第37节不等式选讲复数（解析版）.docx

第37节不等式选讲+复数基本技能要落实考点一绝对值不等式性质的应用【例 1】设 q>0, |x1|<t, |y2|<t,求证：|2x+y4|v.【证明】由|工一 1|<三可得|21一2|季 |2x+y-4|<|2x2| + |y2|<+=6f.【例2】若抬尸3x+J +3|x|的最小值为4,求。的值.【解析】因为/(x)= 3x+； +3|x|3(3%十口一(3x3q)|= J+3q ,由 +3a C/4Cv JC4-C4-=4 得 a=±l 或。=±；.【方法技巧】.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种: (1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式,即同+ |。|习。±例m。| |。|.(3)利用零点分区间法.1 .含绝对值不等式的证明中，关键是绝对值三角不等式的活用.【跟踪训练】 设函数«x)=f%15,且I%a|<l.解不等式府)|>5；(2)求证:府)一让喇<2(|a| + l).解 因为x15|>5,所以 x2x15<5 或 2x15>5,即 x2x10<0 或x2%20>0,解得釜五<%<上或<4或%>5,所以不等式依%)|>5的 解集为%|x<4 或画或 x>5.证明 因为 |x|<1 ,所以/(X)=X 15) (2 15)| = |(x Q)(x+a- 1)| = x - a*x a-a- 1| = |x a2a- 1 |<|x - a + 2a- 1|<1 + 2a 1|<1 + M + 1= 2(| +1),即次工) -»|<2(|6Z| + 1).考点二绝对值不等式恒成立与能成立问题3 /.2m-l>2 ,解得机一，2 (3、二机的取值范围是3，+°°.7.已知函数/(x)=|x 若不等式/S)恒成立，求实数根的最大值；若函数g(x) = /(x) +，有零点，求实数。的取值范围. a解析(1)./(x)=|x Q|,A f(x)-f(x+m)=x-a- x + m-a,则原不等式恒成立等价于: |x-a|-1 %区1恒成立，由绝对值不等式问-向<|。土可可得:x-a- x + m-a<n ,/. | m|< 1, /. -1 <m< 1,实数机的最大值为1；g(x) = x-a w 0(2)由题意可得a ,当。>0时，g(x)>0恒成立，故没有零点，不符合题意；当<。时，x-a + = 0,解得：x = a±,即原函数有零点， aa综上所述，实数。的取值范围为(-8,0)8.已知不等式Ix+2| + |x-2|vl8的解集为A.(1)求集合4(2)若不等式。+力>|x-7|-|x|+加恒成立，求实数机的取值范围.【解析】(1) |x+2|+ x 2 <18 => <x < 2-(x + 2)-(x-2)v 18|-2<x<2或(x+2)_Q_2)<18x>2(x + 2)+ (x-2)<18解得9,9), A = (-9,9).(2) 力£(9,9) q + Z?£(18,18).,|x-7|-|x|Wx-7-x|=7,，(|X 7| 一|x|+机)max =m + 7 ,由题意可得一 18 2m+ 7, /. m<-25.9.已知。，b , ceR ,月./+/=3.(1)求证：q+Z? + c|<3；(2)若不等式|x-l| + |2x + l| >(a + + c)2对一切实数，b ,。恒成立，求工的取值范围.解析(1) (a + b + c)? = " + + c? + 2ab + 2bc + 2ca<3 + 2(/+，) = 9,所以|a + b + d«3,当且仅当。= b = c时等号成立(2)由(1)可知归一1| + |2% + 1|2(。+ 6 +。)2对一切实数a, b 等价于|xl|+|2x+l|29,3x, x > 1令"g(x) |x -1| + |2x + 1| = < x + 2, -<x<l,3x, x < 2当xNl时，3x29nx23,当一,vxvl时，x+2>9%>7,舍去，2当 x一，时，-3x>9 =>x<-3 ,即 xN3或x4-3.2综上所述，x取值范围为3d3,+”).10.己知函数/(x) = |2x + l + d+%一片.当 =0时，求不等式的解集；(2)若对于任意xeR,都有x)22,求实数的取值范围.【解析】(1)九) = |2x+l| + k当x2 0时，/(x) = 3x+l>2,解得%之!