2015线性代数教案.doc

教 案教 案（2013-2014 学年 第 2 学期）（2013-2014 学年 第 2 学期）课程名称：课程名称：线性代数线性代数任课教师：任课教师：教师职称：教师职称：所在院系：所在院系：教学教案设计（首页）教学教案设计（首页）课程名称课程名称线性代数总课时总课时34理论课时理论课时34实践课时实践课时0主讲教师主讲教师职称职称助教授课方式授课方式 课堂讲授 实践课 课堂讲授 实践课考核方式考核方式 考试 考查 考试 考查课程类型课程类型 公共课 基础课 专业基础课 专业课 选修课 公共课 基础课 专业基础课 专业课 选修课教材名称教材名称线性代数作者作者同济大学数学系出版社出版社高等教育出版社书名书名作者作者出版社出版社指定参考书指定参考书模块名称模块名称考试范围考试范围考试时间考试时间第一模块第一模块行列式与矩阵的运算1-80 页第 10 周第二模块第二模块线性方程组及向量组81-120 页第 17 周教学目的及要求教学目的及要求装 订 线 装 订 线线性代数教案1教学教案设计（续页）教学教案设计（续页）第一 章 行列式第一 章 行列式1.1 n 阶行列式定义1.1 n 阶行列式定义教学目的教学目的：使学生了解和掌握n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列 n 阶行列式定义及行列式的计算教学重点教学重点：n 阶行列式定义及计算教学难点教学难点：n 阶行列式定义一、导入 线性方程组和矩阵在工程技术领域里有着广泛的应用，而行列式就是研究线性方程组的求解理论和矩阵理论的重要工具。二、新授（一）二阶、三阶行列式（一）二阶、三阶行列式对于二元线性方程组 22221211212111bxaxabxaxa （1.1）采用加减消元法从方程组里消去一个未知量来求解，为此：第一个方程乘以a22与第二个方程乘以a12相减得 （a11a22a21a12）x1=b1a22-b2a12第二个方程乘以a11与第一个方程乘以a21相减得（a11a22a21a12）x2=a11b2-a21b1若a11a22a21a120，方程组的解为 122122111122211aaaaababx 122122111212112aaaababax（1.2）容易验证（1.2）式是方程组(1.1)的解。称a11a22a21a12为二阶行列式二阶行列式，它称为方程组（1.1）的系数行列式，记为D。我们若记 2221211ababD 2211112babaD 方程组的解（1.2）式可写成 DDx11 DDx22 对三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa （1.3）与二元线性方程组类似，用加减消元法可求得它的解：装 订 线 装 订 线线性代数教案2 DDx11 DDx22 DDx33 111213212223313233112233122331132132112332122133132231aaaDaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a a=+-(1.4)为方程组（1.3）的系数行列式,Dj(j=1,2,3)是将D的第j列换成常数列而得到的行列式。二阶、三阶行列式可用对角线法则计算。为研究高阶行列式的结构，下面考察等式（1.4）：（1.4）式也可写成如下形式 321321321321)(333231232221131211)1(jjjjjjjjjaaaaaaaaaaaa这里j1 j2 j3是 1，2，3 的一个排列，321jjj表示对所有的 3 级排列求和。(二)n 阶行列式的定义(二)n 阶行列式的定义 1.定义：把由n2个数排成n行n列的 nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 （1.5）称为 n 阶行列式行列式,它等于所有取自(1.5)中属于不同行同列的n个元素的乘积 nnjjjaaa2121的代数和。这里j1 j2 jn是 1，2，n的一个排列，当(j1 j2 jn)是偶数时，乘积项前面取正号，当(j1 j2 jn)是奇数时，乘积项前面取负号。亦可以将这一定义写成nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211)1(1.6)等式（1.6）右边表示此n阶行列式的展开式，亦表示n阶行列式的值。当n=2 或n=3 时(1.6)式表示二阶或三阶行列式,我们还规定一阶行列式|a|的值等于a。2.例:计算行列式 (1)142343241000000000000aaDaa=(2)000000000000433124124aaaaD 线性代数教案3解:4132231441322314)4321(413223144)1(000000000000aaaaaaaaaaaaD 4331241243312412)2413(433124124)1(000000000000aaaaaaaaaaaaD根据例中（1），对于n阶对角行列式可证得下面的结论：nnnnaaaaaa2211221100000011,2121)1(11,21)1(000000nnnnnnnnaaaaaa例 5 求下面四阶上三角行列式的值 44343324232214131211000000aaaaaaaaaa解：根据行列式的定义可知，若乘积项不为零，第一列只能取a11，第二列两个非零元素只能取a22，第三列三个非零元素只能取a33，第四列四个非零元素只能取a44，故此4433221144332211)1234(44343324232214131211)1(000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa对于n阶上、下三角行列式，我们可以证得以下结论：nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000 nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000。