兰州一中2016高三9月月考数学试卷及答案精选.doc
2015-2016-12015-2016-1 学期高三九月月考数学试题学期高三九月月考数学试题一、选择题一、选择题：（本大题共有（本大题共有 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，分，共共 60 分）分）1已知集合,则(B)ABCD2.下列函数中既是奇函数，又在0，上单调递增的是（C）AsinyxB21yxx C33yxxDxye3.给 出 两 个 命 题:命 题:p命 题“存 在2,10 xR xx”的 否 定 是“任 意2,10 xR xx”；命题q：函数22log1yxx 是奇函数.则下列命题是真命题的是(C)A.pqB.pqC C.pqD.pq4.若函数 f(x)x2axa 在区间0,2上的最大值为 1，则实数 a 等于(D)A1B1C2D 25 已知函数 21cos,4f xxx fx是函数 f x的导函数，则 fx的图象大致是(A)ABCD6已知命题 p：x22x30；命题 q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则 a的取值范围是(B)A(，1B1，)C1，)D(，377.已知函数 f(x)mx2(m3)x1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的取值范围是(B)A(0，2)B(，1C(，1)D(0，28若 f(x)ax，x1，4a2 x2，x1是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为(C)A(1，)B(4，8)C4，8)D(1，8)9.已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，且当0 x 时，不等式()()0f xx fx成立，若a30.2f(30.2)，b(log2)f(log2)，c21log4f21log4，则a，b，c间的大小关系(A)AcbaBcabCbacDacb10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数 a 满足f(a2log)f(a21log)2f(2)，则 a 的取值范围是(D)A(，4B.(0，4C.41,0(D4,4111(文)已知321()=3f xxaxx是奇函数，则(3)(1)ff（A）A.14B 12C 10D-811.(理)若函数()cos2(),()()633f xxxfff则与的大小关系是(C)A()()33ffB()()33ffC()()33ffD不确定12已知函数 yf(x)为奇函数，且 对定义域内的任意 x 都有 f(1x)f(1x)当 x(2，3)时，f(x)log2(x1)给出以下 4 个结论：其中所有正确结论的为（A）函数 yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；函数 y|f(x)|是以 2 为周期的周期函数；函数 yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上单调递增；当 x(1，0)时，f(x)log2(1x)ABCD二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分分,共共 20 分）分）13.已知实数nm,满足,1,0nmnm则nm11的最大值_-4_14.已知1(1)1xf xxe，则函数()f x在点(0,(0)f处的切线l与坐标轴围成的三角形面积为14.15.若函数()yf x(Rx)满足(2)()f xf x且 1,1x 时，2()1f xx,函数7log (0)()1 (0)xxg xxx,则函数()()()h xf xg x在区间 7,7内零点的个数有_12_个.16.存在区间,Ma b（ab），使得|(),y yf x xMM，则称区间M为函数()f x的一个“稳定区间”.给出下列 4 个函数：()xf xe=；3()f xx=；()cos2f xx；()ln1f xx=+其中存在“稳定区间”的函数有_.（把所有正确的序号都填上）三、解答题三、解答题(本大题共有本大题共有 5 道小题，每小题道小题，每小题 12 分分,共共 60 分分)17.（本小题满分 12 分）设向量(sin2,cos2)mxx，(cos,sin)n，其中2，0，函数()f xm n 的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为(,1)6P，在原点右侧与x轴的第一个交点为5(,0)12Q.（）求函数()f x的表达式；（）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别是,a b c，若3()1,2f CCA CB ，且2 3ab，求边长c解：解：（I）因为()f xm n sin(2)x，-1 分由题意514126TT，-3 分将点(,1)6P代入sin(2)yx，得sin(2)16，所以2,()6kk，又因为|,26-5 分即函数的表达式为()sin(2),()6f xxxR-6 分（II）由()1f C ，即sin(2)16C 又20,3CC-8 分由32CA CB ，知3cos2abC ，所以3ab-10 分由余弦定理知22222cos()22coscababCabababC21(2 3)2 32 3()92 所以3c-12 分18.（文）（本小题满分 12 分）为了解某市的交通状况，现对其 6 条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：（）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（）用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.【解析解析】：（）6 条道路的平均得分为5.7)1098765(61.