第8章习题答案.(DOC).docx

第8章信号检测与处理电路8.1 教学内容与要求本章重点讲述集成运放在信号检测与处理中的应用，介绍了集成运放在解决实际工程问题中的作用， 以及信号检测系统中常用的仪用放大电路、有源滤波器电路、电压比较器电路的组成结构、工作原理及工 程应用。教学内容与教学要求如表8.1所示。表8.1第8章教学内容与要求内容提要教学内容教学要求重点与难点熟练掌握正确理解一般了解信号检测系统中的放大电路精密仪用放大器的电路组成和工 作原理及应用V重点：精密仪用放 大器分析难点：信号检测系 统中的放大电路工作原理分析电荷放大器的组成及工作原理采样保持电路的组成及工作原理V精密整流电路的组成及工作原理有源滤波电 路滤波电路的基础知识重点：滤波电路的 基础知识及低通滤 波电路的分析方 法；低通与高通之 间的关系；带通、 带阻与低通、高通 之间的关系难点：滤波电路传 递函数的推导方法低通、高通有源滤波器的滤波特 性及分析方法V带通、带阻及全通有源滤波器的 电路结构与特性开关电容滤波器组成及工作原理无限增益的有源滤波电路组成及 分析方法V集成有源滤波器的结构及应用V电压比较器的特性和分析方法V重点：求各种比较 潜阈值电压及画传 递函数难点：迟滞比较器 阈值电压的确定8.1.1 信号检测系统中的放大电路精密仪用放大器具有大的电压放大倍数，高输入电阻和高共模抑制比。它具有较高精度和良好性能， 主要是完成对微弱小信号的精密放大。精密仪用放大器的电路多种多样，最常用的为由三个集成运放组成的差分测量放大电路，但由于运放 特性难以匹配，电阻值也不可能特别精确，因此放大还有一定的误差，在要求较高的场合，可采用集成仪 用放大器。电荷放大器可以将电荷量转换成电压量，主要用于电容类传感器的电荷放大。采样保持电路用于A/D 转换过程中，保持采样值不变，直到A/D转换结束。精密整流电路用于对小信号的整流。822有源滤波电路1.滤波电路的基础知识_> 8+图 P8.4【解8.4(1)根据图8-12 (b)可得电路的传递函数为44=（"猊令s = j,一得电路的频率特性为2tiRCR,4（加）=（1 + U）R,4（加）=（1 + U）1 + /o令/ = o,可得通带放大倍数为41 Rf I 150,4=1 +=1 +=4" R 50（2）当户忒）时，A” « 0.707 A,故通带截止频率fu= fo =ItiRC27rxi 50 x 1。3 x 0.033 x 10-6= 32.17H7 输人端加入信号与 =5sin 120cof时，f = 120 /2%=19.1HZ。在此信号频率下的电压放大倍数为: 2.961+（。32.178.5 图P8.5所示电路为施密特触发器，稳压管稳压值Uz=6V,求施密特触发器的电压传输特性和 回差电压。头土近图 P8.5【解8.5】由图可知：+ u =±t/z 二(±6) X V& + a R2 + Rt R2 + Rf令_=+,求出的/就是阈值电压，因此得出:7?2 + Rf7?2 + 凡3绘=6或V所以回差电压为U = 0TH2 0TH1 = 12； V4 + %R3 3kCvdz nm NM vd/?! 10kQ5。-IP-R2 20kQ+3 vo_r 8.6 如图P8.6所示，设运放为理想的，稳压管的稳压值是6V,二极管是信开关管，其正向压降可忽 略不计。试求该电压比较器的阈值电平，并画出它的电压传输特性曲线。©U°图 P8.6【解8.6】由图可知：u_ 0 & u + N x3 - 20 u + 1° x3 = 2q+lR+R2 1 R+R210 + 20 ' 10 + 203 '令_= +,求出的/就是阈值电压，因此得出:Uth = L5V当 a一1.5V 时，U°=6V；当 a<1.5V 时，U°=OV 0 其传输特性如图解P8.6所示。Uo/V 6 -1.50UiN图解P8.68.7 试说明图8-9 (a)所示电路之所以能实现小信号精密整流的工作原理。若& =5kQ, Rf =10k£l,输入信号为=0.7sino/(V),试画出输出信号的波形。