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一、不等式及其性质【学习目标】1了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；2.理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；3理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式用“表示不等关系的式子也是不等式要点诠释：（1）不等号“”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大（2）五种不等号的读法及其意义：意义它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定“”读作“不等于”哪读作“小于”表示左边的量比右边的量小读作“大于”表示左边的量比右边的量大读作“小于或等即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“”于”读作“大于或等 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量“”于”（3）有些不等式中不含未知数，如3-2；有些不等式中含有未知数，如2x5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合 不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立类型一、不等式的概念例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式（1）40；（3）x2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a4a-2“”变式练习：1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27，最低气温为18，已知某一天的气温为t，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A18t27B18t27C18-5；x-1；13y-40 x=3；x-1；C4个303.（2017春?南山区校级月考）下面给出了6x+23；2x0；其中不等式有（）A2个B3个C4个D5个（2017春?太原期中）学校组织同学们春游，租用4.45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y500”表示的实际意义是（）A两种客车总的载客量不少于500人B两种客车总的载客量不超过500人C两种客车总的载客量不足500人D两种客车总的载客量恰好等于500人5.已知有理数m，n的位置在数轴上如图所示，用不等号填空（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m?n 0（6）m+1 0例2用不等式表示：（1）x与-3的和是负数；（2）x与5的和的28不大于-6;（3）m除以4的商加上3至多为5举一反三：【变式】a a 的值一 定是（）A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零例3.下列 叙述：a是非负 数则a0；“a2减去10不大 于2”可表示为a2-10110；“a，b两数的平方 和为正x数”可表示为a2+b20其中正确的个数是（A.1个B.2个C.3个D.4个）.要点二、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，23x 50是一个一元一次不等式要点诠释：（1）一元一次不等式满足的条件：左右两边都是整式（单项式或多项式）；只含有一个未知数；未知数的最高次数为1.（2）一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“”连接，等号没有方向例1.（2017春?沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）A.x B2x1-x2 Cx+2y1 D2x+13x5x变式练习2（2017春?平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（）A.x1x1Bx2-21 C3x+2 D2x-23（2016春?永丰县期中）若不等式2xa0是x的一元一次不等式，m=（）Da=2关于A1则B1C-1D05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）个x 1x-3；xy1；x2b，那么acbc.不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 用式子表示：如果ab，c0，那么acbc（或a b）cc不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变用式子表示：如果ab，c0，那么acbc（或a b）cc例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“”，错的打“”）（1）若b3a0，则b20，那么x4；22（3）若ab，则ac2bc2；22（4）若ac2bc2，则ab；22（5）若ab，则a（c2+1）b（c2+1）（6）若ab0，则 【答案与解析】解：（1）若由b3a0，移项即可得到b20，两边同除以5不等号方向改变，故错误；（3）若ab，当c=0时则ac2bc2错误，故错误；2 2 2（4）由ac2bc2得c20，故正确；（5）若ab，根据c2+1，则a（c2+1）b（c2+1）正确（6）若ab0，如a=2，b=1，则 b，下列关系式中一定正确的是（）22Aa2b2B2a2bCa+2b+2 Dab【思路点拨】根据不等式的性质分析判断【答案】D.【解析】解：A，a21，则22（1）2；B、若ab，则2a2b，故本选项错误；C、若ab，则a+2b+2，故本选项错误；D、若ab，则ab，故本选项正确.【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据关键要注意不等号的方向性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的 方向要改变举一反三：3【变式】根据不等式的基本性质，将“mx”，则m的取值范围是 m【答案】m0.3解：将“mx3”，mm的取值范围是m0故答案为：m0【巩固练习】一、选择题21.（2016春?北京期末）在式子3y中，是不等式的有（）A2个B3个C4个D5个2下列不等式表示正确的是（）.Aa不是负数表示为a03.Bx不大于5可表示为x5式）Cx与1的和是非负数可表示为x+10 Dm与4的差是负数可表示为m-4y；x+2y；x-y1；x0”属 于 不等 式的有（A2个B3个C4个D5个4已知ab+3 B2a2b C-a-b Da-bc B.ac C.ab D.b2，则3a2-5 B）22 若 x 1，则x33115若 x 1，则 x5111C若 x 1，则x-5 D5、填空题空）7（2016秋?