-3 分该市的总体交通状况等级为合格.-5 分来源:Zxxk.Com（）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0”.-7 分从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：)6,5(，)7,5(，)8,5(，)9,5(，)10,5(，)7,6(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，)9,7(，)10,7(，)9,8(，)10,8(，)10,9(，共15个基本事件-9 分事件A包括)9,5(，)10,5(，)8,6(，)9,6(，)10,6(，)8,7(，)9,7(共7个基本事件，157)(AP答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.0的概率为157.-12 分18.（理）（本小题满分 l 2 分）在 2015 年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其评估的平均得分(0,6)6,8)8,10全市的总体交通状况等级不合格合格优秀中 2 题的便可通过已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确回答，2 题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为、，则的可能取值为 1，2，3，P(1)C14C22C3615，P(2)C24C12C3635，P(3)C34C02C3615，考生甲正确完成题数的 分布列为来源:Zxxk.Com123P153515E1152353152.4 分又B(3，23)，其分布列为 P(k)Ck3(23)k(13)3k，k0，1，2，3；Enp3232.6 分(II)D(21)215(22)235(23)21525，Dnpq3231323，DP(2)10 分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成 2 题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验通过能力较强12 分19（理）在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，E是PD的中点，=90ABCACD,=60BACCAD,2ACAP.（）求证：PCAE；（）求二面角ACEP的余弦值解：（）取PC的中点F,连接EF,AF,则EFCD.因为2ACAP所以PCAF.1分因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD所以PACD又ACCD所以CD平面PAC3 分因为PC 平面PAC,所以CDPC；又EFCD，所以EFPC；又因为PCAF,AFEFF；所以PC平面AEF5分因为AE 平面AEF，所以PCAE6分（注：也可建系用向量证明）（注：也可建系用向量证明）（）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.则0,0,0B,0,1,0A,3,0,0C，2 3,3,0D,3,2,1E,0,1,2P3,1,0AC，0,2,1CE .8 分设平面ACE的法向量为1(,)x y zn，则110,0.ACCE nn所以30,20.xyyz令1x.所以1(1,32 3)，n.9 分由（）知CD平面PAC,AF 平面PAC,所以CDAF.同理PCAF.所以AF 平面PCEABCDPEFyzxABCDPE所以平面PCE的一个法向量231(,1)22AF n.10 分所以1212126cos,4 n nn nnn，11 分由图可知，二面角ACEP为锐角，所以二面角ACEP的余弦值为6412 分19.(文)在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，E是PD的中点，=90ABCACD,=60BACCAD，ACAP.（）求证：CE平面PAB；（）求证：PCAE证明：（）取AD的中点M,连接CM,EM.则有EMPA.因为PA平面PAB，EM平面PAB所以EM平面PAB2分由题意知=60BACCADACM,所以CMAB.同理CM平面PAB4分又因为CM 平面CME,EM 平面CME,CMEMM所以 平面CME平面PAB因为CE 平面CME所以CE平面PAB6 分（）取PC的中点F,连接EF,AF,则EFCD.因为APAC,所以PCAF.7分ABCDPEFMABCDPE因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PACD又ACCD所以CD平面PAC9 分因为PC 平面PAC所以CDPC又EFCD，所以EFPC又因为PCAF,AFEFF所以PC平面AEF11分因为AE 平面AEF所以PCAE12 分20.(本小题满分本小题满分 12 分分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，以原点 O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60 xy相切.