&I vd9 坪>oo VDi图 P8.7【解8.7在图8-9 (a)所示的电路中，设被整流电路为正弦信号，当为正值时，运放输出端电压打：为负值，这时VD2导通而VDi截止。在电阻上无电流流过，故输出4。为零。当七为负值时, 运放输出端电压可为正值，这时VDi导通而VD2截止，图8-9 (a)组成了反向比例运算电路，则输出电凡压C =-U- O 当 K =凡时，Un - -Ui o Or 111OI%输入信号为% =0.7sina(V)时，输出信号的波形如图解P8.7所示。8.8 设一阶LPF和二阶HPF的通带放大倍数均为2。通带截止频率分别为2Hz和50kHz。试用它们 构成一个带通滤波电路，并画出幅频特性。解8.8低通滤波器的通带截止频率为50kHz,高通滤波器的通带截止频率为2Hzo将两个滤波器 串联，就构成一个通带为2Hz50kHz的带通滤波电路。其通带放大倍数为4p =4通带增益为201g 4P -12其幅频特性如图解P8.8所示。8.9 在图P8.9所示电容测试电路中，已知输入电压是频率为100Hz、幅值为±5V的锯齿波，J 为 被测电容，通过测量输出电压的直流电压得到Cx的容量；G为消振电容。(1)设Cx = 005rF时，uo =-10V,试选取R的阻值；(2)根据选取R的阻值，试分析该电路的测量范围以及测量范围与相关器件的关系。VDa2R图 P8.98.10 试求如图P8.10所示电压比较器的阈值电平，并画出它的电压传输特性曲线。设稳压管的稳压值 是10V,运放的饱和输出电压为±15VoX5。-I1-R1 20kQ-IkQ+ (ZOrn_0+UoR? 30kQI买VDZ图 P8.10LW 8.10由图可知：十 ="U + rx+r2 1xU°3020令_=+，求出的/就是阈值电平，因此得出:当(/o=+10V 时当 Uo= - 10V 时°TH2 =其电压传输特性曲线如图解P8.10所示。UJV1()20 + 3020 + 30x(±10)20T-10T U,N图解P8.10所示8.11在图P8.ll (a)和(b)所示电路中，均为理想集成运算放大器。(1)指出它们分别是什么类型的电路；(2)画出它们的电压传输曲线。10kO10kQIkOO OO+IkOIkQ oI ijn>oo+IkQIkOZ±6VIkQZ±6V(b)图【解8.11】 (a)图所示电路为迟滞电压比较器。P8.ll当UO=+6V时t/TH1 = -0.6V当Uo= 6V时t/TH2 = 0.6V其电压传输特性曲线如图解P8.ll (a)所示。(b)图所示电路为反向输入的比例运算电路。u0 = 一 10%其电压传输特性曲线如图解P8.ll (b)所示。图解P8.10(b)R 20kQ图 P8.12-0.6 00.6-6图解 P8.U(a)8.12 电路如图P8.12所示，双向稳压管的Uz =±6V ,输入电压为=0.5sin co/ ,试画出wo|、uO2 以及。的波形，并指出集成运放的工作状态。【解8.12由图可知Ai工作在线性状态，构成反相输入比例运算电路。ux = -4%20A2工作在非线性状态，构成反相输入的过零电压比较器。当0】< 0 时，= +6V ；当 > 0 时、u()2 = -6VA3工作在线性状态，构成积分电路。k2dt + uo“01、/2以及"o的波形如图解P812所示。8.13 图P8.13所示电路为一监控报警电路，试说明其工作原理。并说明该监控电路关键器件参数选择 的基本原则。? Vcc图 P8.13【解8.13】当Mr时，运放输出正的饱和值，晶体管VT导通，继电器J线圈得电，触电闭合, 信号灯亮，电铃报警。当/ <r时丁运放输出负的饱和值，晶体管VT截止，继电器J线圈失电，触电打开，信号灯不亮, 电铃不响，报警电路不动作。8.14 试分析具有滞回特性的比较器电路，电路如图P8.14 (a)所示，输入三角波如图P8.14 (b)所 示u设输出饱和电压UoM =±1°V,试画出输出波形。