列车餐饮价格问题实训论文.doc
.1/24列车餐饮价格问题实训论文-日期：.2/24潍坊学院潍坊学院数学与信息科学学院数学与信息科学学院数学建模实训论文数学建模实训论文实训题目：实训题目：列车餐饮价格问题列车餐饮价格问题学生、专业、班级：学生、专业、班级：1 1、xxxxxx数学与应用数学一班数学与应用数学一班2 2、xxxxxx数学与应用数学一班数学与应用数学一班3 3、xxxxxx数学与应用数学一班数学与应用数学一班指导教师：指导教师：xxxxxx.3/242001120011 年年 1212 月月目录目录1 1摘要摘要3 32 2 问题重述问题重述3 33 3问题分析与假设问题分析与假设|3 33.13.1 模型假设模型假设3 33.23.2 符号说明符号说明4 44 4 问题分析问题分析4 45 5 模型建立与求解模型建立与求解5 56 6 模型结果分析与检验模型结果分析与检验11117 7 模型讨论与改进模型讨论与改进12128 8 参考文献参考文献.4/2412129 9 附录附录1313列车餐饮价格问题列车餐饮价格问题摘要摘要：从现实出发综合考虑各种因素的条件下，以最大效益为目标，首先应该考虑食物价格和食物的销售量。根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系。收益函数QPR*是非单调函数，这样把离散函数近似看成连续函数利用求导法则可求出最大值，但是由于无法统计调查相应的价格对应的销售量，只能用主观的满意度进行计算，并将盒饭和方便面价格分成七种不同的价格机制，每种价格机制对应着满意度，考虑到满意度：列车乘客对食物的满意程度，并假设只要对此种食物满意就必须买这种食物。购买商品的人数=列车总人数*满意度，再根据收益函数求出各种价格的收益。从现实情况可知两种食物的售价所对应的价格机制 k 相差不能超过 1，如盒饭售价在为第 2 种价格机制时，方便面的售价只能是第 1、2、3 三种价格机制；同理可求出相应的收益并求出最大的收益。考虑到乘客长时间乘车后，产生疲劳的心情，对方便面这种油腻的食物会比较反感，因此乘客更愿意倾向于购买盒饭，当然由于经济原因，部分乘客还.5/24是选择方便面因此可以主观估计出购买方便面和盒饭占总购买人数的百分比，同理可求出相应的收益并求出最大的收益。关键字：关键字：满意度 价格机制 收益问题重述问题重述长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一些服务，提供一天三餐是最主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次到的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋与些许咸菜，价格10元；中午与晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面与面包等食品，但价格也偏贵，如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量与食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000 人，其中 500 人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给 200 人；另外，车上还可提供每餐 100 人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。问题分析与假设问题分析与假设1 乘客在车上买方便面和买盒饭的行为独立。2 午餐和晚餐的情况是一样的。3 乘客不会出现都自带食物的偶然性。4 早餐情况不考虑。5 假设盒饭的价格和满意度的关系如下。6 每一量火车的货物成本是一样的。价格和满意度表价格方便面33.544.555.56盒饭910.51213.51516.518.6/24满 意 度量化100%95%80%70%60%40%30%满意度非常满意很满意比较满意基本满意不太满意不满意很 不满意符号说明符号说明1p：盒饭价格2p：方便面价格1n：购买盒饭的人数2n：购买方便面的人数1q：提供的盒饭的人数2q：提供的方便面人数iY：收益7,6,5,4,3,2,1i问题说明此问题是最优化问题，首先应该考虑食物价格和食物的销售量。根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系，即，商品的价格 P 上升，需求量 Q 减少；商品的价格 P 下降，需求量 Q 增加。收益函数 R=P*Q 是非单调函数，这样把离散函数近似看成连续函数利用求导法则可求出最大值，但是由于无法统计调查相应的价格对应的销售量，只能用主观的满意度进行核算。模型建立与求解模型建立与求解确定价格和销售量来求最优解在成本一定的情况下只要考虑销售就可以，不用.7/24考虑成本。有模型如下考虑买方便面和盒饭的比例和销售的比例一样时有：乘客对以下价格的满意程度分别为价 格 机制1234567价格方便面33.544.555.56盒饭910.51213.51516.518满 意 度量化100%95%80%70%60%40%30%从表中可以看出前五种都可以把方便面和盒饭销售完，从而可得前五种第五种的销售效率最高，4000100*200*215ppY（元）对于第 6 种，200%40*500nn21133n167n2256367*p133*pY216对于第 7 种，150%30*500nn21100n150n22100p*50p*100Y217综上所述，方便面定价 5 元，盒饭定价 15 元，收益最高。考虑到乘客长时间乘车后，产生疲劳的心情，对方便面这种油腻的食物会比较反感，因此乘客更愿意倾向于购买盒饭。