由此，设法将一般高阶行列式化成三角行列式再求值，是计算行列式的一种简单方便的方法。（三）n 级排列 及其奇偶性（三）n 级排列 及其奇偶性1.定义：由n个数 1，2，3，组成的一个有序数组称为一个n级排列n级排列。线性代数教案4 例 1 4321 是一个 4 级排列，35241 是一个 5 级排列123n是一个n级排列，它是唯一一个按着由小到大的次序组成的n级排列,称它为n级标准排列n级标准排列2.定义：在一个排列中的两个数，如果排在前面的数大于排在后面的数，则称这两个数构成一个逆序逆序。在一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数逆序数。排列 j1 j2 jn 的逆序数记为(j1 j2 jn)。逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列。例 3 在 4 级排列中，(3412)=2+2=4，故 4 级排列 3412 为一个偶排列。(2341)=1+1+1=3，故 4 级排列 2341 为一个奇排列。定理 1.1：一个排列中的任何两个元素对换，排列改变奇偶性1.2 n阶行列式的基本性质1.2 n阶行列式的基本性质教学目的教学目的：了解和掌握n阶行列式的基本性质教学重点教学重点：n阶行列式的基本性质教学难点教学难点：n 阶行列式基本性质及利用行列式的性质计算行列式一、导入：复习第一节内容二、新授（一）定义：将行列式D的行列位置互换后所得的行列式称为D 的转置行列式转置行列式，记为DT。即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 ,nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111（二）性质性质 1：行列式D与它的转置行列式DT值相等，即 D=DT。性质 1 说明行列式中行与列的地位是相同的，所以凡对行成立的性质，对列也成立。性质 2：行列式中任意两行（列）互换后，行列式的值仅改变符号。若设nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211，nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaD212121112111 则D=D1。证明：njinjinjjjijjjjjjaaaaD111()1(，根据定理 1，线性代数教案5证毕.)1)(1()1(1111111)(1)(1DaaaaaaaaDnjinnjinijnnijnjijjjjjjjjjjnjijjjjjjjjjj性质 3：若行列式中有两行（列）元素完全相同，则行列式值等于零。证明：设行列式 nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211将i行与j行交换，由性质 2 得 D=D，于是 2D=0，即D=0。由行列式的定义可直接证得：性质 4：以数k乘行列式的某一行（列）中所有元素，就等于用k去乘此行列式。即nnnniniinnnnniniinaaakakakaaaaaaaaaaaaak212111211212111211或者说，若行列式的某一行（列）中所有元素有公因子，则可将公因子提取到行列式记号外面。性质 5：若行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值等于零。根据性质 3、性质 4 可推出：性质 6：若行列式中有两行（列）的元素成比例，则行列式的值等于零。由行列式定义可证得：性质 7：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。即 nnnnjnjjnnnnniniinnnnnjninjijinaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa21211121121211121121221111211 根据性质 4、6、7 可证得：性质 8：若在行列式的某一行（列）元素上加上另一行（列）对应元素的k倍，则行列式的值不变。即线性代数教案6 nnnnjnjjjninjijinnnnnjnjjiniinaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaaa212122111121121212111211 在计算行列式时，为了便于检查运算的正确性，一般注明每一步运算的依据。为此我们约定采用如下的记号：用ri+krj表示在行列式的第i行元素上加上（减去）第j行对应元素的k倍。用ci+kcj表示在行列式的第i列元素上加上（减去）第j列对应元素的k倍。（三）例 1 计算 33511102431521134D解：4025000108001120213115100010800112021317216064801120213172160112064802131331511204351213134242332141221458454rrrrrrrrrrrrccD例 2 计算 41111411114111144D解：这个行列式的特点是各列 4 个数之和都是 7，所以有 1893000030000301111741111411114111117411114111141777713121443214rrrrrrrrrrD 例 3 计算行列式 23599101297113线性代数教案7解：根据行列式的性质有2101223502011323511311302351131132351001003001132351100110033001132359910129711312rr例 4 计算行列式 dtbsdvbuctascvauD2解：)()()(4672vsutbcadadbcvsbcadutbdacvsdbcautdtdvctcvbsdvascvdtbuctaubsbuasaudtbsdvbuctascvauD性质性质性质例 5 解下列方程（1）0 xbbbbbxbbbbbxbbbbbxbbbbbx；（2）0152312346422341xx解：（1）这是一个用n阶行列式表示的方程，在这个方程中，未知量x的最高次是n，所以方程有n个根。