太仓市校级期末）如果a”或“3x+3成立的x的值是23是不等式-x0的解10假设ab，请用“”或“b，且c0，用“”或“”填空(1)2a _a+b(2)（3）c-a _c-b（4）-a|c|_-b|c|12.k的值大于-1且不大于3，则 用不等式表示k的取值范围是_（使用形如axb的类似式子填空）三、解答题13现有不等式的性质：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变请解决以下两个问题：（1）利用性质比较2a与a的大小（a0）；（2）利用性质比较2a与a的大小（a0）14.当a=3，b=5时 用不 等 式表示a2+b2与2ab的 大 小是_ 当a=-3，b=5时用不 等式表 示a2+b2与2ab的 大小是 _ 当a=1，b=1时 用 不 等 式 表 示a2+b2与2ab的 大 小 是；_根据上述数学 实验你猜想a2+b2与2ab的大小 关系_；用a、b的 其 他 值 检 验 你 的 猜 想 15已知xy，比较下列各对数的大小55(1)8x-3和8y-3；(2)x 1 和66y 1；(3)x-2和y-1【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】解：3y是不等式不等式共有4个故选C.2.【答案】D；【解析】a不是负数应表示为a0，故A错误；x不大于5应表示为x5，故B错误；x与1的和是非负数应表示为x+10，故C错误；m与4的差是负数应表示为m-40，故D正确。3.4.【答案】B.【答案】D；【解析】从不等式ab入手，由不等式的性质1，不等式ab的两边都加上3后，不等 号的方向不变，得a+3b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式ab的两边都 乘以2后，不等号的方向不变，得2a2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a-b，故选项C也不成立；由不等式的性 质1，不等式ab的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b.【解析】在a3b，两边同时加上，得：3a 3b故答案为：8.【答案】x2a20；19.【答案】2；-1、12【解析】一代入验证.10【答(1)(2)(3)；案】【答(1)(2)(3)(4)；11.案】【解析】利用不等式的性质进行判断。【答-10时，a+aa+0，即2aa，a0时，a+aa+，即2a021，0得2?a1?a，即2aa；时，a1，得2?a1?a，即2a30，22a+b2ab；当a=-3，b=5时，a2+b2=34，2ab=-30，34-30，22a+b2ab；当a=1，b=1时a2+b2=2，2ab=2，1=1，22a2+b2=2ab；22“）综合得出结论：a+b2ab（a=b时，取=”）证明：（a-b20（a=b时，取“=”），22a2+b2-2ab0，a2+b22ab 设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上 述 结 论 正 确；2 2 2 2设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b22ab，综上所述，a2+b22ab（a=b0时，取“=”）正15.【解析】解：（1）y8x8y，8x-38y-3x55（2）xy，xy566，6x156y1（3）xy，x-2y-2，而y-2y-1，x-2b2，则abC若ab，则a|b|D若a|b|，则ab【答案】D.【变式2】若点P（1m，m）在第一象限，则（m1）x1m的解集为【答案】x0，即m11m，m1）x（m1），不等式两边同时除以m1，得：x1，故答案为：x0bc，且a+b+c=-1，若Mb c，Na c，Pa bA若ab，则a2b2；Babc试 比 较、的大小P、【答案与解a+b+c=-1析】b+c=-1-a，1aM=1-1，aa同理可 得N=-1-1；c1-1，P=b又a0bc，1，110 acb1111-1-1-1-acb即MP1，y1，y+21，y1又y0，1y0，同理得1x2由+得1+1y+x0+2x+y的取值范围是0 x+y2【尝试应用】已知xy=3，且x1，求x+y的取值范围【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量 取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解【答案与解析】解：xy=3，x=y3又x1，y31，y1，1y2，同理得2x1由+得12y+x21x+y的取值范围是1x+y-2；a2 1；x+32；a+11；(a2 1)(b2 1)0A4个B3个C2个D1个2.若a+b0，且b0，则a，b，-a，-b的大小关系为().A-a-bba B-ab-ba C-aba-b Db-a-ba113若ab，则下列不等式：1 a 1 b；5a 1 5b 1；22 a 2 b 2其中成立的有().A1个B2个C3个D0个14若0 x1，则2xx，的大小关系是).x(12Ax xx12Bx xCx1 12x xDx xxx25.已知a、b、c、d都是正实数，且ab，得a2b，得B由ab，得ab，得acbc二、填空题7在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图 所示，如果汽车的宽度为x m，则用不等式表示图中标志的意义为8ab；bcc(2)若m0，mamb，则9已知|3x 12|(2x y m)2 0，若yb0，则ab0，则a0，b0；若ab，c0，则acbc；22若ab，c0，则acbc；若ab，c0，则acb，讨论ac与bc的大小关系15根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法若A-B0，则AB；若A-B0，则AB；若A-B0，则AB这种比较大小的方法称为“作差法比较大 小”，请运用这种方法尝试解决下列问题2 2 2(1)(2)(3)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小；比较a+b与a-b的大小；比较3a+2b与2a+3b的大小【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】一定成立的是：；2.【答案】B.3.【答案】A；【解析】根据不等式的性质可得，只有成立.4.【答案】C；1【解析】0 x1，x2x.x5.【答案】A；2【解析】ac，a、b、c、d都是正实数，bdadbc，ac+adac+bc，即a(c+d)c(a+b)，a c，所以 正 确，不正 确；a b c dacbd，a、b、c、d都 是 正 实 数，adbc，bd+adbd+bc，即d(a+b)b，得a2b2，错误；B、ab，得ab，得，错误；D、当c为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B.二、填空题7.【答案】x4；8.【答案】(1)；22【解析】(1)两边同乘以c2(c2 0)；(2)两边同除以m(m 0).9.【答案】8；【解析】由已知可得：x4，y2x-m8-m8.310【答案】a3.511.【答案】【解析】解：ab0，a0，ab0或a0，bb，c0，c0时，acbc；c0时，acb，c0，c0，acbc，正确；ab，c0，ab，acbc，正确综上，可得正确的序号为：12.【答案】9m12；【解3x-mx3m4，9m198;(2)3(x+1)+6(y+1)m+1.14.【解析】解ab，：当c0时，acbc，当ab0，a0，当c0时，ac0时，a+b-(a-b)2b0，当ba+ba-0时，a+b-(a-b)2b0，当b0时，a+b-(a-b)2bb时，a+b=a-b；3a+2b2a+3b；当ab时，3a+2b2a+3b3a+2b2a+3b；当ab，