（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线:L ykxm与椭圆 C 相交于 A、B 两点，且22OAOBbkka，判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【解析解析】：(1)由题意知12cea，22222214cabeaa，即2243ab，又6311b，224,3ab，故椭圆的方程为22143yx4 分(II)设1122(,),(,)A x yB xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km.212122284(3),.3434mkmxxxxkk 7 分22221212121223(4)()()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk8 分34OAOBkk,121234y yx x,121234y yx x,222223(4)3 4(3)34434mkmkk 22243mk,122222221222248(43)24(1)|1()41(34k)34kkmkABkxxx xk22113114(1)421kmdk22222221124(1)124(1)|22342(34)(1)1mkkmSAB dkkkk22221241243432(34)2342mkkk12 分21（文）已知函数22()(23)()xf xxaxaa exR，其中 aR.(1)当0a 时，求曲线()yf x在点(1,(1)f 处的切线的斜率；(2)当23a 时，求函数()yf x的单调区间与极值解：(1)当 a0 时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故 f(1)3e.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 3e.4 分(2)f(x)x2(a2)x2a24a ex(2)(2)xxaxae令 f(x)0，解得 x2a，或 xa2，6 分由 a23知，2aa2.以下分两种情况讨论：若 a23，则2aa2，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以 f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数函数 f(x)在 x2a 处取得极大值为 f(2a)，且 f(2a)3ae2a.函数 f(x)在 xa2 处取得极小值为 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2.9 分若 aa2，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)0来源:Zxxk.Com0f(x)极大值极小值所以 f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数函数 f(x)在 xa2 处取得极大值 f(a2)，且 f(a2)(43a)ea2.函数 f(x)在 x2a 处取得极小值 f(2a)，且 f(2a)3ae2a.12 分来源:Z*xx*k.Com21.(理)已知函数()ln3f xaxax（aR）(1)当1a 时，证明：在上，()20f x；(2)求证：ln2 ln3 ln4ln1(2,)234nnnNnn 解：(1)根据题意知，f(x)a1xx(x0)，当 a0 时，f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)；当 af(1)，即 f(x)2，所以 f(x)20.6 分(2)由(1)得ln xx320，即ln xx1 0，所以 ln xx1 对一切 x(1，)恒成立n2，nN*，则有 0ln nn1，0ln nnn1n，ln 22ln 33ln 44ln nn122334n1n1n(n2，nN*)12 分四、四、请考生在第请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲直线 AB 经过O 上的点 C，并且 OAOB，CACB.O 交直线 OB 于 E，D，连接EC，CD.（）求证：直线 AB 是O 的切线；（）若 tanCED12，O 的半径为 3，求 OA 的长解：(1)证明：连接 OC，OAOB，CACB，OCOB，又OC 是圆的半径，AB 是圆的切线4分(2)ED 是直径，ECD90，EEDC90，又BCDOCD90，OCDODC，BCDE，又CBDEBC，BCDBEC，BCBEBDBCBC2BDBE，又 tanCEDCDEC12，BCDBEC，BDBCCDEC12，设 BDx，则 BC2x，BC2BDBE，(2x)2x(x6)，BD2，来源:学#科#网OAOBBDOD235.10 分23（本题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程已知曲线12cos:1 sinxtCyt (t 为参数)，24cos:3sinxCy(为参数)（）化1C，2C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）过曲线2C的左顶点且倾斜角为4的直线l交曲线1C于,A B两点，求AB解：222212:(2)(1)1,:1.169xyCxyC曲线1C为圆心是(2,1)，半径是 1 的圆曲线2C为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长是 8，短轴长是 6 的椭圆4 分曲线2C的左顶点为(4,0)，则直线l的参数方程为24,22,2xsys （s为参数）将其代入曲线1C整理可得：23 240ss，设,A B对应参数分别为12,s s，则121 23 2,4.sss s所以212121 2|()42ABsssss s10 分24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数()|2|,*f xmxmR，且(2)0f x的解集为1,1（）求m的值；（）若,a b cR，且11123mabc，求证：239abc.解：（）因为(2)|f xmx，所以(2)0f x等价于|xm，2 分由|xm有解，得0m，且其解集为|xmxm4 分又(2)0f x的解集为1,1，故1m（5 分）（）由（）知111123abc，又,a b cR，7 分11123(23)()23abcabcabc2111(23)23abcabc=99 分(或展开运用基本不等式)239abc10 分
