江西省横峰中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案.pdf
江西省横峰中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案江西省横峰中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题一、函数的概念与基本初等函数多选题1下列函数求值域正确的是（）)Af(x)x1(x2)2的值域为2，x22x2)Bg(x)的值域为2，x1Ch(x)x 1x 1的值域为(0，2x 3的值域为2，2 2Dw(x)1 x【答案】CD【分析】f(x)x1 x2去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A；(x1)211讨论x10和x1 0，利用基本不等式求值域可判g(x)(x1)x1x1断选项 B；h(x)x1x1 2利用单调性即可判断选项C；wx定x1x1x 3两边平方可得wx 2(x1)24 4，2，将w(x)1 x 义域为31由于wx0，可得wx值域，可判断选项 D.【详解】22(x1)2 4 4，求出t (x1)的范围即可求wx2x1，x 11 x 2，对于选项 A：原函数化为f(x)x1 x2 3，2x1，x 2)，故选项 A 不正确，其图象如图，原函数值域为3，(x1)211对于选项 B：g(x)，定义域为x|x 1，(x1)x1x1当x 1时，x1 0，此时(x1)所以(x1)1 1 2(x1)2，x1x111 2，当且仅当(x1)即x 2时等号成立，x1x1当x 1时，x10，此时(x1)11 2(x1)2，当且仅当x1x1x11即x 0时等号成立，x122，)，故选项 B 不正确；所以函数gx值域为(，)，对于选项 C：h(x)的定义域为1h(x)x1x1 因为y(x1x1)(x1x1)x1x12，x1x1)上是增函数，所以y x 1x 1在x1与y x 1均在1，1，)上是增函数，又y x 1x 1在1，)上恒不等于0，则y 2，)上是减函数，则h(x)的最大值为h12，在1x1x1又因为h(x)0，所以h(x)的值域为(0，2，故选项 C 正确；，对于选项 D：w(x)的定义域为31w(x)1 x x3 1 x x32 1 x x32 1 x x32(1 x)(x3)4 2 x22x3 4 2(x1)24 4，20，2 t 40,4，2 t 4 44,8，设t (x1)，则t4，则w(x)故选：CD【点睛】，w(x)的值域为2，2 2，故选项 D 正确，2(x1)24 4 2,2 2方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为y|y 0；指数函数的值域为y|y 0；对数函数值域为R；正、余弦函数的值域为1,1；正切函数值域为R；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域；（4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b cx d，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如a2b2 2ab，ab 2 ab，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的一元二次方程，利用判别式求值域，形如2ax bxc2y 或的函数适用；y Ax B ax bxcdx2ex f（8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域；（9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如Fx afxbfxca 0的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.22已知5a3，8b5，则（）Aa b【答案】ABD【分析】根据条件求得a,b表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断 C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确【详解】解：5a3，8b5，a log5，b log8，因为3 5 3 54 log53 log554又由5 8 5 84 log85 log88450 a log351，0 b log81，则4333B11 2abCa 11 babDaabbba3543333，43，所以a b，选项 A 正确；411111，1，所以 2，选项 B 正确；baab11，此时ab因为a b，0ab1，则ba 0，a11ba 1b(ab)(ba)1 0，ababab所以a由11b，故选项 C 不正确；ab133 a 和 b 1知fx ax与gxbx均递减，244再由a，b的大小关系知ab bb ba ab ba a ab bba，故选项 D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法log51 x,x 13已知函数fx，则方程2x22,x 1（）A8【答案】ABC【分析】以fx1的特殊情形为突破口，解出x 1或3或用换元的思想进一步讨论即可.