弧长和扇形面积(教案、导学案、课后反思).docx

24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积【知识与技能】经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式， 并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.【过程与方法】通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、 理解、概括、归纳能力和迁移能力.【情感态度】通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转 化，体会转化在数学解题中的妙用.【教学重点】弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.【教学难点】运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.F教与亘睚一、情境导入，初步认识问题1在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳 子的另一端拴着一只羊，问：(1)这只羊的最大活动面积是多少？(2)如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？答案：(1)9ei? (2)嗤吉二箸(n?)36040问题2制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这 就涉及到计算弧长的问题.如图，根据图中的数据你能计算的长吗？求出弯道的展直长度.【教学说明】通过这样两个实际问题引入有关弧长和扇形面积的计算，从而 引入课题。同时，这也是本节中最常见的两种类型.二、思考探究，获取新知1 .探索弧长公式思考1你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆 周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对 的弧长多少？分析：在半径为R的圆中，圆周长的计算公式为：C=2nR,则：圆的周长可以看作360°的圆心角所对的弧；.1°的圆心角所对的弧长是：1/360-2 nR= JiR/180；2°的圆心角所对的弧长是:2/360 2 jt R= n R/90；4°的圆心角所对弧长是：4/360 2 n R= jt r/45；An0的圆心角所对的弧长是：Z=nJiR/180；由此可得出n°的圆心角所对的弧长是：/=n五R/180.【教学说明】在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表 示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；公式可以按推导过程来理解记忆； 区分弧、弧度、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧 也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中才可能是等弧.小练习：应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.已知圆弧的半径为50cm,圆心角为60° ,求此圆弧的长度.答案：(T)500n+140(mm) 50 兀/3(cm)2 .扇形面积计算公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.思考2扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半 径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.思考3若。的半径为R,求圆心角为n°的扇形的面积.【教学说明】此问题有一定的难度，目的是引导学生迁移推导弧长公式的方 法步骤，利用迁移方法探究新问题，归纳结论.【结论】。圆心角所对扇形面积为：s二iikR- mrR R 1zz X 二一360 - 1802 - 2iikR- mrR R 1zz X 二一360 - 1802 - 2iikR- mrR R 1zz X 二一360 - 1802 - 2R,:.扇形的面积公式为：S=喏或S二;/凡 3OU2小练习：如果扇形的圆心角是230° ,那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的 面积的23/36.扇形面积是它所在圆的面积的23,这个扇形的圆心角的度数是240。；扇形的面积是S,它的半径是r,这个扇形的弧长是：2S/r.【教学说明】这几个小练习是帮助学生理解扇形面积公式的推导，加深对公 式以及扇形面积和弧长之间的转化关系的记忆.三、典例精析，掌握新知例1 （教材112页例2）如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m, 其中水面高0.3m,求截面上有水部分的面积（精确到O.Oln?）.解：连接OA、OB,作弦AB的垂线OD交AB于点C.VOC=0.6, DC=0.3, AOD=OC-DC=0.3在RtAOAD中，OA=0.6, OD=0.3,由勾股定理可知：AD=0.36；在RtOAD 中，OD=l/2OA.，NOAD=30° , ZAOD=60° , .ZAOB=120° .有水部分的面积为：s=s 扇形OAB-Saoab=0.12 n-12X0.63X0.30.22(m2).例2如图，。01半径是。2的直径，C是。01上一点，01C交。02于点B, 若。Oi的半径等于5cm, AC的长等于。0i周长的110,则AB的长是cm.分析：由AC的长是。Oi周长的1/10可知：ZAOiC=36° , ZAO2B=2ZAOiB=72° , 02A=5Z. AB 的长/二72 五/180X5/2=t【教学说明】例1是求弓形面积，弓形面积是扇形面积与三角形面积的差或 和，因此掌握了扇形面积公式，弓形面积就迎刃而解了，例2是结合弧长公式和 圆有关知识进行求解.可由学生合作交流完成.四、运用新知，深化理解完成教材第113页练习3个小题.【教学说明】这几个练习较为简单，可由学生自主完成，教师再予以点评.五、师生互动，课堂小结通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实 际问题吗？【教学说明】教师先提出问题，然后师生共同回顾，完善认知.'效课后作业1 .布置作业：从教材“习题24.4”中选取.2 .完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.攀教学反思本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长之间的关系，推导出 了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中，都渗透着 由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，再由学生比较两个公式时, 又很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.24.4弧长和扇形面积第1课时弧长和扇形面积一、新课导入1 .