，当一时，/(%) 4-1>2,解得不£0,当工<；时，/(x) = -3x-l>2,解得1, 所以不等式/(司>2的解集为(-co,-1)uR,+8、.一371 0 7 一口 =2*。+ 1 = 2咽)一0(2)因为 222,1 + 43x + 1 + /所以"x) = v121 +。/2x+1 + q + q ,V X < 42G 12 I +。-3x I q + q , x <c2所以函数“可在(-8,-号上递减,所以函数八可在R上的最小值为粤= /+ =所以 a2 + l + a>2 ,即 2a2 + 一3 = (2 +3)( 一1)20解得 <一3 或 & 21. 22.已知不等式f+or + ZQO的解集为(-,-6)5-4,y).求常数。的值不等式|x + 区3的解【解析】(1)因为不等式f+依+ 24>°的解集为(to,-6)d(-4,zo),所以，Y+以+ 24 = 0的实数根为1 = -6或 = -4,所以,36 6。+ 24 = 016-4 + 24 = 0所以，。=10(2)结合(1)知。=1°,故|x + 10区3,所以一3<x+10<3, iP-13<x<-7,所以，不等式不+。区3的解集为-13,-7.已知。也c均为正数，且满足=3.证明: (l)a + b + G, 3 ；小、111 o(2) I- - h. .3. a b c【解析】(1)由柯西不等式有:9 = 3(2+2+c2) = (12+12+12)(6z2+Z72+c2).(«+c)2,当且仅当 = b = c = l 时取等号, 可得 a + + G, 3 ；z , /I 1 H o( + b + c) I1 . 9(2)由柯西不等式有C ,当且仅当。= 8 = c = l时取”=号，可得1 1 19- + - + a b c a+b+c,119乂ill q + /? + G, 3 , 可彳？彳，可得-;3,a+b+c 3a+8+c故有2+:二3,当且仅当 = Z? = c = l时取"=号. a b c13.已知a, b,。均为正数，且4/+2 + 1602 = 1,证明: (1)2q + /? + 4c< a/3 ;111c(2) r 7 9 4/ h2 16c2./1 I i/rn r/H 3 = 4Z2+/?2+16c2+(4t72+/?2) +(46r2+16c2) + (z?2+16c2)【解析】(1)由已知可得 f V)/2 4a2 + +16/ + 4Qb + 16ac + 8Z?c、=(2a + + 4c)2,当且仅当2 =人=4。=且时，等号成立. 3又a, b,。均为正数，所以2a + 8 + 4c百.(2)因为(2q +Z?2+(4c)2> 3(2a)2 b2(4c)2，当且仅当2a = b = 4c =时，等号成立，3所以3x 4，(a/?c,整理得(obcfw J_ ,匚匚 2 111 cP 1131、3 3/77? cJ力以-h- 2 3M- o2 /12 = 9 ,4a lr 16cY 4矿 Ir 16c4 V ah c 4当且仅当2a = 0 = 4c =走时，等号成立. 314.已知a,b,c均为正实数，且abc = 1.1 2 4(D求上+ ： +上的最小值； abc(2)证 :bc + ac-ab>+1b-c a + c a + b1 2 4 o 124 n3/-,l1 2 3- x - x _ = 3v8 = 6【解析】(1)由基本不等式可知Q b c1 2 41当且仅当上=：=2，即=；2=1,。= 2时等号成立， abc21 2 4所以_L + 1 + ?的最小值为6. abc(2)因为 cibc 19 所以 be + cic + cib I1.abc同理可得，+工之二， b c 0 + c a c a + c一一 Jl 1 1V 444所以2 + + -+a b c y b + c a + c a + b当且仅当。= b = c时等号成立. 111222所以- - > 11，a b c b + c a + c a + b222B|J be + ac ah >11.b+c a+c a+b15 .设函数/(x) = |x+a| + |xb|当。=1, b = 2,求不等式x)N6的解集:149(2)已知q>(), >()的最小值为1,求证:;一- + 2q + 1 2b + l 4【解析】2尤 +1, x « 13,-1 <x<22x-l,x> 2(1)当=时，/(x) =|x-2 + x+l = <所以了（%）26 <=>x>2572-,解得Q一万或%<-1 或-2x + l>61 < x < 2或 3>6因此不等式6的解集的5T7X x<或xN 22(2) /(x) =| x + q| + | x-b 闫(x + q)-(x-Z?) |=q + /7,当且仅当-4时等号成立，所以4 +人=1 ，因止匕（2。