【详解】由基本不等式可得B7C6D51fx 2 a的实根个数可能为x41或4，将x2看作整体，利5x11x2 0或x2 4，xxlog51 x,x 1作出函数fx的图像，如下：2x22,x 1当a 2时，x故方程fx 112 24或0 x21，xx1 2 a的实数根个数为4；x当a 2时，x故方程fx 1112 24或0 x21或x2 2，xxx1 2 a的实数根个数为6；x当1 a 2时，24 x或2 x1112 4或0 x21或1 x2 2xxx123，x故方程fx 1 2 a的实数根个数为8；x当a 1时，x11112 4或0 x21或x2 1或x2 3，xxxx1fx 2 a的实数根个数为7；故方程x当0a1时，4 x故方程fx 112 0或3 x2 4，xx1 2 a的实数根个数为2；x当a 0时，x故方程fx 112 0或3 x2 4，xx1 2 a的实数根个数为3；x当a 0时，x故方程fx 故选：ABC【点睛】12 3，x1 2 a的实数根个数为2；x本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.4已知fx是定义域为(,)的奇函数，fx1是偶函数，且当x0,1时，fx xx2，则（）Afx是周期为 2 的函数Bf2019 f20201Cfx的值域为-1，1Dfx的图象与曲线y cosx在0,2上有 4 个交点【答案】BCD【分析】对于 A，由fx为 R 上的奇函数，周期为 4 的周期函数，可判断 A；对于 B，由fx是周期为 4 的周期函数，则f2020 f00，fx1为偶函数，得fx fx4，则fx是f2019 f1 f1 1，可判断 B，时，fx xx2，有0fx1，又由fx为 R 上的奇函对于 C，当x01，时，1 fx0，可判断 C数，则x 10对于 D，构造函数g(x)f(x)cosx，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断 D【详解】根据题意，对于 A，fx为 R 上的奇函数，fx1为偶函数，所以f(x)图象关于x 1对称，f(2 x)f(x)f(x)即f(x 4)f(x 2)f(x)则fx是周期为 4 的周期函数，A 错误；对于 B，fx定义域为 R 的奇函数，则f0 0，fx是周期为 4 的周期函数，则f2020 f00；则f2019 f12020 f1 f1 1，则f2019 f20201；故 B 正确，对于 C，当x01时，fx xx2，此时有0fx1，时，1 fx0，又由fx为 R 上的奇函数，则x10当x0,1时，fx xx2，则f1 1121，f(0)0，函数关于x 1对称，所以函数fx的值域11，故 C 正确对于 D，f(0)0，且x0,1时，fx xx2，x0,1,f(x)x(x 2)，x1,2,2 x0,1,f(x)f(2 x)x(x 2)，x0,2,f(x)x(x 2)，f(x)是奇函数，x2,0,f(x)x(x 2)，f(x)的周期为4，x2,4,f(x)(x 2)(x 4)，x4,6,f(x)(x 4)(x 6)，x6,2,f(x)(x 6)(x 8)，设g(x)f(x)cosx，当x0,2,g(x)x 2x cos x，2g(x)2x 2sinx，设h(x)g(x),h(x)2cosx 0在0,2恒成立，h(x)在0,2单调递减，即g(x)在0,2单调递减，且g(1)sin1 0,g(2)2sin2 0，存在x0(1,2),g(x0)0，x(0,x0),g(x)0,g(x)单调递增，x(x0,2),g(x)0,g(x)单调递减，g(0)1,g(1)1cos1 0,g(x0)g(1)0,g(2)cos2 0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x(0,2，fx的图象与曲线y cosx有 1 个交点，4时，gx fxcosx x 6x+8cosx，当x2，2则gx 2x6+sin x，hx gx 2x6+sin x，4上单调递增，则hx 2+cosx0，所以gx在2，且g3sin30,g2 2+sin2 0，32，4，使得gx0，所以存在唯一的x12，所以x2,x1，gx0，gx在2,x1单调递减，xx1，4，gx0，gx在x1，4单调递增，又g3 1cos30，所以gx1 g(3)0，又g2 cos20,g4 cos40，4上有唯一的零点，所以gx在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4时，fx的图象与曲线y cosx有 2 个交点，所以当x2，6时，同x0,2，fx的图象与曲线y cosx有 1 个交点，当x 4，当x6,2,f(x)(x 6)(x 8)0,y cosx 0，fx的图象与曲线y cosx没有交点，所以fx的图象与曲线y cosx在0,2上有 4 个交点，故 D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.