基本不等式应用技巧之高级篇.pdf
文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。基本不等式应用技巧之高级篇基本不等式应用技巧之高级篇基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题1。15已知x，求函数y 4x2的最大值。例题例题1.1.4x54解：因x 5，所以4x504。这可以先调整式子的符号，但(4x2)1不是常数，所以必须对4x2进行拆分。4x5当且仅当54x 1x 1时取等号。54x，即故当x 1时，ymax1但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循呢？请看下面的例题 2.例题例题2.2.设x,y,z,w是不全为零的实数，求xy2yz zw的最大值。2222x y z w显然我们只需考虑x 0,y 0,z 0,w 0的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数,满足：故依据取等号的条件得，1221t，参数t就是我们要求的最大值。2(1)2 1消去,我们得到一个方程4t24t 1 0此方程的最大根为我们所求的最大值得到t 2 12从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式1221，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为2(1)2 1了取得最值。1word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。16x9 2xy 933xyz例题例题3.3.设x,y,z,w是不全为零的实数，求的最大值。x2y z引入参数,使其满足：169 2933依据取等号条件，我们有t1233(2)xyz消去参数,我们得到一个方程解得t 18这就是我们所求的最大值。因此，当且仅当x:y:z 1:18:36取等号。再看看下面这个题目。10 x210y2 z2例题例题4.4.设x,y,z是正实数，求的最小值。xy yz zx解：引进参数k，使之满足：依据取等号的条件，有：2k 2(10k)t t 410 x210y2 z2故的最小值 4.xy yz zx例题例题5.5.设x,y,z是正实数且满足x y z 3，求x2 y2 z3的最小值。解：观察题目的结构考虑到x,y,z的对称性，引进参数k,l由取等号的条件有：2k2 3l2,k x,k y,z l 2k l 3解得k 1937137，l 126317 43 37108所以，x2 y2 z3 2k(x y)3l2z 2(k2l2)6k 2(k2l2)例题例题6.6.设x,y是正实数且满足x y 1，求18的最小值。x2y2解：考虑到x y 1，为了使用基本不等式，我们引进参数k：k k(x y)2word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。18181kxkx8kykyk23则22k 22k(x y)22 9xyxyx22y224 1kxx2221 8ky由取等号的条件：23 k 542k3yx y 118k23所以22 9k 27xy4例题例题7.7.若x2 xy a(x y)对任意的正实数x,y恒成立，求a的最小值。解：x2 xy a(x y)对任意的正实数x,y恒成立，所以x2 xy a对任意的正实数x,y恒成立。x y设x y(1k)xkx y(1k)x2 kxy由取等号条件：12 t1kk5 12消去k，可以得到：t2t 1 0解得：t 因此a的最小值为5 1。2例题例题8.8.若a ,b 且ab 1，求证：2a12b1 2 2分析：使用柯西不等式很简单处理了，但我们还是玩一下基本不等式。12122a12m 22a1m2a1 mm22设2b1m22b1 m2b1m2m22考虑到取等号的条件，有3word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。所以，2a12b1 m22 2 2m2例题例题9.9.有一边长为a,b（a b）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？分析：这是一个高考题，很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基本不等式来处理它。解：设裁去的正方形的边长为x，则做成的无盖长方体容积为bV=x(a x)(b2x)，(0 x)2引入参数m,n，则由取等号的条件得mx n(a 2x)b2x当m2n20时，右边为常数。故当二者同时成立时，函数有最大值。消去参数得到：12x24(ab)xab 0(ab)a2abb2b解之得x(0 x)62(ab)a2abb2故x 6例题例题10.10.求函数y x2 x1(x 0)的最小值。2x11数用单调性的方法。但 x2 x2x2x2x分析：单变量函数优选求导y x2 x本题也是可以使用基本不等式的。解：引进参数0，11 x2 x2x2x2x1由取等号的条件得：x2，x 2x4x消去参数得，4x32x21 0则y x2 x化简得，(2x1)(2x22x1)04word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。解之得x 12此时17，ymin24例题例题11.11.问（0解：引进参数a,b 0，2）取何值时，y cos2sin取最大值。(ab(b1a)sin)31由y cossina(1sin)b(1sin)sin27abab2由取等号成立的条件得：3 13 1;,b 22(ab)32 32所以y cossin27ab9所以a 基本不等式是一个非常有用的结论，从上面的例子中我们可以看出，适当的配凑可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时时要细心体会，才能达到灵活应用的。5word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