导入课题:情景：制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”(图中虚线的长度)，再下料,这就涉及到计算弧长的问题.问题：怎样求一段弧的长度呢？这就是这节课我们所要研究的问题(板书课题).2 .学习目标：(1)能推导弧长和扇形面积的计算公式.(2)知道公式中字母的含义，并能运用这些公式进行相关计算.3 .学习重、难点：重点：弧长公式及扇形面积公式与应用.难点：阴影部分面积的计算.二、分层学习第一层次学习1 .自学指导：(1)自学内容：教材第111页的内容.(2)自学时间：6分钟.(3)自学要求：注意公式的推导和记忆.(4)自学参考提纲：圆的周长公式是什么？ C = 2兀R.弧有长度吗？弧的长度和它所在的圆周长有何关系?圆可以看作是360一度的圆心角所对的弧.1。的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？ _L360n。的圆心角所对的弧长是圆周长的几分之几？ JL360所以在半径为R的圆中，n。的圆心角所对的弧长1的公式是/= 厘.180由弧长公式可知，一条弧的弧长1、圆心角度数n和圆半径R,在这三个量中，已知 其中的两个，就可求出第三个.如已知1和n,则R=幽；已知1和R,则口=幽.H7T7lR计算图中弯道的“展直长度100 x 900 x 7T解：由弧长公式，得的长/=力570（mm）.180因此所要求的展直长度L=2x700+1 x 1570=2970（mm）.2,自学：学生结合自学指导进行自学.3 .助学：（1）师助生：明了学情：关注学生对弧长公式的推导和变形过程.差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4 .强化：（1）弧长公式、公式的书写格式及其变形.（2）有一段弯道是圆弧形的，道长是12米，弧所对的圆心角是81。，求这段圆弧的半 径R （精确到0.1米）.解：由/=上得氏=幽=幽至。8.5 （米）.R180 nn 81x3.14第二层次学习1 .自学指导：（1）自学内容：教材第112页到第113页“练习”之前的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：圆的面积公式是什么？ S=兀R2什么叫扇形？扇形的面积和它所在的圆的面积有何关系？圆的面积可以看作是圆心角为360度的扇形面积.圆心角为1。的扇形的面积是圆的面积的几分之几？ _L360圆心角为n。的扇形的面积是圆的面积的几分之几？ JL360n7rR2所以在半径为R的圆中，圆心角为n。的扇形的面积S扇形的公式是S扇形=二360试推导扇形的面积公式治/=!乐（这里的1指扇形的弧长，R指半径）.用形 2cn7iR2 1 n?iR c 1 -S晶彩=-R = - IR.扇形 3602 1802如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m,其中水面高0.3m.求截面上有 水部分的面积（精确到O.Oln?）.a.怎样求圆心角NAOD的度数？在 RtAADO 中,OD=OC-DC=0.3mQA=0.6m. ZA=30°.A Z AOD=60°. ZAOB=2ZAOD=120°.b.阴影部分的面积=扇形AOB的面积-ZiAOB的面积.c.写出本题的解答过程.解：如图，连接OA、OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D,交A5于点C,连接ACVOC=0.6m,DC=0.3m, AOD = OC-DC=0.3 (m).OD = DC.又 AD，DC,二 AD 是线 段OC的垂直平分线.，AC = AO = OC.从而NAOD = 60。，ZAOB =120°.有水部分的面积S=S扇形袱"-x 0.62 - - A5 W=0. 12 4-x 0.6 石 x 0.3 « 0.22( m2) 360222 .自学：学生结合自学指导进行自学.3 .助学:（1）师助生:明了学情：了解学生在推导扇形面积公式及求例2中NAOD时遇到的困难情况.差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4 ,强化:（1）扇形面积公式及推导过程和公式的变形.（2）求不规则图形的面积的方法：转化为规则图形的面积和或差.（3）练习：已知正三角形ABC的边长为a,分别以A、B、C为圆心，以12a为半径的圆相切于点D、E、F,求图中阴影部分的面积S.解：连接AD,则AD_LBC, ad = &.2三、评价三、评价三、评价1 .学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？还 有什么疑惑？2 .教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动参与性、小组交流协作能力和状况、存在的问题 等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3 .教师的自我评价（教学反思）：本节课从复习圆周长公式入手，根据圆心角与所对弧长 之间的关系，推导出了弧长公式.后又用类比的方法，推出扇形面积，两个公式的推导中， 都渗透着由“特殊到一般”，再由“一般到特殊”的辩证思想，然后由学生比较两个公式时，又 很容易得出两者之间的关系，明确了知识间的联系.评价作业（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）已知扇形的圆心角为120。，半径为6,则扇形的弧长是生?.2.（10分）75。的圆心角所对的弧长是2.5兀cm,则此弧所在的圆半径是6cm.3.（10分）一个扇形的弧长为20兀cm,面积是240兀cn?,则扇形的圆心角是4 .（20分）如图是一段弯形管道，其中,NO=NO，=90。，中心线的两条圆弧半径都为解：3000 + 2、也鬻%6142 (mm)解：3000 + 2、也鬻%6142 (mm)解：3000 + 2、也鬻%6142 (mm)答：图中管道的展直长度约为6142mm.1000mm,求图中管道的展直长度.（兀取3.142）5 .（20分）草坪上的自动喷水装置能旋转220。，如果它的喷射半径是20m,求它能喷灌的草坪的面积.工 刀 220xx202 2200 / 2解：S =笈（机 2）.3609v 7答：它能喷灌的草坪的面积为名".一9二、综合应用（20分）6.（20分）如图,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120。, AB的长为30cm,6.（20分）如图,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120。, AB的长为30cm,6.（20分）如图,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120。, AB的长为30cm,贴纸部分BD的长为20cm,求贴纸部分的面积.刀。120xx302 caa / 入解：S扇形"c=而= 300万(cm),120x 乃 x (30-20)2360吗（曲）, 3 o 10()800/ 2、S贴纸=S扇形.sc - S扇形aoe = 3001兀-兀(cm ).答：贴纸部分的面积是船乃cn?.3三、拓展延伸（共10分）7.（10分）正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积.解：方法一：S阴影=/方法二：S阴影=4x'xa2 -2 /一心)22IF答：图中阴影部分的面积为（1_1、