基本不等式 教学设计.pdf
基本不等式基本不等式（教学设计）（教学设计）一、教材分析一、教材分析基本不等式是人教版高中数学必修五第三章第四节的内容。它是在学完不等式性质，不等式的解法及线性规划等知识的基础上，对不等式的进一步研究，同时也为选修1-2 中直接证明和间接证明中的有关不等式证明的问题作好准备，为选修45：不等式选讲中的几种重要不等式及不等式的证明做好了铺垫。在整个知识体系中起到了承上启下的作用，具有很重要的作用。在课本封面就能体现出来。基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，为今后解决最值问题提供了新的方法，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。二、学情分析二、学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识。但是，倘若教师不加以引导，学生并不能自觉地通过已有的知识、记忆去发展和构建几何图形中的相等或不等关系，这就需要教师逐步地引导，去激活学生的思维，增强数形结合的思想意识。三教学目标三教学目标（1）知识与技能:了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件.知道基本不等式成立的条件，并会求y y axax a a 0 0,b b 0 0 类型的函数在x 0时的最小值，初步认识“=”成立的作用.会运用基本不等式解决实际问题的最优化配置问题.（2）过程与方法：按照创设情景，提出问题 基本不等式的探究基本不等式的分析基本不等式的 应用的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。（3）情感态度与价值观：在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感.通过基本不等式在求最值上的应用，体会数学来源于生活，反馈于生活，提高学生学习数学的兴趣，提倡学生树立科学的节能减排的环保理念.教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式ab ab的证明过程；2b bx x难点：用基本不等式求最大值和最小值四、教学方法四、教学方法本节课采用数形结合的思想，引导学生观察探究感知抽象归纳；用启发诱导、探究合作、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件.几何画板以及希沃授课助手作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。五五、学法指导学法指导在教学过程中，以教师为主导，以学生为主体，在教学中引导学生去提出、分析和解决问题。课堂上从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求基本不等式，发现基本不等式的实质，利用基本不等式解决实际问题。使学生从代数证明和几何证明两方面理解基本不等式。六、教学工具：六、教学工具：多媒体课件，几何画板，希沃授课助手七、教学基本流程七、教学基本流程创设问题情境探究基本不等式归纳总结基本不等式运用基本不等式解决实际问题课堂小结练习提高与作业八、教学过程八、教学过程教师活动一、问题引入一、问题引入:学生活动了解中国数学设计意图问题 1：请同学们拿出四个全等的直 角三角形，同桌合作拼成以斜边为边 同桌合作动文化，增强学手摆出图形,长、外轮廓为正方形的图形并将小组作生的民族自豪品投影展示感和爱国主义教师巡视适时给予点拨提示：精神，增强学利用 PPT 逐个出示图片生对国家发展赵爽弦图赵爽弦图的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.二、公式探究：二、公式探究：借助几何画板动态演示问题 2：将图形抽象成右图所示图小组合作结合所拼会标图形，小组代表回答本组答案，得出不等式以及等号成立的条件利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式a a2 2 b b2 2 2 2abab学生体会如何从实验中发现问题，培养学生数形结合的思想方法,形，设 AF 长为 a，BF 长为 b(1)你能用 a,b 表示大正方形 ABCD的边长和面积 s 吗？(2)四个直角三角形的面积之和 S是(3)大正方形的面积 S 与 S的大小关系是(4)它们有相等的情况吗？由于正方形的面积大于 4 个直角三角形的面积和，得到一个不等式：a2b2 2ab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，有a2b2 2ab。问题 3：由图形得出的结论只是一个猜想，你能证明你的猜想吗？总结上学生用作差面结论并证明法口述证明证明：（作差法）重要不等式因为a a2 2 b b2 2 2 2abab (a a b b)2 2 0 0所以a a2 2 b b2 2 2 2abab.当且仅当a b时，等号成立教师板书：教师板书：总结结论总结结论 1 1：重要不等式：重要不等式观察重要不a a2 2 b b2 2 2 2abab(a a R R,b b R R)等式的结构当且仅当当且仅当a a b b时等号成立时等号成立特点问题问题 4 4：如果 a0,b0,我们用a、b分别代替不等式a a2 2 b b2 2 2 2abab.中的由换元替代a,b 能得到什么结论？的方法，直接得出基本替换后得到：ab 2 ab，不等式通常把上式写作：abab(a0,b0)2通过证明过程发现不等式成立的条件，加深学生对知识的理解.培养学生从特殊到一般的数学思想方法此处采用了换元法，也为后面利用基本不等式求最值奠定基础.总结结论总结结论 2 2：基本不等式：基本不等式ab a b(a 0，b 0)2.当且仅当 a=b 时，等号成立。问题 5：你能从代数证明的角度证明此不等式吗？通过证明过程类比前面的发现基本不等证明方法，式成立的条学生用作差法口述证明件，加深学生基本不等式对知识的理解ab问题 6：在数学中，我们称为2a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.