解这类方程的基本思路是先用行列式的性质将其化简，写出未知中量x的多项式，然后再求出它的根。这个方程左端是一个n阶字母行列式设为Dn，计算时需要一些技巧。先化简行列式。1)()1(0000000001)1(1111)1()1()1()1()1()1(13121nrrrrrrnbxbnxbabababbbnxxbbbxbbbxbbbbnxxbbbnxbxbbnxbbbbnxbbxbnxbbbbnxDn提取因子线性代数教案8于是原方程式为 x+（n1）b（xb）n-1=0解得原方程的解为 x1=（1n）b，x2=x3=xn=b。（2）因为)5)(4(510000500004021385152305000040234115231234642234143424143125232xxxxxxxxccccccrrrr 于是原方程式为 5（x4）（x+5）=0，解得x1=4，x2=-5。练习用行列式的性质证明：（1）322)(11122babbaababa （2）3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 3.小结：本节学习了n级排列、逆序逆序数奇排列偶排列 n 阶行列式定义及行列式的计算，n阶行列式的基本性质，应掌握利用行列式的性质计算行列式的方法1.3 n阶行列式的按行(列)展开1.3 n阶行列式的按行(列)展开教学目的教学目的：使学生了解和掌握n阶行列式的按行(列)展开 教学重点教学重点：n阶行列式的按行(列)展开教学难点教学难点：n阶行列式的按行(列)展开一、导入二、新授（一）造零降阶法（一）造零降阶法1.定义：在n阶行列式 nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后所留下的n-1 阶行列式称作元素aij的余子式余子式，记作Mij，并记 Aij=（-1）i+j MijAij称作元素 aij的代数余子式代数余子式。2.例 1 在四阶行列式线性代数教案944434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaDn 中元素的余子式和代数余子式分别为44424134323114121123aaaaaaaaaM A23=（1）2+3M23=M23 在三阶行列式 2013321233D 中元素的余子式和代数余子式分别为 3331231M A31=（1）3+1M31=3（二）（二）.定理 1 定理 1：一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除aij外都为零，则这个行列式等于元素aij与它的代数余子式Aij的乘积，即 D=aij Aij证明：分两种情形来证。首先证明位于第 1 行第 1 列的情形，此时行列式为 nnnnnnaaaaaaaD21222211100由行列式定义，并注意到第可 1 行中除第 1 列外其余列元素全为零。可将Dn表示为 nnnnjjjjjjjjnaaaaD332223211)1()1(而按行列式定义 又有 nnnnjjjjjjjjaaaM3322232)1(11)1(于是 Dn=a11 M11 又 A11=（1）1+1M11=M11从而 Dn=a11 A11 再证一般情形。此时行列式可设为把Dn行列作如下的调换：把Dn的第i行依次与第i-1 行、第i-2 行、第 1 行对调，这样aij就调到原来a1j的位置上，调换的次数为i-1。再把第j列依次与第j-1 列、第j-2列、第 1 列对调，这样元素就调到左上角a11位置，调换次数为j-1。最终经过i+j-2次调换，把元素调到a11位置，而所得的行列式应为 nnnjnijnjnaaaaaaaD1111100线性代数教案10D1=（1）i+j-2D=（-1）i+jD由于aij位于D1的左上角，利用前面的结果，有 D1=aijMij于是Dn=（-1）i+jD1=（-1）i+jaijMij =aij Aij 。例 2 计算行列式 33511102432421124D解：利用定理 1，先对第三行进行造零，则有2157815505072811505572101140355010073210111431343124ccccccD 例 3 计算行列式 440000330000220000111086425D解：这个行列式从第二行开始，每一行元素之和都等于零，故此将第 2、3、4、5 列分别加到第 1 列上得72024304400033000220001304400003300002200001010864305D例 4 计算行列式 abbbbabbbbabbbbaDn解：本行列式具有每一行（列）元素之各都相同，因此把第 2、3、n-1 列都加到第一列线性代数教案11上，可得到1)()1(0000000001)1(1111)1()1()1()1()1(13121nrrrrrrnbabnababababbbbnaabbbabbbabbbbnaabbbnababbnabbabnabbbbnaDn提取因子例 5 证明范德蒙（vandermonde）行列式：njiijnnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121)(111证明：用数学归纳法证明。当 n=2 时，有1221211xxxxD命题成立。