R_ >oo+4-O&广50kQY(a)100kQ(b)P8.148.14由图可知:u_ = ux50° -100+50X(±10)=±y V令_=+,求出的/就是阈值电平,因此得出:当 t/o=+10V 时当 Uo= - 10V 时“TH2!2V3.12v3其输出电压波形如图解P8.14所示。()Z/ms-10 图解P8.148.15 某理想运放组成的电路如图P8.15所示，画出电路的电压传输特性。已知运放输出 Uom=±12V。A?图 P8.15【解8.15】当输入电压6V时，集成运放Al的输出=+12V, A2的输出42 =-12V。使 得二极管VD导通，VD2截止，输出电压% =+12 V。当输入电压 <3V时, 集成运放Al的输出与=12V , A2的输出=+12V。使得二极管VDi 截止，VD2导通，输出电压分 =+12V。当输入电压3V< <6V时，集成运放4的输出与 =12V, A2的输出2=12V。使得二极管VDi、都截止，输出电压4 =0V。其电压传输特性曲线如图解P8.15所示。八 12036 u，V图解P8.158.16 图P8.16所示电路为监控报警装置，Uref为参考电压，卬为被监控量的传感器送来的监控信 号，当i超过正常值时，指示灯亮报警。请说明其工作原理及图中的稳压二极管和电阻起何作用？vDzNM图 P8.16【解8.16当Kref时，运放输出正的饱和值，晶体管VT导通，指示灯亮进行报警；当 < ref时，运放输出负的饱和值，晶体管VT截止，指示灯不亮。当% <r时，运放输出负的饱和值，晶体管VT截止，继电器J线圈失电，触电打开，信号灯不亮,电铃不响，报警电路不动作。8.17 如图P8.17所示是一个电平识别电路，当输入电平在上、下阈值之间时，绿发光二极管亮；当输 入电平在上、下阈值之外时，红发光二极管亮。试求上、下阈值电平值及第二级电路的滞后电压宽度。设 LM393的输出高电平为12V,低电平为0V, 741的输出饱和电平是±10V ,发光二极管的导通电压为1.2VlOkQlOkQlOkQ图 P8.171 + 1xl2V = 2V, U =U,。 -1【解8.17】对Al； U+ =10+1+1对A2； U =X12V = 1V, 10+1+110 uB+ 10 uc.10 + 1010 + 10对A3； U =，X12V = 4V, U+2 + 1+当q>2V时，Al输出低电平OV, VD|导通，忽略VD1的导通电压，Vb=0Vo或当IV时,A2输出低电平OV, VD2导通，忽略VD2的导通电压，Vb=OVo此时A3的。十< G , Uo =-10V ,红发光二极管亮，Uc =-1.2Vo当lV<Uj<2V时，Al输出高电平12V, VD1截止，A2输出高电平12V, VD2也截止。此时+12V电源通过3个13kQ电阻使绿发光二极管正偏发光。由分析可知上、下阈值电平值为：（1）滤波电路的功能：选择有用频率信号，同时抑制无用频率成分。（3）对滤波电路频率特性的要求：通常把能够通过的信号频率范围定义为滤波器的通带，在通带内，滤波电路的增益应为保持为常数。把受阻或衰减的信号频率范围称为阻带，在阻带内，滤波电路的增益应该为零或很小。（3）滤波电路的分类：按处理的信号不同，可分为模拟滤波电路和数字滤波电路。按使用的元件不同，分为LC滤波器、RC滤波器和RLC滤波器。按有无使用有源器件分，有源滤波器和无源滤波器。按幅频特性不同，分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器。（4）滤波电路的主要参数 通带电压增益人叩对于低通电路，4叩是频率户。时的输出电压与输入电压之比；对于高通滤波电 路，当集成运放性能理想时，人叩是频率户8时的输出电压与输入电压之比。特征频率/它只与滤波电路的电阻和电容元件的参数有关，通常为=一。对于带通（带阻）ItiRC滤波电路，称为（阻带）中心频率，是通带（阻带）内电压增益最大（最小）点的频率。通带截止频率力是电压增益下降到A.P/V2 时所对应的频率。带通和带阻滤波电路有两个人，即 启和力2。