用基本不等式解决应用题.pdf
用基本不等式解决应用题用基本不等式解决应用题例 1.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p k(0 x 8)，若距离为 1km 时，3x5测算宿舍建造费用为 100 万元为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需 5 万元，铺设路面每公里成本为6 万元，设f(x)为建造宿舍与修路费用之和（1）求f(x)的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值变式：某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为 900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m2）（1）求S关于x的函数关系式；（2）求S的最大值117解：（1）由题设，得31113x(第17题)7200900S x 8 2 2x 916，x8,4506 分xx（2）因为8 x 450，所以2x 7200720022x 240，8 分xx当且仅当x 60时等号成立10 分从而S67612 分答：当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m214 分例 2某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD 60m，AB 40m，且EFG中，EGF 90，经测量得到AE 10m,EF 20m为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN x(m)（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；AGEHFND（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积MT变式.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点 O 为圆BC心的两个同心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成 按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为10 米设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角为(弧度)(1)求 关于 x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时，y 取得最大值？18、（本题满分 16 分）如图所示，把一些长度均为 4 米（PAPB4 米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关，设 AB 为 x，AB 边上的高 PH 为 y，则越好。（I）求“舒适感”k 的取值范围；（II）已知M 是线段 AB 的中点，H 在线段 AB 上，设MHt，当人在帐蓬里的“舒适感”k 达到最大值时，求 y 关于自变量 t 的函数解析式；并求出 y 的最大值（请说明详细理由）。，若 k 越大，则“舒适感”17.（本小题满分 14 分）某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足Px42（其中0 xa,a为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本6(P1)P万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为(420)元/件.P(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？17.如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120,AB,AC的长度均大于 200 米，现在边界 AP，AQ 处建围墙，在 PQ 处围竹篱笆.（1）若围墙 AP,AQ总长度为 200 米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？（2）已知 AP 段围墙高 1 米，AQ 段围墙高 1.5 米，造价均为每平方米 100 元.若围围墙用了20000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省？AQCPB18（16 分）某油库的设计容量是30 万吨，年初储量为10 万吨，从年初起计划每月购进石油 m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1 万吨，区域外前 x 个月的需求量 y（万吨）与 x 的函数关系为 y=（p0，1x16，xN*），并且前 4 个月，区域外的需求量为 20 万吨（1）试写出第 x 个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与 x 的函数关系式；（2）要使 16 个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围【考点】根据实际问题选择函数类型【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）利用前 4 个月，区域外的需求量为20 万吨，求出 p，可得 y=10（1x16，xN*），即可求出第 x 个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与 x 的函数关系式；（2）由题意 0mxx10+1030（1x16，xN*），分离参数求最值，即可得出结论，2p=100，【解答】解：（1）由题意，20=y=10（1x16，xN*），油库内储油量 M=mxx10（2）0M30，0mxx10+10（1x16，xN*）；+1030（1x16，xN*），（1x16，x N*）恒成立；设由=t，则 t1，（x=4 时取等号），可得 m，（x16 时取等号），可得 m，由 20t2+10t+1=m17某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 x（xN）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元（a0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用专题：计算题；应用题分析：（1）根据题意可列出 10（1000 x）（1+0.2x%）101000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a 的范围解答：解：（1）由题意得：10（1000 x）（1+0.2x%）101000，即 x 500 x0，又 x0，所以 0 x500即最多调整 500 名员工从事第三产业（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为从事原来产业的员工的年总利润为则所以所以 ax即 a，恒成立，（1+0.2x%），万元，万元，2*因为当且仅当，即 x=500 时等号成立所以 a5，又 a0，所以 0a5，即 a 的取值范围为（0，5
