上海市西南模范中学初三数学相似三角形提高班测试卷3.doc

.1/8初初三三数数学学相相似似三三角角形形提提高高班班测测试试卷卷初三班学号一、两两个个根根本本图图形形1、如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，A=90，E 在 AB 上，DEEC.求证：ADEBCE2、在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，将一个与B 相等的角的顶点放在 D 处，角的两边与直线 AB、AC分别相交于点 E、F.求证：(1)BDEDEFCDF；(2)DE、DF 分别平分BEF、CFE；(3)DE2=BEEF；DF2=CFEF二、几个例子1、如图，将矩形 ABCD 以 AE 为折痕进展折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，假设 AB=8，BC=10，那么 CE=2、如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，A=90，E 在 AB 上，DEDC，AD=a，AB=b，BC=2a.问在ADE、CDE、EBC 中有无相似的三角形？假设有，请证明；假设无，求相似时 a 与 b 的数量关系.3、如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC，A=90，E 在 AB 上，DEEC，AD+DE=AB=a，AE=m.那么BEC的周长是否与 m 有关？假设有关，试用含 a 的代数式表示BEC 的周长；假设无关，请说明理由.DBCEADBCEAFDBCEAFEDBCAEDBCA.2/84、如图，在矩形 ABCD 中，AB=a，BC=b，P 是边 BC 上的一个动点(与 B、C 不重合)，PEAP.问是否存在这样的点 P，使ABP 与APE 相似.假设存在，请确定点 P 的位置；假设不存在，请说明理由.5、如图，在矩形 ABCD 中，AB=7cm，BC=3cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 边以 3cm/s 的速度运动，点 Q 从点C 出发沿 CD 边以 1cm/s 的速度运动.如果两点同时出发，当其中一点到达 B 点或 D 点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t(s).(1)当 t 为何值时，P、Q 之间的距离为 5cm；(2)联结 PD，当 t 为何值时，DPQ=90？DPBCEAQDPBCA.3/86、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，点 P 是射线 DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点与点 P 重合，三角板两直角中的一边始终经过点 C，另一直角边交射线 BA 于点 E.(1)设 PD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数定义域；(2)是否存在这样的点 P，使EAP 周长等于PDC 周长的 2 倍？假设存在，求出 PD 的长；假设不存在，请说明理由.7、如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是 BC 边上一点，且 BP=2，将一个大小与B 相等的角的顶点放在 P 点，然后将这个角绕 P 点转动，使角的两边始终分别与 AB、AC 相交，交点分别为 D、E，是否存在这样的位置，使得PDE 为直角三角形？假设存在，求出 BD 的长；假设不存在，说明理由.DBCADPBCEA.4/88、如图，ABAC，AB=AC=2，过点 B 作直线 lAB.点 P 是直线 l 上点 B 左侧的一个动点，联结 PC 交 AB于 E，过点 C 作 CDPC 交直线 l 于点 D.(1)假设 PB=1，求 PD 的长；(2)在点 P 的移动过程中，BDE 与ACE 是否可能相似？假设可能，求 PB 的长；假设不能，请说明理由.9、如图，等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，AB=4，CD=2，CHAB 于 H，AEBC 于 E，41EBCE，F 是 CD上一点，FGCD 交 AE 于 G.(1)求 CH 的长；(2)假设41ABECEGFSS，求 CF 的长.lDPBCEA HGFDBCAE.5/8一、两个根本图形1、略；2、略.二、几个例子1、AF=AD=10，又 AB=8，由勾股定理得 BF=6，CF=4，RtABFRtCEF，得 CE=3.感感悟悟：求CE的长用相似较勾股定理方便.2、ADECDE；EBC 与CDE 不一定相似.下面证明ADECDE思路 1、由A=B=EDC=90，想到一线三直角的根本图形.过 C 作 CFAD 的延长线于 F(如图)，由 RtADERtFCD，得FCADDFAE，得 AE=22baba，而 DC=22ba，22baaDCAD，22222baabababaDEAE，DEAEDCAD，又A=EDC=90，ADECDE.思路 2，由 AD/BC，且 AD=21BC，想到三角形三角形中位线定理.