假设命题对 n-1 阶范德蒙行列式成立。下面证明命题对 n-1 阶范德蒙行列式也成立。223222232232113121212221122112112112222121111)()()()(0)()(0011111121111112nnnnnnnnnnnnnnrxrrxrrxrnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnn线性代数教案12 由命题假设 )()()()(111133422423223222232232nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx代入上式，得 njiijnxxD1)(.（三）行列式按某一行（列）展开定理行列式按某一行（列）展开定理定理 2：n阶行列式Dn的值等于它任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即nkikikininiiiinnnjninijinjnAaAaAaAaaaaaaaaaaD12211111111 （i=1，2，n）或者nkkjkjjnjjjjjnnnjninijinjnAaAaAaAaaaaaaaaaaD12211111111 （j=1，2，n）证明：nnnnininnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaD21221112112121112110000000线性代数教案13nkikiknnnnnninnnnnninnnnninAaAaAaAaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa11112121111221112112121121121111211000000定理类似地，可证明 Dn=a1j A1j+a2j A2j+anj Anj （j=1，2，n）定理 2 叫做行列式按行（列）展开法则。利用这一法则并结合行列式性质，可以化简行列式的计算。例 6 计算行列式 xyyxyxyxDn000000000000解：根据行列式的特点，对第一列用定理 2 的方法展开可得nnnnnyxyxyyxyyxyxyxyxxxyyxyxyxD11)1(00000000000000)1(0000000000000000000000000推论：n阶行列式Dn的任一行（列）元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 （ij）a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0 （ij）综合定理 1 和推论可得出如下表达式：nknjkikjijiDAa1)(,0)(,当当或 nknkjkijijiDAa1)(,0)(,当当线性代数教案141.4 克拉默法则1.4 克拉默法则教学目的教学目的：克拉默法则及其应用、n元齐次线性方程组教学重点教学重点：克拉默法则及其应用教学难点教学难点：克拉默法则的证明一、导入二、新授（一）定理 1.4(克莱姆法则)：如果线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 （1.6）的系数行列式不等于零，即0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则方程组（1.6）有唯一解 DDx11，DDx22，DDxnn (1.7)其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,即nnnjnnjnnjjjaabaaaabaaD11111111111证明：用系数行列式D中第j列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次乘方程组(1.6)的n个方程,再把它们相加,得nknknknkkjknkjknjkjkjkjkAbxAaxAaxAa111111,)()()(根据定理 3 的推论可知,上式中xj 的系数等于D,而其余的系数均为零,等式右端即为Dj。于是有 Dxj=Dj （j=1，2，n）(1.8)当 D0 时，方程组（1.6）有唯一的一个解(1.7)。由于方程（1.8）与方程(1.6)是同解方程,故此,方程(1.6)的解一定是方程(1.8)的解。而方程（1.8）仅有一个解（1.7），故方程（1,6）如果有解只可能是解（1.7）。下面验证解（1.7）是方程（1.6）的唯一解。取一个两行相同的 n+1 阶行列式线性代数教案15nnnnniniiaabaabaab111111 （i=1，2，n）它的值为 0，把它按第一行展开，得0=biD ai1D1ainDn 由于 D0，所以 ininiibDDaDDaDDa2211 （i=1，2，n）。（二）例 1 解线性方程组4221234422243213214314321xxxxxxxxxxxxxx解：利用克拉默法则求方程组的解。0213142211013014211013412212101234102001021210123410221113141rrrrD所以方程组有唯一解；又221240121410421121D 421410113414221212D024210123440222113D 141211123410221114D于是方程组的解是 21,0,2,144332211DDxDDxDDxDDx 。例 2 一个土建师，一个电气师，一个机械师，组成一个技术服务队，假设在一段时间内，每人收入 1 元人民币需要 其它两人的服务费用和实际收入如表一，问这段时间内，每人的总收入分别是多少？被服务者 服务者 土建师范 电气师 机械师 实际收入线性代数教案16土建师 0 0.2 0.3 500电气师 0.1 0 0.4 700机械师 0.3 0.4 0 600 （表一）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是x1，x2，x3。