+ 1） +（2匕+1） = 4,故一+罚=%k+罚一+罚=%k+罚)(2q + 1) + (2"1) = ；(5 +2b + l 4(2q + 1)2。+ 12/7 + 1* + 24），当且仅当"、=|时.等式成立,【例3】（2022.陇南二诊）已知存0,函数於） = |qx1|, g（x） = ax+2.（1）若1%）冢%），求的取值范围；若4o+g（x闫2x10。一71对x£R恒成立，求。的最大值与最小值之和.解因为於）<g（%）,所以 |qx 1|<|qx+2|,两边同时平方得 cx12ax+1 <a1x2+4ox+4,即 6ax>39 当 a>0 时，x>y-, LT即的取值范围是（一表, +oo）;当 a<0 时，x<2cf即的取值范围是（一8,一明.因为 /U）+g（x） = ax-1| + |qx+2| 习（4X 1）（方+2）| = 3,所以Xx）+g（x）的最小值为3,所以 |2xl07区3,则一332x10。一 7s3,解得 lg 2<a<lg 5,故a的最大值与最小值之和为lg 2+lg 5 = lg 10=1.【例4】（2021 东北三省三校联考）已知函数於） = |2x+|+L（1）当。=2时，解不等式./U）+xV2；若存在正 一g, 1时，使不等式於）沙+|2%+用的解集非空，求人的取值范 围.解当。=2时,函数於）=|2%+2| + 1,不等式式%）+*<2化为|2x+2|< 1 -x当1一烂0时，即正1时，该不等式无解.当1x>0时，原不等式化为xl<2x+2lx.解之得一3 Vx< g.综上，原不等式的解集为卜I 3VxV(2)由於)泌+|2x+|,得云|2x+q| |2x+q2|+1,设g(%) = |2%+a| 12%+41 + 1,则不等式的解集非空，即不等式有解， 所以不等式等价于后g(%)max.由 g(x)<(2x+a) (2x+«2)| +1 = |a2«| +1, 所以妇2a + i由题意知存在y 1 ,使得上式成立，(n 13“上的最大值为“一9=学13一9.而函数/() = |/一| + 1 在 一所以后*即b的取值范围是(一8,【方法技巧】L不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.2.(1)在例6第问，可作出函数y=|2x+2|与y=l一%的图象，观察、计算边界, 直观求得不等式的解集.第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值.存在性问题转化方法：“¥)>有解钙/(©max。； /(X)Vq有解a*X)minVa.【跟踪训练】1.(2022呼和浩特模拟)已知函数於) = |2x| + 2|x+l|.(1)当(7=1时，解关于的不等式#x)S6；(2)已知g(x) = |x1|+2,若对任意xi£R,都存在加£R,使得危i)=g(X2)成立,求实数。的取值范围.解(1)当 a=l 时,» = |2x-l|+2|x+l|,r4x 1, xvl,4x+1, X>T.Iz7当 xv1 时，由一4x1S6,得一1；当一1士弓时，公)女恒成立；当时,由 4x+ls6,得75综上，.«x)S6的解集为2一勺有二(2);对任意的£R,都存在X2&R,使得危i)=g(X2)成立,<* yy =於) g y。=g(%) .又/(x) = |2xo| + 2|x+ l|>|2xa(2x+2)|=|+2|,g(x) = |xII + 2N2, ：.a-2>29解得a<4或a>09实数。的取值范围是(一oo, -4U0, +oo).考点三比较法证明不等式【例3】设不等式一2V|x1| 一|x+21Vo的解集为A/, q, bM.证明：<|； 比较|14曲与2|“一加的大小,并说明理由.证明设/(x) = |x1| |x+2| 3 x<2,=< -2x1, 2 VxVI, < 3, x>l.因此集合M=(一;,由一2< 一2x 1 <0,解得一，则同<5，(2)解由(1)得J因为 11 4qZ?F 4| Z?|2 = (l Sab + 16a2b2)4(tz2 2ab + Z?2) = 16crb2 44 4Z?2 + l=(W-l)(4Z?2-l)>0,所以|1 一4|2>4|一/?