延长 BA、CD 交于点 H，由 AD/BC，且 AD=21BC，得21BCADHCHD，知 D 为 HC 中点，又 EDHC，DE 是 HC 的垂直平分线，EH=EC，H=ECD，又H=ADE，ADE=ECD，又EAD=EDC=90，ADECDE.感感悟悟：由AD/BC，且AD=21BC，想到三角形三角形中位线定理更方便.3、BEC 周长与 m 无关.设 AD=x，由ADEEBC 知xmaCCADEBEC，CADE=a+m，CBEC=xma222abaaEFBDCA.6/8在 RtADE 中，AD2+AE2=DE2，即 x2+m2=(ax)2，x=ama222，CBEC=amama22222=2a.BEC 周长与 m 无关.感感悟悟：相似三角形的性质中，相似比等于周长比最不易想到；而相似三角形判定中，直角三角形相似的判定(即斜边、直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似)最不易想到.今后一定要熟记.4、假设ABP 与APE 相似，由于EPA=PBA=90，所以只有EAP=APB 或EAP=PAB.假设EAP=APB，那么 AE/BC，又 AD/BC，E 与 D 重合，由一线三直角的根本图形知PBABDCCP，即b-xaax，整理，得 x2bx+a2=0，当 b24a20，即 b2a 时，x=2422abb假设EAP=PAB.那么 AP 平分EAB，此时，AEP=APB=PEC，PE 平分AEC，作 PFAE 于 E，那么 CP=PF=PB，P 为 BC 中点。即 CP=21b综上所述，当 CP 长为2422abb，ABP 与APE 相似.想一想：最后结论中为什么只有CP长为2422abb，而没有CP=21b这种情况？5、(1)作 QMAB 于 M，在 RtPQM 中，有 PM2+QM2=PQ2，将 PQ=5，QM=3，PM=74t，代入，并解得t=43或 t=411(2)由一线三直角的根本图形可得33473tt，解得 t=1 或 t=436、(1)审题时关键词“射线 BA要留心到.这样分成两种情况就很自然了.P 在线段 AD 上时，由一线三直角的根本图形可得4PDAPAE，即46xxy，y=41x2+23x(0 x6).(2)存在.P 在线段 AD 上时，易得246xCCPDCAEP，解得 x=2，舍去.7/8P 在线段 DA 延长线上时，246xCCPDCAEP，解得 x=14.当 x=14 时，存在这样的点 P，使EAP 周长等于PDC 周长的 2 倍，此时 PD 的长为 14.感感悟悟：审清题意，一字一句读题，划出关键词很重要.否那么就会漏掉一半解，扣掉一半分数.切切记住.7、显然BPDCEP，如果PDE 为直角三角形，由DPE=B90，故只能PDE=90或DEP=90，过 A 作 AFBC 于 F，那么PDEABF.如果PDE=90，那么可设 DP=3k，那么 DE=4k，PE=5k，53PEDP由BDPCEP 知53PEDPPCBD，而 PC=4，解得 BD=5125=AB，舍去.所以，当 BD 长为512时，PDE 为直角三角形.感感悟悟：5、5、6也是一个根本三角形，它是由两个全等的3、4、5的直角三角形组成的，由DPE=B90，所以如果PDE为直角三角形，那只能和3、4、5的直角三角形相似，那么夹直角的两条直角边只能是3:4，再由一线三等角根本图形知BD与PC是对应边，由此写出两种情况分别解之即可.但由于D在AB上，BD应小于AB的长，故对解得的BD长需检验，舍去不合题意的解.8、(1)过 C 作 CFPD 于 F，在 RtPCD 中，由射影定理易求 PD=313.(2)如果BDEACE，由EBD=A=90，那么只能有以下两种情况：AEC=BED，AEC=PEB，PEB=BED，又 EBPD，B 为 PD 中点，即 B 为 RtPCD 斜边 PD 上的中点，PD=2BC=22感感悟悟：证出B为PD中点，但想不到联结BC，B也是RtPCD斜边PD上 DPBCEAF.8/8的中点，这是第一小题仅求做出，没能认真地好好想一想.BED=ACE，ACE=EPD，EPB=BED，进而PED=90=PCD，得 ED/CD，这与 ED 与CD 相交于点 D 矛盾，舍去.仅当 PB=22时，BDEACE.9、(1)BH=1，RtBCHRtABE，得ABBECBBH，设 CE=k，那么 EB=4k，4451kk，k2=51，CH=2152k.(2)延长 DC、AE 交于 M，显然 RtCEMRtFGMRtCHBRtABE.且21EMCECHBH，EM=2k，1614122EBCESSABECEM，16441ABEEGFSS，51MFGCEMSS，又CEMMFG，2FMEMSSMFGCEM，51FMEM，FM=52k=5251=2.又 CM=5k=515=1，CF=21=1.此此题题另另外外的的解解法法你你会会吗吗？感感悟悟：看到面积想到：1、相似三角形的面积比等于相似比的平方.2、同底同高的两个三角形等积；同底不同高的两个三角形的面积比等于高之比；同高不同底的两个三角形的面积比等于底之比.3、一个图形的面积等于各局部面积之和.4、常用的面积公式(三角形面积公式:S=21ah、平行四边形面积公式:S=ah等等，需非常熟练地滚瓜烂熟、脱口而出、倒背如流地背烂).HGFDBCAEM