刚才从代数角度证明了基本不等式的成立，从几何图形上能否证明它成立呢？借助几何画板动态演示如图 AB 是圆 O 的直径，C 为 AB 上一点，过 C 做直径的垂线交圆于 D、E两点，设 AC=a,BC=b基本不等式的几何解释1.如何用 a,b 表示 OD,CD?D DAa aC CO Ob bB2.你能从图形中得出 OD 和 CD 的大小小组合作讨关系吗？3.你能给出基本不等式的几何解释吗？论，学生回答，根据按钮拖动直观地观察 CD易证tADtDB，或与 OD 的大2利用相交弦定理，那么D小关系.AB即Dab.a b这个圆的半径为，显然，它大2a bab，其中当于或等于CD，即2培养学生团结合作精神以及数形结合的意识，养成数形结合地分析问题的习惯.培养学生观察概括能力，结论的得出发挥学生自主能动性且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立.因此：基本不等式ab ab几何2意义是“半径不小于半弦”“半径不小于半弦”问题 7：基本不等式有何作用呢？a a b b a a b b 2 2 abab，abab 2 2 2 2学生总结变对于x x 0 0,y y 0 0，（1）若xy p（定值），则当且仅当a b时，xy有最小值2 p；形式，分析基本不等式在求函数最值中的作用（2）若x y s（定值），则当且仅当s2ab时，xy有最大值4三三、基本不等式应用、基本不等式应用问题 8：应用 1应用：应用：a a b b 1.1.某同学学完基本不等式后用某同学学完基本不等式后用a a b b 2 2 abab，abab 2 2 推出如下结论，请你帮他找一找有没有错误推出如下结论，请你帮他找一找有没有错误.2 2学生观察指出错误，体会不等式成立的条件的重要性.总结出一正二定三相等的特点2 22 2基本不等式成立的条件学生往往易忽视，在应用方面仍存在不仔细的现象，所以这里用易出错的题目进行强调.另外此处继续(1 1)若若x x 0 0,则则x x 1 11 1 2 2 x x 2 2x xx xa ab ba a b b(2 2)若若a a b b 0 0,则则 2 2 2 2b ba ab b a a x x y y 6 6（3 3）若）若 x x 0 0,y y 0 0,且且x x y y 6 6,则则xyxy 9 9 2 2 2 2 巩固用换元的方法思考问题；变式练习将两个正数变为不互为倒数的情况,使学生能举变式练习：学生独立完成，并将优秀作业投影变式：变式：2 2 1 1.若若x x 0 0，8 8x x最小值为最小值为x x2 2 y yx x 2 2.当当xyxy 0 0时时,最小值为最小值为x xy y 一反三解决问题.问题 9：应用 2应应用用举举例例2.用 篱 笆 围 一 个 面 积为 100 平方米的矩形菜园，问这个 矩形的 长、宽 各 为 多少 时，所用 篱 笆最短，最短 篱 笆是多少？思考、运用基本不等式解决问题1.使学生利用基本不等式解决简单的实际问题；2.尝试运用数学知识解决实际问题，树立科学的节能减排意识和环保意识.体会在市场经济下，运用所学数学知识优化生活中的一些问题的重要性.变 式：一段长为 36 米的 篱 笆 围 成一 个 矩形菜 园，问这个 矩形的 长、宽 各 为 多少 时，菜 园 的面 积 最大，最大面积 是多少？四四、知识梳理，体会研究价值知识梳理，体会研究价值问题 10：本节课主要学习了什么内容？什么数学思想方法？由学生总结学习的内容，指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想。通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.五五、目标检测设计目标检测设计作业：作业：1.P1，2，3A组1题100练习2.2.求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值。求下列函数的最小值，并求出自变量满足什么条件时取得最小值。(1 1)y y 4 4x x 1 1(x x 0 0););2 2x x(2 2)y y sinsinx x 1 1 (x x 0 0,)sinsinx x 2 2 课后思考：课后思考：1 1.求函数求函数 y y x x 1 1(x x 1 1)的最小值的最小值x x 1 12 2.若若0 0 x x 2 2,求函数求函数 y y x x(2 2 x x)的最大值的最大值设计意图：设计意图：（1）采用几道简单的求最值的问题，检测学生对基本不等式内容的掌握和使用情况（2）课后思考为学有余力的学生准备，同时也为下一节的学习做好铺垫，也达到分层教学的目的。九、教学反思九、教学反思1.逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立实际生活中的图形与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和基本不等式及其取等号的条件2.恰当使用信息技术恰当地使用多媒体课件.几何画板.希沃教学助手，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.3.采用“启发探究讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.4.适时渗透德育内容抓住教材中赵爽弦图，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.通过对教材例1 的题后反思，使学生树立科学的节能减排的环保意识，从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂更“厚实”，更符合新课改的理念.从德育效果上看，学生自己“悟”出来的道理要远远好于“说教”的效果.5.课堂气氛是反应教学效果的最直接方式由于学生基础较薄弱，本节课课堂气氛没有达到预期效果，我只调动起了大部分学生，仍有部分学生反应较吃力，因此，在以后的教学中，要因材施教，教学设计尽量达到面向全体学生。总之，上完本节课收获颇丰，我不但认识了德育在学科教学之中的重要性，还探索出一些教学方法，提升了课堂教学中落实教学育人的能力.