|2,故|1 一4曲>2。一目.【方法技巧】比较法证明不等式的方法与步骤作差比较法：作差、变形、判号、下结论.作商比较法：作商、变形、判断、下结论.【跟踪训练】设/=a+2，5 =。+/+1,则s与/的大小关系是.答案s>t解析 s tarb2-r 1 (6f+2/?) = Z?2 2Z?+1 =(/?1)2>0,s>t.考点四 综合法证明不等式【例 4】(2020全国in卷)设b, CER, +0+c=0, abc=l(1)证明：ab-bc+ca<Q；证明：max, b, c>(2)用maxq, b, c表示b, c中的最大值,证明(1)由题设可知，a,c均不为零, 所 以 6zZ? + Z?c+c6Z=(6z + Z? + c)2 (6Z2 + Z72 + c2) =；(/ + 点 + /)<().(2)不妨设 max, b, c a.因为"c=l, =(Z?+c),所以>0, b<0, c<Q.(bc) 2a由T,可得。儿若，当且仅当8 = C=3时取等号, l-A故壮甑，所以maxq, b, c>/4【方法技巧】.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系,合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.1 .在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些 性质时，要注意性质成立的前提条件.【跟踪训练】1 .已知，b, c为正数，且满足H?c=l.证明:鸿+%+/;(2)3+抽3+3+c)3+(C+)3224.证明(1)因为 /+b2>2ab, b 一j4. (2018全国卷 I )设 z=/py+2i,则|z| = () + c2>2bc9 c2+c>2ac, 又 cibc= 19故有 6f2 + Z?2 + c2>ab+be+caab+bc+ca 111=-十一十一abc a b c当且仅当。=Z?=c=l时，等号成立.所以(+1+ / + '.(2)因为，b, c为正数且bc=l, 故有a+b)3 + (Z?+c)3+(c+a)33>3/ (6z+Z?) 3 (h+c) 3 (c+q) 3 = 3(6/+/?)(/?+c)(c+d)>3x(2/)x(2/c)x(2/ra) = 24.当且仅当。=b=c=l时，等号成立，所以(Q +。)3 + (。+ c)3 + (c + tz)3>24.考点五复数的运算【例 5】L (2019全国卷HI)若 z(l+i)=2i,则 z=()-1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i._ 2i 2il- i 2il i,.解析：选 D 由 z(l+i) = 2i,得 z=H7=737='一=一。=1+1故选.1+1 1 +11 122+i34i2. (2022合肥质检)已知i为虚数单位，则=()A. 5A. 5A. 5iC.C.7 12. 一5一刀n 7 12-D-5+T解析:选田曰=3=52-i2-i'故选A.3.(2022惠州模拟)已知复数z的共粗复数为z，若z (l-i)=2i(i为虚数单位)，则z=()A. iB. -1+iB. - 1 iD. i2' 2i1 1 j解析：选C 由已知可得z = i . 1 + i,则z= -1i,故选C.1 i 111+1A. 0B. 1C. 1D.2 i1 i2 2i解析：选 C.z=77+2i=：一7+2i=f-+2i = i,，|z|= 1 .故选 C.1 + 11+1112【方法技巧】复数的 加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减)计算即可复数的 乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项， 不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的 除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数，解题中要注意把i的事写成最简 形式考点六复数的几何意义【例6】1. (2019全国卷H)设z=-3+2i,则在复平面内 三对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选Cz=-3 2i,故z对应的点(一3, 2)位于第三象限.