（当然由于经济原因，部分乘客还是选择较为便宜的方便面）.8/24列车运行时间超过一天；两种食物的售价对应的价格机制 k 相差不能超过 1，如盒饭售价在为四种价格机制时，方便面的售价只能是第三、四、五中价格机制；乘车时间不超过一天时，购买食物的乘客中，有%60购买的是方便面，%40购买的是盒饭；乘车时间超过一天时，购买食物的乘客中，有%25购买的是方便面，%75购买盒饭。当一种食物1p保持第k种价格机制不变、另一种食物2p提高到1k种价格机制时，因2p升价而减少的人全部打算购买1p。比如：盒饭保持第 3 种价格机制12 元 不变，而方便面由 4 元提升到 4.5 元时，购买方便面得人减少%10%)70%80(，这部分人都转而打算购买盒饭。对于列车运行的第一天首先考虑两种食物处于同一种价格机制时,销售利润有 Matlab 给出算法。模型如下)100(*100*).100(*:).,2()200(*200*).200(*:).,1(1zzzAxxxAY建立一个满意度和价格关系的矩阵如附录 1 所示，A=9.000010.500012.000013.500015.000016.500018.00003.00003.50004.00004.50005.00005.5000.9/246.00001.00000.95000.80000.70000.60000.40000.3000可得对应的价格下的购买食物的人数如附录 2B1=500475400350300200150（1）买盒饭的人数如附录 3N1=2001901601401208060买方便面的人数如附录 4N2=30028524021018012090总销售额如附录 5Y1=21002345 23202340230018701620.10/24（2）当盒饭售价为第 K 种价格、方便面售价为第 k+1 种价格时打算购买盒饭的人数如附录 6M1=215235190170180110打算购买方便面的人数如附录 7M2=28524021018012090总销售额如附录 8Y2=215025002730279532502355（3）当方便面售价为第 k 种价格，盒饭售价为第 K+1 种价格时购买盒饭的人数如附录 9D1=1901601401208060购买方便面的人数如附录 10.11/24D2=310315260230220140总销售额如附录 11Y3=229522702290225018201630综合（1）、（2）、（3）得到:第一天中利润最大的价格方案为：方便面 5.5 元，盒饭 15 元。对于列车运行两天的情况（1*）两种食物处于同一种价格机制时,销售利润此时买盒饭人数如附录 12N1=375.0356.2500300.0000262.5000225.0000150.0000112.5000买方便面人数如附录 13N2=125.0000118.7500100.000087.500075.000050.0000.12/2437.5000销售额如附录 14Y1=1.0e+003*2.10002.45002.80003.09383.37502.75002.2500（2*）当盒饭售价为第 K 种价格、方便面售价为第 k+1 种价格时，买盒饭人数如附录 15M1=381.2500375.0000312.5000275.0000250.0000162.5000买方便面人数如附录 16M2=118.7500100.000087.500075.000050.000037.5000总销售额如附录 17Y2=.13/241.0e+003*2.15002.50002.79383.07503.27502.9063（3*）当盒饭售价为第 K+1 种价格、方便面售价为第 k 种价格时购买盒饭的人数如附录 18D1=356.2500300.0000262.5000225.0000150.0000112.5000购买方便面的人数如附录 19D2=143.7500175.0000137.5000125.0000150.000087.5000总销售额如附录 20Y3=1.0e+003*2.40002.75003.10003.45002.97502.5063综上（1*），（2*），（3*）得，盒饭 15 元，方便面 4.5 元。综上所述制定的价格方案为：第一天盒饭每盒 15 元，方便面 5.5 元，第二天盒饭 15 元，方便面 4.5 元。.14/24模型结果分析和检验模型结果分析和检验模型讨论和改进模型讨论和改进在上面的模型的建立中是从主观的角度来进行定价以与主观的满意度来分析的，考虑到经济学中的价格机制问题先确定价格的种类，然后分别求解出最优解来，模型改进时避免从主观的角度进行分析，而从列车收益的角度进行分析，因为每一顿饭解决的问题是以一样的，盒饭与方便面不妨我们就以午餐为例来进行计算建立模型。根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系，即，商品的价格上升，需求量减少；商品的价格下降，需求量增加，单独考虑盒饭的，价格与需求之间的关系，分为两种情况(一)价格与销售量是线性的，设价格为x，销售为y。最低价格为1x，销售量为1y。最高价格为2x，销售量为2y，价格与销售量之间的函数表达式：1121211212)(xxxyyyxxxyyy由于列车上食物的成本每次基本上是一样的，即使不一样，也就因为地区上差异，我们不考虑这方面的因素。建立模型。用Y来表示出它的收益，建立收益与价格的关系：.15/24xyY 求导数0Y求出最优解，把它代入Y,求出最优解。举个例子，当最低价格为 5 元时，恰好全部销售出去，当 20 元时，销售为 50份，在 MATLAB 中的输入程序如下：得到的最优解为当x=9.1666 元，y=1260.4元，B=17/2,9,19/2,10A=5015/4,1260,5035/4,1250得出结果由于在火车上收钱不方便那价格就定为 9 元与 9.5 元分别值为x1=input(Please input x1=:);y1=input(Please input y1=:);x2=input(Please input x2=:);y2=input(Please input y2=:);x=x1:0.01:x2;y=(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1;plot(x,y).16/24Y=x.