基本不等式及其应用(一).pdf
基本不等式及其应用（一）基本不等式及其应用（一）一、填空题一、填空题1函数y a上，则1x(a 0且a 1)的图象恒定点A，若点A在直线mxny 1 0(m,n 0)11的最小值为mn22已知二次函数y ax 2xc(xR)的值域为0,)，则ac最小值是3已知a (4 x,1),b (y,x5)，其中x,y(0,)，且ab，则当xy取得最小值时y的值是4若a,b,c 0，且a abacbc 4，则2abc的最小值为5从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC 2,A 90，则这两个正方形的面积之和的最小值为6在“02ABC49”里分别填上正整数、使它们的和最小1”中的“（）（）（）3x y6 07设x,y满足约束条件x y2 0，若目标函数z axby(a,b 0)的最大值为 12，x 0,y 0则23的最小值为abx2y2xy8若不等式对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是km,)，10843k则正整数m可能取值为9若实数x、y满足4 4 210给出下列四个命题:若a b，则a b；若a b 1，则xyx12y1，则S 2x2y的取值范围是22ab；a1b1n；2若m,nN且m n，则m(nm)若x 0且x 1，则ln x1 2ln x其中真命题的序号是二、解答题二、解答题11如图，围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x（单位:m），修建此矩形场地的总费用为y（单位:元）将y表示为x的函数；试确定x，使修建此矩形场地的总费用最少，并求出最小总费用12某厂家拟在今年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x2k（k为常数），如果不搞促销活动，则该m1产品的年销售量为1万件。已知今年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成万件与年促销费用m(m 0)万元满足x 3本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括年促销费用）将该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m万元的函数；厂家今年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润基本不等式及其应用（一）基本不等式及其应用（一）（参考答案）（参考答案）一、填空题一、填空题1函数y a上，则1x(a 0且a 1)的图象恒定点A，若点A在直线mxny 1 0(m,n 0)11的最小值为4mn1x解：解：函数y a(a 0且a 1)的图象恒定点A(1,1)，点A在直线mxny 1 0(m,n 0)上，mn 111nmnm11 4，()(mn)2 22mnmnmnmn故当且仅当m n 111时，的最小值为42mn22已知二次函数y ax 2xc(xR)的值域为0,)，则ac最小值是2a 0解：解：由题意知，解得ac 1且a,c 0a c 2 ac 2（当且仅当a c时取 0等号），故ac最小值是23已知a (4 x,1)，b (y,x5)，其中x,y(0,)，且ab，则当xy取得最小值时y的值是52解：解：ab，(4 x)y(x5)0 x4y xy5，其中x,y(0,)x4y 2 4xy 4 xy（当且仅当x 4y时取等号），从而xy5 4 xy，解得x4y xy55 4y28y5 0 y 或xy 5即xy取得最小值25，此时由2x 4y1y （舍）25故y的值是24若a,b,c 0，且a abacbc 4，则2abc的最小值为4解：解：a abacbc 4(ab)(a c)4，其中a,b,c 02abc (ab)(ac)2(ab)(ac)4（当且仅当ab ac即b c时22取等号），故2abc的最小值为45 从等腰直角三角形纸片ABC上，按图示方式剪下两个正方形，其中BC 2，A 90，则这两个正方形的面积之和的最小值为012A解：解：设两个正方形的边长分别为a,b，则这两个正方形的面积之和为S a b由已知得2a2b 2，即ab 122BabC11a2b2ab122，从而S a b（当且仅当m n 时取等号）22222故这两个正方形的面积之和的最小值为6在“1249（）”里分别填上正整数10、15使它们的和最小1”中的“（）（）491xy解：解：设在“”里分别填上的正整数是x、y，即（）则x y (x y)(4x4y9x94y9x4y9x即)13 213 25（当且仅当xyyxyxy49，又1，从而解得x 10,y 153x 2y时取等号）xy3x y6 07设x,y满足约束条件x y2 0，若目标函数z axby(a,b 0)的最大值为 12，x 0,y 0则2523的最小值为ab6解：解：画出x,y满足的约束条件所确定的可行域，可以得到当x 4,y 6时，目标函数z axby(a,b 0)能取得最大值，即4a6b 12 2a3b 6由6()(2a3b)()6()13 22a3b2a3bbaab4y9xba13 25当且仅当时abxy取等号从而2325ab6故2523的最小值为ab6x2y2xy8若不等式对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是km,)，10843k则正整数m可能取值为1或2x2y2xyxy1kk(x,y 0)，解：解：108y4x310843而x,y 0 xyxyxy1当且仅当即x 3 3y时取等号 2108y4x108y4x108y4x6 3则由题意得11k3 6 3 k 3，即k36 3考虑到“必要不充分条件”，故正整数m可能取值为1或29若实数x、y满足4 4 2xy2xyx12y1，则S 2x2y的取值范围是(2,422解法一解法一 设2 u,2 v，则u v 2u 2v(u,v 0)(u 1)(v1)2(u,v 0)，2S u v(u,v 0)，数形结合得S(2,4故S 2 2的取值范围是(2,4解法二解法二 设2 u,2 v(u,v 0)，则S u v，xyxyu2v2 2u 2v (u v)22(u v)2uv 0，从而到得u v 2；(u v)2uv又由，2 uv（当且仅当u v时取等号）得2uv 22(u v)2 u v 42uv 4(u v)2(u v)22故S 2 2的取值范围是(2,410给出下列四个命题：若a b，则a b；若a b 1，则xy22ab；a1b1n；2若m,nN且m n，则m(nm)若x 0且x 1，则ln x其中真命题的序号是 1 2ln x解：解：举反例：若3 2，则(3)2故不正确a b 1，a1 0，22b1 0，ab a(b1)b(a1)aba abb a b成立，故正确a1b1nn2 4mn4m2 n2(n2m)2 0成立，故正m(nm)m(nm)24确当0 x 1时，lnx 0，ln x二、解答题二、解答题11 围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x（单位：m），修建此矩形场地的总费用为y（单位：元）.将y表示为x的函数；试确定x，使修建此矩形场地的总费用最少，并求出最小总费用解：解：设矩形另一边长为am，则由题意得21 2不可能成立，故不正确ln xy 45x180(x2)2a 225x360a360，由已知xa 360得a 360，x3602360(x 0)y 225xx3602360 2 2253602360 10440，x 0，y 225xx3602当且仅当225x，即x 24时，等号成立x答：答：当x 24m时，修建此矩形场地的总费用最少，最小总费用是10440元12某厂家拟在今年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m(m 0)万元满足x 3k（k为常数）如果不搞促销活动，则该m1产品的年销售量为1万件已知今年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括年促销费用）将该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m万元的函数；厂家今年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润解：解：由题意知当m 0时，x 1，13k即k 2，x 3每件产品的销售价格为1.52m1816x元，x816x根据题意得y x(1.5)(816xm)48xm，x2216x 3，y 48(3)m，即y 28m(m 0)m1m1m11616y 28m 29(m1)，m1m11616m 0，m1 0，从而(m1)即 2 16 8，当且仅当m1m1m1m 3时，等号成立此时，ymax 298 21（万元）答：答：该厂家今年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元