故选C.1 .(2019全国卷I )设复数2满足|zi|=l, z在复平面内对应的点为(x, y),则0A. (x+l)2+/=lB. (x-l)2+j2=lC.f+0-1)2=1D. x2+()+l)2=l解析：选C 由已知条件，可得z=x+yi.：|zi|= 1,/. |%+yii|= 1,+(j1)2= 1.故选 C.3.设(1i)x=l+yi,其中x, y是实数，则x+yi在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1,x= 1,解析：选DTx, y是实数，i)x=xxi=l+yi,：解得,*.x一尤=»1尸一1,+yi在复平面内所对应的点为(1, -1),位于第四象限.故选D.4.若复数(1i)(+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是()A. (co, 1)B. (00, 1)C. (1, +oo)D. ( 1, +co)解析：选 B 因为 z=(l i)(+i)=a+1+ (1 o)i, 所以它在复平面内对应的点为(q +1/一。)，。+10, 又此点在第二象限，所以解得。一1.1 。0,【方法技巧】1 .准确理解复数的几何意义(1)复数Z、复平面上的点Z及向量市相互联系，即2=。+3, /?£R)=Z3, b)OZ.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何 联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.2 .与复数的几何意义相关问题的一般步骤3 1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数+历m，/?£R)与复平面 上的点m，b)一一对应.达标检测要扎实一、单选题1 .若(1 i)z = 2i,则=()A. 1 iB. 1 + iC. 1 iD. 1 + i【答案】C【解析 1由(1i)z = 2i可得2 = 3 ="詈=一1 + 1,故三=一1一3故选:C1 122 .已知纯虚数z满足z +eR,贝心的虚部可以是() zA. 0A. 0B. iC. -1c -兀D. sin 5【答案】C【解析】由题，设纯虚数z = bi(b£RSwO),11(1A所以。i + / = Oi gJiRhi所以7 = °,解得L所以，z的虚部可以是1.故选：C3.已知复数z满足：(2 + i” = 3 + 4i,则目=()B.叵5C. 5D. V5【答案】D【解析】.(2+i)5 = 3 + 4i.z = 2i.|z卜 立+丫二君故选：D.4. z + zi = 3 + i,则 z 的值为()A. l + 2iB. l-2iC. 2-iD. 2 + i【答案】C3 + i (3 + i)x(l - i) 4-2i解析由 z + zi = 3 + i,得 2 = 丁一=:<:.<=2 - 1.故选:C.1 + 1 (l + i)x(l-i)2.已知z = 4i,且az +历= 4 + 3i,其中。，为实数，则|。+同=()A. 1B. 3C. 75D, 5【答案】c【解析】因为z = 4i,所以= 4 + i，所以 az + 应= a(4-i) + /7(4 + i) =(4Q + 4Z?) + (-a)i,14+ 4/? = 4a = -1所以由az+成= 4 + 3i可得，解得二。，b-a = 3b = 2所以|a+M=H + 2i| = ViT =石，故选：C二、解答题.已知函数/(x) = |x+(1)当。=2时，解不等式了25；(2)当a = l时，若存在实数1,使得2m-成立，求实数加的取值范围.3x, x > 1【解析】(1)当 4 = 2 时,/U)= x-l|+| 2X+1【解析】(1)当 4 = 2 时,/U)= x-l|+| 2X+1c 1I尤+ 2, <x<l, 2-3x, x W 2当x21时，令3元25解得%>-1；当一时，令+2<5,无解; 2当x一;时，令一3x<5解得 综上所述，不等式/（九）< 5的解集为九| x W -q或x 2（2）当、=1 时,（2）当、=1 时,f (x) x -1 + x+12|x + l + l - x|=2当且仅当-时，等号成立，即/（X）的最小值为2,存在实数工，使得2机-1>/。）成立，