力与播不一定相等，但总有关系。 通带（阻带）宽度BW是通带（阻带）电路两个亦之差，即BW=/pi一启. 等效品质因数Q对带通（带阻）滤波电路，。值等于中心频率力与通带（阻带）宽度BW之比； 对低通和高通滤波电路，。值等于中心频率力处滤波电路电压增益的模与通带增益人叩之比。（5）有源滤波电路的阶数有源滤波电路传递函数分母中力”的最高次方称为滤波电路的阶数。阶数越高，滤波电路幅频特性的 过渡带越陡，越接近理想特性。2 .有源滤波电路的分析方法（1）求滤波电路的传递函数假设滤波器是一个线性时不变网络，滤波器的输入信号为对（。，输出信号为。«）,则在复频域内式中A（s）是滤波器的电压传递函数，一般为复数。（2）求滤波电路的频率特性在传递函数中用jco代替S,就可得到滤波电路的频率特性。对于实际频率来说 （S = jo）,则频率特性可以表示为：其中|A（称为幅频特性，火称为相频特性。（3）根据传递函数判断滤波电路的功能，根据定义求滤波电路的主要参数。3 .高通与低通滤波电路之间的对偶关系(1)在频率特性性上的对偶关系当低通滤波电路和高通滤波电路的通带增益和截止频率分别相等时，两者的幅频特性曲线相对于垂直 线句)对称。(2)在传递函数上的对偶关系将低通中的sC换成1/R,而将R换成1/GC),则变成对应的高通滤波电路的传递函数。(3)在电路结构上的对偶关系把低通滤波电路中起滤波作用的R换成G以及起滤波作用的C换成R,则低通滤波电路就转化为对 应的高通滤波电路了。4 .带通、带阻及全通滤波器(1)带通滤波器设低通滤波器的上限截止频率为,高通滤波器的下限截止频率为，当满足条件3 > fp2时，低通和高通滤波器串联就可构成带通滤波器。(2)带阻滤波器设低通滤波器的上限截止频率为,高通滤波器的下限截止频率为力,2，当满足条件< /p2时，低通和高通滤波器并联就可构成带通滤波器。(3)全通滤波器全通滤波器是指能使所有频率都通过的滤波器，其带宽理论上为无穷大，也就是说在整个频率范围内 该有源滤波器的增益为固定值。有源全通滤波器虽然在信号幅值上没有造成变化，但它能使信号的相位随 着输入信号频率的变化而变化。5 .2.3电压比较器1.概述(1)电压比较器的功能与要求功能：输入电压与参考电压进行比较，并用输出的高、低电平表示比较结果。要求是：判别输入信号电平灵敏、准确；判别可靠，具备抗干扰能力；反应灵敏，即从检测出 输入电平逾限开始，到输出完成状态翻转为止，时间尽可能短。(2)电压比较器的分类电压比较器分为单门限电压比较器、滞回电压比较器以及窗口比较器等。单门限电压比较器：输入电压与参考电压较，输出正的最大值或负的最大值。只有一个阈值电压。其 结构简单，灵敏度高，但它的抗干扰能力差。滞回比较器是在单门限电压比较器的基础上，通过电阻把输出电压反馈到放大器的同相输入端形成正 反馈，它具有两个不同的阈值电压。滞回比较器具有迟滞特性，抗干扰能力强。简单比较器和滞回比较器有一个共同特点，即输入信号为单方向变化(正向过程或负向过程)时，输出电压"o只跳变一次，只能检测一个输入信号的电平。窗口比较器提供了两个阈值电压和两种输出稳定状态,其特点是输入信号单方向变化时，可使输出电 压跳变两次，窗口比较器可用来判断输入信号是否在某两个电平之间。(3)电压比较器中集成运放的工作状态与特点工作状态：在电压比较器电路中，绝大多数集成运放不是处于开环状态就是只引入了正反馈，集成运 放工作在非线性工作区。特点：当"+ > ”一时，=+U0M ；当 + v u_ 时，U() Uom o“虚短"，+ =，_ =0。（4）电压比较器的分析方法求阈值电压根据电路求出集成运放同相输入端点位+、反相输入端电位一，令u+ = u_,解得的输入电压就是阈值电压Uth ；求输出低电平U。,和输出高电平通过研究集成运放输出端所接的限幅电路来确定电压比较器的输出低电平和输出高电平Uoh。画电压传输特性根据阈值电压，分析在输入电压由最低变到最高（正向过程）和输入电压由最高到最低（负向过程） 两种情况下，输出电压的变化规律，然后画出电压传输特性。在。