*y;plot(x,Y)syms x;Y=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1);f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x3=fix(z)-0.5;x=x3;Y3=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x4=fix(z);x=x4;Y4=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)B=x3,x4,x5,x6.17/24A=Y3,Y4,Y5,Y6图 1：卖的盒饭数目与价格之间的关系.18/24图 2.销售额与价格之间的关系(二)考虑价格与销售不是线性的，而是凹函数，任何一个函数都可以用三角函数来表示出来，为了方便起见我们不妨设为正弦曲线，模型说明和上面的一样，设价格为x，销售为y。最低价格为1x，销售量为1y。最高价格为2x，销售量为2y，价格与销售量之间的函数表达式：212121)(2)(sin(1)(yxxxxyyy建立模型。用Y来表示出它的收益，建立收益与价格的关系：xyY 求出0Y的值来，代入Y就可以求出具体的值。.19/24举个更实际的例子，当最低价格为 5 元时，恰好全部销售出去，当 20 元时，销售为 50 份，在 MATLAB 中的输入程序：得到的结果为 11/2,6,13/2,7对应的收益为：1382.-1037.*sin(.1785e-1*pi),1382.-1037.*sin(.1785e-1*pi),1300-975*sin(3/40*pi),1400-1050*sin(1/10*pi)程序：x1=input(Please input x1=:);y1=input(Please input y1=:);x2=input(Please input x2=:);y2=input(Please input y2=:);x=x1:0.01:x2;y=(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2;plot(x,y)Y=x.*y;plot(x,Y)syms x;Y=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)f=diff(Y)z=solve(f);.20/24x=z;Y=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x3=fix(z)-0.5;t=x3;Y3=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x4=fix(z);t=x4;Y4=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)B=x3,x4,x5,x6A=Y3,Y4,Y5,Y6.21/24.22/24附录 1：40,0.3070,0.60,0.95,0.80,0.5.5,6;1,0.5,4,4.5,5,.5,18;3,3.13.5,15,169,10.5,12,A附录 2：:)A(3,*500B1附录 3：0.4*B1N1%买盒饭的人数附录 4：0.6*B1N2%购买方便面的人数附录 5：100)(N2*100.N2*100).(N2*:).A(2,200)(N1*200N1*200).(N1*:).A(1,Y1附录 6：7):N2(2-6):(N2(1,16):N1(1,1M1%打算购买盒饭的人数附录 7：7):N2(1,2M2%打算购买方便面的人数附录 8：100)(M2*100M2*100).(M2*7).:A(2,2200)(M1*200M1*200).(M1*6).:A(1,1Y2附录 97):N1(1,2D1%购买盒饭的人数附录 10 6):N2(1,17):N1(1,2-6):N1(1,1D2%购买方便面的人数附录 11：100)(D2*100D2*100).(D2*6).:A(2,1200)(D1*200D1*200).(D1*7).:A(1,2Y3附录 12：0.75*B1N1附录 13：.23/240.25*B1N2 附录 14：100)(N2*100.N2*100).(N2*:).A(2,200)(N1*200N1*200).(N1*:).A(1,Y1附录 15：7):N2(2-6):(N2(1,16):N1(1,1M1附录 16：7):N2(2M2 附录 17100)(M2*100M2*100).(M2*7).:A(2,2200)(M1*200M1*200).(M1*6).:A(1,1Y2附录 18：7):N1(1,2D1%购买盒饭的人数附录 19：6):N2(1,17):N1(1,2-6):N1(1,1D2%购买方便面的人数附录 20：100)(D2*100D2*100).(D2*6).:A(2,1200)(D1*200D1*200).(D1*7).:A(1,2Y3参考文献：参考文献：西方经济学简明教程（第六版）伯成主编：格致，2008符号计算系统 Mathematica 教程 韵华编著：科学，2001数学建模实验 周义仓，赫孝良编：交通大学，1999数学建模竞赛赛题简析与论文点评：交大近年参赛论文选编 赫孝良等选编：交通大学，2002数学建模案例分析 白其峥主编：海洋，2000数学建模案例精选 朱道元等编著：科学，2003.24/24数学建模导论 理荣主编：邮电大学，1999数学建模：原理与方法 蔡锁章主编：海洋，2000数学建模的理论与实践 吴翊，吴孟达，成礼智编著：国防科技大学，1999数学建模 继红等编著：工程大学，1998
