2.4基本不等式及其应用.pdf
基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识点：一、知识点：2 22 21 1、重要不等式：对于任意实数、重要不等式：对于任意实数 a a、b b，有，有 a a b b2ab2ab，当且仅当，当且仅当时，等号成立时，等号成立2 2、基基 本本 不不 等等 式式：如如 果果 a a b b，b b 0 0，那那 么么a bab _2，当且仅当当且仅当时，等号成立时，等号成立3 3、对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且要、对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且要掌握它的变形及公式的逆用等。掌握它的变形及公式的逆用等。例例 如如：a ba ba b2a bab,ab ()22222222(a a0 0，b b0)0)等，同时还要注意不等式成立的条等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件件和等号成立的条件ay bx(a 0,b 0)4 4、重要函数、重要函数，求其值，求其值x域主要依据基本不等式及函数的单调性，域主要依据基本不等式及函数的单调性，函数在函数在aa,和,bb上上 为为 增增 函函 数数，在在aa0，,0和-上为减函数上为减函数bb15 5、在利用均值不等式求最值时，要紧扣“一正、在利用均值不等式求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件二定、三相等”的条件其中其中:“一正”是信息和前提；“一正”是信息和前提；“二定”是解题的“二定”是解题的关键，通过对所给式进行巧妙分析、变形、组关键，通过对所给式进行巧妙分析、变形、组合、添加系数使之能够出现定值；合、添加系数使之能够出现定值；“三相等”是“三相等”是保证和易错点，并且多次使用均值不等式时，保证和易错点，并且多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性要保持每次等号成立条件的一致性二、典型例题二、典型例题考点一考点一利用基本不等式比较大小利用基本不等式比较大小例例 1 1若若 a0a0，b0b0，a ab b2 2，则下列不等式对一切，则下列不等式对一切满足条件的满足条件的 a a，b b 恒成立的是恒成立的是 (写出所有正确命题写出所有正确命题的编号的编号)abab1 1；a b 2；a a b b 2 2；113 33 3 2a a b b 3 3；ab2 22 2变式：变式：设设aba2b22,ab,+11的大小的大小.a a、b bR R，试比较试比较22ab考点二考点二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值例例 2 2已知正数已知正数 a a、b b 满足满足 a ab b1.1.(1)(1)求求2a 12b 1的最大值；的最大值；212(2)(2)求求ab的最小值的最小值变式变式:xy1+1 1、已已知知 x,yx,yR R,且满足且满足34,则则 xyxy 的的最最大大值值是是 .2 2、设设 a a、b b、c cR R+11的最小值为的最小值为 .,则则(a+b+c)(a+b+c)abc11 2 ab3 3、已知、已知 a0,b0,a0,b0,则则ab的最小值是的最小值是y4 4、已知、已知x x、y y、z z 为正实数，且满足为正实数，且满足 x-2y+3z=0 x-2y+3z=0，则，则xz的的最小值是最小值是 .5 5、下列各函数中，最小值为、下列各函数中，最小值为 2 2 的函数是的函数是（）110,A.y=x+A.y=x+xB.y=sin x+B.y=sin x+sin x,x24C.y=C.y=x22D.y=D.y=e ex2x2x 32考点三考点三 利用基本不等式进行防缩利用基本不等式进行防缩例例 3 3 若正实数若正实数 x,yx,y 满足满足 2x+y+6=xy,2x+y+6=xy,则则 xyxy 的最小值的最小值是是 .变式：若变式：若 a a0 0，b b0 0，abab1+a+b1+a+b，求，求 a+ba+b 的最小值的最小值.3考点四考点四 利用基本不等式巧解“轮换式”利用基本不等式巧解“轮换式”例例 4 4 已知已知 a,b,c0,a,b,c0,且且 a+b+c=1,a+b+c=1,则则a b c的的最小值为最小值为.变式：已知变式：已知 a,b,c0,a,b,c0,且且 a(a+b+c)+bc=a(a+b+c)+bc=42 3,则则2a+b+c2a+b+c 的最小值为的最小值为.考点五考点五 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用例例 5 5 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼 4 4 间，间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（1 1）现有长）现有长 3636 mm 的网的材料，每间虎笼的长、宽各设的网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2 2）若使每间虎笼面积为）若使每间虎笼面积为 2424 mm2 2，则每间虎笼的长、宽，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？小？4
