为 2，所以+444，则sin，(cossin)2-1ab11t2-1112所以t(1，2，所以3a b=3cossin=6t=6（t-t）.21ab因为y=t-t在t(1，2上单调递增，所以当t=2时，3a b取得最大值为12.5.(2015重庆卷)设a0，b0，a+b=5，则a 1+b3的最大值为.【答案】【答案】32【解析】【解析】(a1)2(b3)222(a 1+b3)=a+b+4+2a 1b39+2=9+a+b+4=18，73当且仅当a+1=b+3且a+b=5，即a=2，b=2时等号成立，所以a 1+b332.珍贵文档专业文档利用基本不等式解恒成立问题利用基本不等式解恒成立问题例3已知对一切实数x，不等式x+a|x|+10恒成立，求实数a的取值范围.21|x|2|x|恒成立，而【解答】【解答】因为对一切实数x，不等式x+a|x|+10恒成立，所以a-1 1|x|x|x|-2，所以a-2，|x|+2，-即实数a的取值范围为a|a-2.【精要点评】【精要点评】分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或某个函数的最值问题.4变式变式(1)设k0，若关于x的不等式kx+x-15在(1，+)上恒成立，则k的最小值为.1，2(2)已知xlnx-(a+1)x+10对任意的x2恒成立，那么实数a的取值范围为.【答案】【答案】(1)1(2)(-，04【解析】【解析】(1)原不等式变为k(x-1)+x-15-k，4因为x1，所以x-10，所以k(x-1)+x-14k，2所以4k5-k，即(k)+4k-50，解得k1，所以k1，即k的最小值为1.1，2(2)原不等式等价于ax1-x+xlnx，x2，11-x1-x，22，所以ax+lnx.令f(x)=x+lnx，x珍贵文档专业文档1 x-1，12则f(x)=x，当x2时，f(x)0，所以当x=1时，f(x)min=f(1)=0，所以a0.【精要点评】【精要点评】(1)恒成立问题常常用分离参数的方法转化问题；(2)通过构造新函数求最值，从而求出参数的取值范围.21.若x-3，则x+x3的最小值为.【答案】【答案】22-3222(x3)x3-3=22-3.【解析】【解析】因为x-3，所以x+30，x+x3=x+3+x3-32a2.(2015苏锡常镇二模)已知常数a0，函数f(x)=x+x-1(x1)的最小值为3，则a的值为.【答案】【答案】1a【解析】【解析】因为f(x)=x-1+x-1+1，且x-10，所以f(x)2a+1=3，当且仅当x-1=a，即x=a+10时取等号，此时a=1.3.(2015天津卷)已知a0，b0，ab=8，则当a的值为时，log2alog2(2b)取得最大值.【答案】【答案】4log2a log2(2b)112=4log2(2ab)2=4(log216)2=4，【解析】【解析】log2alog2(2b)2珍贵文档专业文档当a=2b时取等号，结合a0，b0，ab=8，可得a=4，b=2.124.(2015湖南卷)若实数a，b满足a+b=ab，则ab的最小值为.【答案】【答案】2212b 2a【解析】方法一：【解析】方法一：由题设得a+b=ab=ab，abab=b+2a22 ab，当且仅当b=2a=2时，等号成立，所以ab22.54212方法二：方法二：ab=a+b2ab，即ab22，当且仅当b=2a=2时，等号成立.54a22b25.(2015苏州期末)已知a，b为正实数，且a+b=2，则a+b1的最小值为.2 2【答案】【答案】2+3【解析】【解析】设b+1=c，则b=c-1，a+c=3，且0a2，1c1时，函数y=x+x-1的最小值是.142.已知正数x，y满足x+y=1，那么x+y的最小值为.3.若x+2y=1，则2+4 的最小值为.4.(2015宿迁一模)若a-ab+b=1，a，b是实数，则a+b的最大值是.22xy335.(2014扬州中学)设x，y均为正实数，且2 x+2 y=1，则xy的最小值是.6.某公司一年购买某种货物200t，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买t.珍贵文档专业文档1927.设二次函数f(x)=ax-4x+c(xR R)的值域为0，+)，则c1+a9的最大值为.428.(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数x，y满足x+x+3y+y=10，则xy的取值范围为.二、二、解答题解答题3x-y-60，x-y20，x 0，y 0，9.已知变量x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0，b0)的最大值为12，求23a+b的最小值.10.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3m，AD=2m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第10题)a211.(2015苏锡常镇二模)已知a，bR R，a0，曲线y=x，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间3，4上至少有一个公共点，求a+b的最小值.22珍贵文档专业文档三、三、选做题选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)x2 y212.(2015南京、盐城一模)若实数x，y满足xy0，且log2x+log2y=1，则x-y的最小值为.114x9y13.(2015镇江期末)已知正数x，y满足x+y=1，则x-1+y-1的最小值为.