根据题意，列出下列方程组：3232311326004.03.07004.01.05003.02.0 xxxxxxxxx 即 6004.03.07004.01.05003.02.0321321321xxxxxxxxx694.014.03.04.011.03.02.01D 87214.06004.017003.02.05001D 100516003.04.07001.03.050012D 10806004.03.070011.05002.013D48.125611DDx,13.144822DDx,20.155633DDx.答：这段时间内，土建师的总收入是 1256.48 元，电气师的总收入是 1448.13 元,机械师的总收入是 556.20 元。（三）n元齐次线性方程组1.在线性方程组（1.6）中,当常数项b1,b2,bn全都为零时,即 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa (1.9)称为n元齐次线性方程组。零解：当系数行列式D不等于零时，x1=0，x2=0，xn=0。（或称为平凡解）非零解：（或称为非平凡解）2.定理 1.5：含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组(1.9)有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式D=0。证明：如果D0，则方程组(1.9)只有唯一解是零解，因而没有非零解。反之，如果D=0 则方程组(1.9)不是有唯一解，那么方程组(1.9)或者有解或者无解。但方程组(1.9)至少零解，因此，方程组(1.9)有无穷多解，从而除了零解之外还有非零解。3.例 3 求下面齐次线性方程组的解线性代数教案1703202206303243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：221321212060311132D所以方程组只有零解。即 x1=x2=x3=x4=0例 4 问k为何值时，方程组 kyyxkxyx33有非零解？解：将方程组整理得0)3(0)3(ykxyxk根据定理 5，当且仅当系数行列式等于零时，齐次线性方程组有非零解，即03113kk ，（3k）21=0故当k=2 和k=4 时方程组有非零解.。三、练习1 1024305222325321321321xxxxxxxxx2.k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：0200321321321xxxxkxxkxxx3.小结：本节学习了n阶行列式的按行(列)展开，克莱姆克拉默法则及其应用线性代数教案18第二 章 矩阵第二 章 矩阵2.1 矩阵及其运算2.1 矩阵及其运算教学目的教学目的：使学生学习矩阵相关的概念及运算教学重点教学重点：矩阵的概念及运算，几种特殊的矩阵教学难点教学难点：矩阵的的乘法运算，一、导入 矩阵是从实际问题的计算中抽象出来的一个数学概念，是数学研究中常用的工具，它不仅在数学中的地位十分重要，而且在工程技术各领域中也有着广泛的应用。矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。二、新授1定义 1定义 1：由nm个数排成的m行n列的表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为m行n列矩阵矩阵（matrix）,简称nm矩阵。一般用大写黑体字母表示：记为 A、B、C。为了表示行和列，也可简记为nmA或ijm na矩阵中数(1,2,;1,2,)ija ij称为矩阵的第i行第j列元素。注意：m=n 时是方阵，此时矩阵称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。n=1 称为列矩阵或列向量 12nbbBb。m=1 称为行矩阵或行向量 12,nAa aa。定义定义 2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为 A=B。把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。例例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa其中ija为工厂向第i店发送第j种产品的数量。这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵线性代数教案19 1112212231324142b bb bBb bb b其中1 ib为第i中产品的单价，2ib为第j种产品单价重量。2特殊形式矩阵：（1）n 阶方阵：在矩阵nmijaA)(中，当nm 时，A称为n阶方阵方阵（2）行矩阵：只有一行的矩阵naaaA21叫做行矩阵行矩阵列矩阵：只有一列的矩阵mbbbB21 叫做列矩阵列矩阵（3）零矩阵：元素都是零的矩阵称作零矩阵零矩阵3相等矩阵：对应位置上的元素相等的矩阵称作零矩阵零矩阵4常用特殊矩阵：（1）对角矩阵：n00000021 （2）数量矩阵：000000（3）单位矩阵：100010001E （4）三角矩阵：mnnnaaaaaaA00022211211称作上三角矩阵上三角矩阵，mnmmaaaaaaA21222111000 称作下三角矩阵下三角矩阵。5.