不等式基础.pdf
不等式不等式要点一、不等式的主要性质要点一、不等式的主要性质(1)对称性：(2)传递性：(3)加法法则：；(4)乘法法则：；，(5)乘方法则：(6)开方法则：要点诠释：要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.要点二、三个“二次”的关系要点二、三个“二次”的关系一元二次不等式一元二次不等式设相应的一元二次方程或或的解集：的解集：的两根为，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R解一元二次不等式的步骤解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：（2）计算判别式时，求根时，求根时，方程无解，分析不等式的解的情况：（注意灵活运用因式分解和配方法）；（3）写出解集.要点诠释：要点诠释：若，可以转化为的情形解决.要点三、线性规划要点三、线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0时，常把原点原点作为此特殊点）线性规划的有关概念：线性规划的有关概念：线性约束条件线性约束条件：如果两个变量、组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这线性目标函数线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by(a，bR)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解要点诠释：要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤（1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；（2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；（4)作答要点四、基本不等式要点四、基本不等式两个重要不等式两个重要不等式，那么（当且仅当是正数，那么时取等号“=”）（当且仅当时取等号“=”）.基本不等式：如果算术平均数和几何平均数算术平均数和几何平均数算术平均数：几何平均数：称为称为的算术平均数；的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的应用基本不等式的应用,且（定值），那么当时，有最小值；,且（定值），那么当时，有最大值.要点诠释：要点诠释：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 一正：一正：函数的解析式中，各项均为正数；二定：二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：三相等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值巩固练习巩固练习一、选择题1不等式(x3)21 的解集是()Ax|x2Bx|x4Cx|4x2 Dx|4x22若，则 a,b,c 的大小顺序是()Aabc BacbCcab Dbca3.已知集合则等于(ABC D4当xR R 时，不等式kx2kx10 恒成立，则k的取值范围是()A(0，)B0，)C0,4)D(0,4)5满足不等式y2x20 的点(x，y)的集合(用阴影表示)是()6已知x，y为正实数，且x4y1，则xy的最大值为()A.B.)C.D.7若a1，则的最小值是()A0 B2C.D3二、填空题28设a0，1b0，则a、ab、ab从小到大的顺序为_9.已知，则的最大值是_.10.若，已知下列不等式：；abab；|a|b|；ab；22abab；2 2.其中正确的不等式的序号为_11已知点P(x，y)满足条件_.(k为常数)，若x3y的最大值为 8，则k三、解答题12.已知，解关于 x 的不等式.13.求函数的值域.14.若不等式对任意恒成立，求 a 的最小值.15.某城建公司承包旧城拆迁工程，按合同规定要在4 个月内完成，若提前完成，每提前一天可获得 2 千元奖金，但要追加投入费用，追加投入费用按以下关系计算：（单位：千元），其中 x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？（附加效益=所获奖金-追加投入费用）1.【答案】C【解析】2原不等式可化为x6x80，解得4x2.2.【答案】B【解析】由故选 B3.【答案】D【解析】，得 bca,，故选 D4.【答案】C【解析】(1)当k0 时，不等式变为 10 成立；2(2)当k0 时，不等式kxkx10 恒成立，则即 0k4，所以 0k4.5.【答案】B【解析】取测试点(0,1)可知 C，D 错；再取测试点(0，1)可知 A 错，故选 B.6.【答案】C【解析】x，y为正实数，当且仅当x4y即7.【答案】D【解析】a1，a10，时取等号.当且仅当即a2 时取等号28.【答案】ababa【解析】2方法一：ababab(1b)0，abaa(b1)0，2ababa.方法二(特值法)：取a1，易得a1，2ababa.9.【答案】9【解析】10.【答案】【解析】，22当且仅当时取等号，故最大值为 9，ba0，故错，22又ba0，可得|a|b|，ab，故错11.【答案】6【解析】作出可行域如图所示，.作直线l0：x3y0，平移l0知当l0过点A时，x3y最大，由于A点坐标为12.【解析】，从而k6.原不等式可化为0m1,-1m-10.不等式的解集是13.【解析】若则，当且仅当若当且仅当14.【解析】则即 x=3 时，取等号.，即 x=1 时，取等号.原不等式可变为对一切设在恒成立，上为增函数，的最大值=a的最小值为.15.【解析】设该城建公司获得附加效益为y 千元，则由题意，得当且仅当时取等号.