过"th时的跃变方向决定于U1作用于集成运故的哪个输入端。当U从反相输入端（或通过电阻）输入时，二Uoh，Ui>Uh，Uo = U ol；当从同相输入端（或通过电阻）输入时，U>Uth，U0 = Uoh，U<Uth，U0 = Uol。自测题8.1选择题：1 .精密差分测量三运放放大电路；对（）能有效放大，对（）有效抑制。A.差模信号B.差模信号和共模信号C.共模信号2 . 一阶低通或高通有源滤波电路，其截止频率与R和C有关，其表达式为（）A. -B. C. !RC2yRC2 兀 KC3 .在下列各种情况下，应分别采用哪种类型的滤波电路。（a）抑制50Hz交流电源的干扰；（b）处理具有1Hz固定频率的有用信号；（c）从输入信号中取出低于2KHz的信号；（d）抑制频率为100kHz的高频干扰。A.低通B.高通C.带通D.带阻4 .为使低通或高通有源滤波电路更趋近于理想频率特性性，达到80dB/十倍频程，应选用哪种滤波电 路。（）A.二阶 B.四阶C.八阶5 .为了能实现对同一种产品的分选，一般选择（）比较器A.单阈值电压比较器B.滞回电压比较器 C.窗口比较器【解 8.1】1. A Co 2. Co 3. （a） D （b） C （c）A （d） Do 4. Bo 5. C8 . 2填空题:1 . 一阶低通滤波器可以构成一阶高通滤波器，只要把 互换位置就行。2 .有源滤波器中所谓能让有用频率信号通过，而对无用或干扰频率信号加以抑制，这都是指 波形信号而言，对非正弦被信号可看作 频率信号来理解。3 .在某个信号处理系统中，要求让输入信号中5kHz10kHz信号通过，应该选用 滤波器，如果要抑制50Hz干扰信号，不使其通过，可采用 滤波器。4 .为了使滤波电路的输出电阻足够小，保证负载电阻变化时滤波特性不变，应选用 滤波电路。5 .把低通滤波器和高通滤波器，就能实现带通滤波器，把低通滤波器和高通滤波器， 就能实现带阻滤波器。6 .用低通滤波器和高通滤波器实现带通滤波器的条件是 o7 .用低通滤波器和高通滤波器实现带阻滤波器的条件是 o8 .全通滤波器在整个频率范围内，幅值，相位 o【解8.21.R和C。2.正弦波，正弦波叠加。3.带通，带阻。4.有源。5.串联，并联。6.低 通滤波器的上限截止频率高于高通滤波器的下限截止频率。7 .低通滤波器的上限截止频率低于高通滤波器 的下限截止频率。8.不变，随输入信号频率的变化而变化。8.3 二阶低通滤波器如图T8. 3所示，已知与=10kQ, /?F =15kQ, K = l()kQ, 。=0.01"，试求：(1)通带电压放大倍数；(2)截止频率；(3)已知为=10Q, C = 0.1|iF,若希望截止频率为40Hz,Q=0.8,电阻R和Rf应取何值?C11RiRfI1 I图 T8.3【解8.3 通带电压放大倍数：Au=l + - = l + = 2.5up R、 10设通带截止频率为/h，则当/ = /h时，Zu的分母的模应等于J5,可解出图T8.3二阶低通滤波器的上限截止频率为：/H =1.4801可得:1可得:2/iRC2x10x103x0.01x10-6=1592.36出所以：Th =1.484 = 1.48x1592 .36 = 2356 .69Hz可求得：Ap=2.25根据/)=一可得：R =2/rRC2成。2x36x0.1x10= 49761 Q = 49.761 kQ -oR1 += 2.25，可求得 Rf 12.5履1 o当。二0.8时，可求得 儿=1.11工)，因为为=40Hz,所以力二36Hz。8.4 电路如图T8.4所示。图中集成运放均为理想集成运放，试分别求出它们的输出电压与输入电压 的函数关系；指出哪些符合“虚地”，指出哪些电路对集成运放的共模抑制比要求不高。50kCc=HkQu,-o20kQUmCZL20kQi lOkQ4=1-_08 +U。-oR'(a)(c)(b)5lkQ(d)%图 T8.4【解 8.4(a)图 0。= + 哈Ui3)= (Un + 2a2 +5UQ因为：U_kU+=0,具有“虚地”的特点，电路对集成运放的共模抑制比要求不高。