个单位长度得到函数 f(x)，已知 f(x)在0，2上有5且只有 5 个零点，则下列结论正确的是（）5设函数 g(x)=sinx(0)向左平移Af(x)的图象关于直线x 2对称Bf(x)在(0，2)上有且只有 3 个极大值点，f(x)在(0，2)上有且只有 2 个极小值点Cf(x)在(0,)上单调递增1012 29,)5 10D 的取值范围是【答案】CD【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A不正确；由图可知f(x)在(0,2)上还可能有 3 个极小值点，B不正确；由xA 2 xB解得的结果可知，D正确；根据f(x)在(0,增，且3)上递1010【详解】3，可知C正确.10依题意得f(x)g(x2)sin(x)sin(x)，T，如图：555对于A，令x直线x 5 k2，kZ，得x k3，kZ，所以f(x)的图象关于10k3(kZ)对称，故A不正确；10对于B，根据图象可知，xA 2 xB，f(x)在(0,2)有 3 个极大值点，f(x)在(0,2)有 2 个或 3 个极小值点，故B不正确，对于D，因为xA 55224T ，5252522924291229xB 3T 3 2，所以，解得，51055555所以D正确；11233T )上递增，由图可知f(x)在(0,5454101029333，所以(1)0，所以f(x)在(0,)上单调递增，故因为1010101010C正确；对于C，因为故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.6下列命题正确的是（）A已知幂函数f(x)(m 1)2xm1在(0,)上单调递减则m 0或m2B函数f(x)x2(2m 4)x 3m的有两个零点，一个大于0，一个小于 0 的一个充分不必要条件是m 13C已知函数f(x)x sin xln1 x，若f(2a 1)0，则a的取值范围为1 x 1,2D已知函数f(x)满足f(x)f(x)2，g(x)为x1,y1,x2,y2【答案】BD【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定 B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解.【详解】对于 A 中，幂函数f(x)(m 1)x2m1x 1，且f(x)与g(x)的图像的交点xx8,y8则x1 x2 x8 y1 y2 y8的值为 8，可得m1 1，解得m 0或m2，1当m 0时，函数f(x)x在(0,)上单调递减；当m2时，函数f(x)x在(0,)上单调递增，所以 A 不正确；对于 B 中，若函数f(x)x(2m 4)x 3m的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足f(0)3m 0，解得m0，所以m 1是函数f(x)x(2m 4)x 3m的有两个零点，且一个大于0，一个小于0 的充分不必要条件，所以B 是正确；对于 C 中，由函数f(x)x sin xln(3221 x1 x)，则满足 0，解得1 x 1，1 x1 x即函数fx的定义域为(1,1)，所以不等式f(2a 1)0中至少满足1 2a11，即至少满足0a1，所以 C 不正确；对于 D 中，函数f(x)满足f(x)f(x)2，可得函数y fx的图象关于(0,1)点对称，又由g(x)x1x1，可得g(x)g(x)2，所以函数y gx的图象关于xx(0,1)点对称，则x1 x2 x8 y1 y2 y8 042 8，所以 D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7对xR R，x表示不超过x的最大整数十八世纪，y x被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）AxR R,x x1Bx,yR R,xy x yC函数y xx(xR R)的值域为0,1)345 t1,t 2,tD若tR R，使得 3,n,t n2同时成立，则正整数n的最大值是 5【答案】BCD【分析】由取整函数的定义判断，由定义得x x x1，利用不等式性质可得结论【详解】x是整数，若x x1，x1是整数，xx1，矛盾，A 错误；x,yR R，x x,y y，xy x y，xyx y，B 正确；由定义x1x x，0 x x1，函数f(x)xx的值域是0,1)，C 正确；345 t1,t 2,t若tR R，使得 3,4n3,t n2同时成立，则1 t 2，2 t 43，53 t 54，64 t 65，3，nn2 t nn1，因为64 2，若n 6，则不存在t同时满足1 t 32，64 t 65只有n5时，存在t53,32)满足题意，故选：BCD【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题8德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成就显著.19 世纪,狄利克雷定1,xQ义了一个“奇怪的函数”y fx其中 R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函0,xC QR数fx有如下四个命题,正确的为()A函数fx是偶函数Bx1,x2CRQ,fx1 x2 fx1 fx2恒成立C任取一个不为零的有理数T,f x Tf x对任意的xR R恒成立D不存在三个点A x1,fx1,B x2,fx2,C x3，fx3,使得ABC为等腰直角三角形【答案】ACD【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可【详解】对于 A，若xQ，则xQ，满足f(x)f(x)；若xCRQ，则xCRQ，满足f(x)f(x)；故函数f(x)为偶函数，选项 A 正确；对于 B，取x1CRQ,x2 CRQ，则fx1 x2 f01，fx1 fx20，故选项 B 错误；对于 C，若xQ，则xT Q，满足fx fxT；若xCRQ，则xT CRQ，满足fx fxT，故选项 C 正确；对于 D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：直角顶点A在y 1上，斜边在x轴上，此时点B，点C的横坐标为无理数，则BC中点的横坐标仍然为无理数，那么点A的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立；直角顶点A在y 