【检测与评估答案】【检测与评估答案】第47课基本不等式及其应用111(x-1)x-1+1=3，当且仅当x-1.3【解析】【解析】因为x1，所以y=x+x-1=(x-1)+x-1+1211=x-1，且x1，即x=2时等号成立，故函数y的最小值为3.142.9【解析】【解析】x+y 14 y4xy4xxy=xy(x+y)=1+x+y+45+2=5+22=9，当且仅当12x=3，y=3时取等号.x2yx2yxyx2y3.22【解析】【解析】易知2+4=2+2 22 2=2211=22，当且仅当x=2，y=4时，等号成立.珍贵文档专业文档3(ab)2222244.2【解析】方法一：【解析】方法一：因为a-ab+b=1，即(a+b)-3ab=1，从而3ab=(a+b)-1，即(a+b)4，所以-2a+b2，所以(a+b)max=2.方法二：方法二：令u=a+b，与a-ab+b=1联立消去b得3a-3au+u-1=0，由于此方程有解，从而有=9u-12(u-1)0，即u4，所以-2u2，所以(a+b)max=2.2222222233xy+8，5.16【解析】【解析】因为x，y均为正实数，2 x+2 y=1，所以8+x+y=xy，xy2(xy-4)(xy+2)0，xy4，xy16，即xy的最小值是16.2006.20【解析】【解析】设每次都购买x t，则需要购买x次，则一年的总运费为200400 x2=x(万元)，一年的存储费用为x万元，则一年的总费用为400400400 xx+x2x=40，当且仅当x=x，即x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t.67.5【解析】【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为0，+)，则a0，且=16-194ac=0，即ac=4.欲求c1+a9的最大值，利用前面关系，建立59ca183619a13(c1)(a9)f(a)=c1+a9=1+a，由553636362a 136a13af(a)=1+a1+=5，当且仅当a=a，即a=6时取等号.珍贵文档专业文档tt2y4 81，8.3【解析】方法一：【解析】方法一：令t=xy，则x=y，于是y+t+3y+y=10，所以1 2 2833(t 4)y+(t+4)y2t10=t，解得1t3.t 41 228433y=(t+4)y时，得y2=t当t.当t=1时，y=1，x=1；当t=3时，y=3，x=2.所以81t3为所求.4t23t412tx-10 x+2+3t=0，由=100-方法二：方法二：令t=xy，则y=x，于是x+x+x+tx=10，可得481t(2+3t)0，得1t3.49.作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线z=ax+by(a0，b0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a0，b0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而23a+b 23 2a3b13 ba 1325ba6ab6ab6+2=6，当且仅当a=b，即a=b=5时取等号.6=+2325故a+b的最小值为6.(第9题)10.(1)设AN=x m(x2)，则ND=(x-2)m.珍贵文档专业文档NDANx-2x因为DC=AM，即3=AM，3x所以AM=x-2.3x23(x-2)212(x-2)1212x-2所以S矩形AMPN=x-2=3(x-2)+x-2+12236+12=24，当且仅当x=4时取等号，即当AN=4 m时，矩形AMPN的面积最小，为24 m.21212(2)由(2)知S矩形AMPN=3(x-2)+x-2+12(x6)，令x-2=t(t4)，则f(t)=3t+t+12.因为12122f(t)=3-t，当t4时，f(t)0，所以f(t)=3t+t+12在区间4，+)上单调递增，所以f(t)min=f(4)=27，此时x=6.即当AN=6 m时，矩形AMPN的面积最小，为27 m2.a 2211.令x=ax+2b+1，可得ax+(2b+1)x-a-2=0.方法一：方法一：把等式看成关于a，b的直线方程(x-1)a+2xb+x-2=0，由于直线上一点(a，b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离，2|x-2|22(x2-1)2(2x)2a b即，1(x-2)25x-2422222x-2(x-1)(2x)，所以a+b=52322因为x-2+x-2在x3，4是减函数，上述式子在x=3，a=-25，b=-50时取等号，故a+b的1最小值为100.方法二：方法二：令a+b=t(t0)，所以a=tcos ，b=tsin.2222a 2因为x=ax+2b+1，所以ax+(2b+1)x-(a+2)=0，2珍贵文档专业文档所以tcos x+2xtsin+x-tcos-2=0，所以(tx-t)cos+2xtsin=2-x，22|2-x|所以(tx2-t)2(2xt)2|2-x|2sin(+)=2-x，所以|sin(+)|=(tx2-t)2(2xt)21，|x-2|2(x-1)4x(x 1)所以t=x 1.2222|x-2|下同方法一.12.4【解析】【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2.因为xy0，所以x-y0，所以x2 y2(x-y)22xy4x-y=x-y=x-y+x-y24=4，当且仅当x-y=2，即x=3+1，y=3-1时取等号.9114x9y4x1-14x413.25【解析】【解析】因为y=1-x，所以x-1+y-1=x-1+y=x-1+9x=4+x-1+9(x-14141)+9=13+x-1+9(x-1).又因为y=1-x0，所以x1，同理y1，所以13+x-1+9(x-54x9y1)13+249=25，当且仅当x=3时取等号，所以x-1+y-1的最小值为25.珍贵文档