四 Z1 H0x/ 20 20 、(b)图 U = (I H)(Un HUi2) = 6(。 + t/i2)°10 20 + 20 “ 20 + 20 ,21112因为：。_六。+。0,不具有“虚地”的特点，电路对集成运放的共模抑制比要求较高。图0。=-即=-皿 对A,因为：U_U+ =0,具有“虚地”的特点，电路对集成运放Al的共模抑制比要求不高。对A2,因为：不具有“虚地”的特点，电路对集成运放A2的共模抑制比要求较高。(d)图 %=(1 + ?)(三力 +-Ui2)=5Ui +UQ 工工 II JL “ 1°、U o = 一y U01 + (1 + )t/3 乙乙=925窝+54)+ 64j)电路中Ai、A2都不具有“虚地”的特点，所以对集成运放的共模抑制比要求较高。8.5 电路如图T8.5所示，写出输出电压与输入电压的关系。RiRR图 T8.5【解8.5】U。1=一5u°2 = -Uo= u、umu习题8.1 设电路如图P8.1所示，若要求二阶压控电压源LPF的/()=500Hz,。=。.7 ,试求图中各电容、 电阻的值。_ >oo。Rt,L1-RR m . R . pFr-lIr%(s) J- -L一一 5图 P8.1解8.1滤波网络的电阻R和电容G、C2确定特征频率/o的值，电容的容量一般低于1|1F,取G = G = C = 0.1/，根据fo -可得: 2/rRCR 三C 2.X500 X 0,1X10-R 三C 2.X500 X 0,1X10-= 3185。(2)根据Q =0.7，可求得：Aup = 1.57Rf（3）根据集成运放两个输入端外接电阻的对称条件及=1 + 可得: 叩 RRf勺7% /Rf=R + R = 2R代入可求得R=17.5居1,宠2=9.982o8.2 通过总结，简述下列问题：（1）滤波器的分类有哪些？（2）有源滤波器有哪些主要性能指标？（3）在实际应用过程中，有源滤波器如何选择？（4）高阶滤波器与一阶滤波器有哪些本质区别？【解8.2（1）按处理的信号不同，分为模拟滤波器和数字滤波器。按使用的元件不同，分为LC滤波器、RC滤波器和RLC滤波器。按有无使用有源器件分，分为有源滤波器和无源滤波器。按幅频特性不同分，分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器和全通滤波器。（2）有源滤波器的主要性能指标有：通带电压放大倍数4叩、特征频率力、通带截止频率向，九、通 带宽度BW和等效品质因数Q。3 3）4 4）5 .3指出如图P8.3所示电路是什么滤波器，并求出它的通带增益函数和截止频率。Ri 39kQ1TT. C2O.1|1F+>8Q 0.1 iF 力“八八十"0R2 720Q_ _U。T nI-1 I 1 I工/?3 IkQ/?4 99kQ图 P8.3【解8.3根据电路可知:u0= （1 + 如+K3UUm=Um-U Um-U+K _L联立上述三个方程求解，得传递函数为:AG)= &s1 + s + 0)l其中iA"27，/?|尺22=300H7 ，Z«J & 殳 CC?(q + cj+cd-Ap)=0.78 o上式中令$ = jo),可得滤波器的频率特性A(jco) = _灯_产+加"。可得幅频特性|4 汝)| =|4 汝)| =|4 汝)| =7a2/2-i)2+/o/(/02当户o时，|A(，/)| = 0；当户8时，|A(/“O| = Ap。又因为传递函数分母中的最高次数是2, 所以是二阶高通滤波器。通带增益为A, = 1+与=1 +?=loo。令: 1J(,灯/21)2+4/(/。)2一行解之得滤波器的截止频率为：fH =/；)/l.l = 273HZo6 .4 一阶低通滤波器电路如图P8.4所示，已知W=50kC, R = Rf =150kQ, C = O.O33pF。(1)试求通带电压放大倍数；(2)计算通带截止频率；(3)若在输入端加入信号=5sin 120(0,时，试求在此信号频率下的电压放大倍数。