1上，斜边不在x轴上，此时点B的横坐标为无理数，则点A的横坐标也应为无理数，这与点A的纵坐标为 1 矛盾，故不成立；直角顶点A在x轴上，斜边在y 1上，此时点B，点C的横坐标为有理数，则BC中点的横坐标仍然为有理数，那么点A的横坐标也应为有理数，这与点A的纵坐标为 0 矛盾，故不成立；直角顶点A在x轴上，斜边不在y 1上，此时点A的横坐标为无理数，则点B的横坐标也应为无理数，这与点B的纵坐标为 1 矛盾，故不成立综上，不存在三个点A x1,fx1，B x2,fx2，C x3，fx3，使得ABC为等腰直角三角形，故选项 D 正确故选：ACD【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题二、导数及其应用多选题二、导数及其应用多选题9对于函数f(x)Afx在x Cflnx，下列说法正确的是（）2x12eBfx有两个不同的零点D若fx k e处取得极大值 2 f f31在0,上恒成立，2x则k e2【答案】ACD【分析】求得函数的导数f(x)12ln x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判x3e时，fx 0，可判定 B 不正确；定 A 正确；根据函数的单调性和f10，且x 由函数的单调性，得到f(3)f()，再结合作差比较，得到f()f(2)，可判定 C 正确；分离参数得到k fx1ln x1在0,上恒成立，令x2x2gxln x1，利用导数求得函数gx的单调性与最值，可判定D 正确.2x【详解】由题意，函数f(x)令f(x)0，即当0 x 当x lnx12ln x f(x)(x 0)，可得32xx12ln x 0，解得x e，3xe时，f x 0，函数fx在(0,e)上单调递增；e时，f x 0，函数fx在(e,)上单调递减，e时，函数fx取得极大值，极大值为f(e)所以当x 1，所以 A 正确；2e由当x 1时，f10，因为fx在(0,e)上单调递增，所以函数fx在(0,e)上只有一个零点，当x e时，可得fx 0，所以函数在(e,)上没有零点，综上可得函数在(0,)只有一个零点，所以 B 不正确；由函数fx在(e,)上单调递减，可得f(3)f()，由于f(2)ln2ln2lnln，,f()242lnln2ln2ln2则f()f(2)，2444因为 2 2，所以f()f(2)0，即f()f(2)，所以f2 f f3，所以 C 正确；11ln x10,k fx 在上恒成立，即在0,上恒成立，222xxxln x12ln x 1gx 设gx，则，x2x312ln x1x g x 0 0令，即，解得，ex3由fx k 所以当0 x 当x 11)上单调递增；时，gx 0，函数gx在(0,ee11,)上单调递减，时，gx 0，函数gx在(ee11ee)e，时，函数gx取得最大值，最大值为g(22ee所以当x e，所以 D 正确.2故选：ACD.【点睛】所以k 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题xex，x 110（多选题）已知函数f(x)ex，函数g(x)xf(x)，下列选项正确的是3，x 1x（）A点(0,0)是函数f(x)的零点Bx1(0,1),x2(1,3)，使f(x1)f(x2)1C函数f(x)的值域为e,D若关于x的方程g(x)22ag(x)0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 2 e2e2,(,)e82【答案】BC【分析】根据零点的定义可判断 A；利用导数判断出函数在0,1、1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断 B；利用导数求出函数的最值即可判断C；利用导数求出函数的最值即可判断 D.【详解】对于选项 A，0 是函数f(x)的零点，零点不是一个点，所以A 错误.对于选项 B，当x 1时，f(x)(x1)e，可得，当x 1时，f(x)单调递减；当1 x 1时，f(x)单调递增；所以，当0 x 1时，0 f(x)e，xex(x3)当x 1时，f(x)，4x当1 x3时，f(x)单调递减；当x 3时，f(x)单调递增；y f(x)图像e3所以，当1 x3时，f(x)e，综上可得，选项 B 正确；27对于选项 C，f(x)min f(1)对于选项 D，关于x的方程g(x)1，选项 C 正确.e22ag(x)0有两个不相等的实数根关于x的方程g(x)g(x)2a 0有两个不相等的实数根关于x的方程g(x)2a 0有一个非零的实数根x2ex,x 1g(x)ex函数y g(x)与y 2a有一个交点，且x 0，2,x 1x当x 1时，g(x)e(x 2x)，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：/x2xx2202 x 000 x 1g/(x)g(x)0极大值极小值4ex(x2)极大值g(2)2，极小值g(0)0，当x 1时，g(x)ex3当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：xg/(x)g(x)11 x220 x 2e极小值e2极小值g(2)，4y g(x)图像4e2综上可得，2 2a 或2a e，e4 2 e2ea的取值范围是2,(,)，D 不正确.e82故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.