矩阵的运算矩阵的运算一、矩阵的加法一、矩阵的加法：定义定义 3：A+B=（ija）nm+（ijb）nm=（ija+ijb）nm 线性代数教案20 =111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab两个同型（m 行）、同列（n 列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律1、交换律 A+B=B+A2、结合律（A+B）+C=A+(B+C)3、有零元 A+0=A4、有负元 A+(-A)=0 ()ABAB 二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法定义定义 4、给定矩阵 A=（ija）nm及数 k,则称（kija）nm为数 k 与矩阵 A 的乘积。即 kA=kija=111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka由定义可知 A=(-1)AA B=A+(-B)数与矩阵的乘法满足下列运算律（设A，B，为nm矩阵，为数）：（a）)()(AA（b）AAA)(（c）BABA)(例 1 设 140213A，043203B求BA23。解：320623308640631206390432032140213323BA三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法(1)定义 5定义 5：设两个矩阵smijaA)(，nsijbB)(，则矩阵A与矩阵B的乘积记为ABC，规定nmijcC)(，其中 线性代数教案21skkjiksjisjijiijbabababac12211.),2,1;,2,1(njmi(2)矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(a)结合律：)()(BCACAB；（b）分配律：CBCABACBCACCBA)()(；（c）设k是数，)()()(kBABkAABk。例 2 设 1111A，1111B，1111C求AB，BA与AC。解：000011111111AB;222211111111BA000011111111AC从例题中我们可以得出下面的结论：（i）矩阵的乘法不满足交换律。即一般地说，BAAB。（ii）两个非零矩阵的乘积可能等于零。一般说来，0AB不能推出0A或0B。（iii）矩阵乘法中消去律不成立。即ACAB，且0A，不能推出CB(3)设A是一个n阶方阵，定义：,0EA AkkAAAA个（k是正整数）称kA为A的k次方幂。由于矩阵的乘法适合结合律，所以方阵的幂满足下列运算律：lklkAAA；kllkAA)(，其中k，l为正整数。又因为矩阵乘法一般不满足交换律，所以对两个n阶方阵A与B，一般说来，kkkBAAB)(。设mmmmaxaxaxaxf1110)(是x的 一 个 多 项 式，A为 任 意 方 阵，则 称EaAaAaAaAfmmmm1110)(为矩阵矩阵A的多项式的多项式四、矩阵的转置四、矩阵的转置1定义：设mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 则矩阵 mnnnmmaaaaaaaaa212221212111 称为A的转置矩阵转置矩阵2矩阵的转置是一种运算，它满足下列运算律（假设运算都是可行的）：（1）AATT)(（2）TTTBABA)(（3）TTkAkA)(（k是数）（4）TTTABAB)(线性代数教案22例 3 设BT=B,证明(ABAT)T=ABAT证明：因为BT=B，所以(ABAT)T=（AB）ATT=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT3定义：设A为n阶方阵，如果AAT，即有jiijaa ),2,1,(nji则称A为对称矩阵对称矩阵。如果AAT，即有jiijaa，0iia),2,1,(nji，则说A为反对称矩阵。反对称矩阵。五、方阵的行列式五、方阵的行列式1定义 6定义 6：由n阶方阵A所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为n阶方阵方阵A的行列式的行列式(determinant of a matrix A)，记作|A|或 Adet。2n阶行列式的运算满足下列运算律（设A，B为n阶方阵，k为数）：（1）|AAT；（2）|AkkAn；（3）|BAAB。3.小结：本节介绍了矩阵的概念和矩阵的特殊形式和特殊矩阵以及矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算在矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。2.2 逆矩阵2.2 逆矩阵教学目的教学目的：会判断矩阵的可逆性，矩阵可逆的条件教学重点教学重点：1可逆性判定；2.矩阵可逆的条件教学难点教学难点：求逆矩阵一、导入 求逆矩阵是矩阵的一种重要运算，它在矩阵的应用中起到重要的作用。二、新授逆矩阵的概念逆矩阵的概念1定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使 EBAAB则称A是可逆矩阵可逆矩阵。并称B为A的逆矩阵逆矩阵，记为1A，即1 AB。如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。事实上，设1B，2B都是A的可逆矩阵，则有 EABAB11 EABAB22，于是 22212111)()(BEBBABABBEBB。2定义：设A为阶方阵，若0|A，则称A是非奇异的非奇异的（或非退化）的非退化）的，否则称A是奇异的奇异的（或退化的退化的）。3定义：设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，令ijA为|A中元素ija的代数余子式，则称方阵线性代数教案23nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*为A的伴随矩阵伴随矩阵，或记为*A。矩阵可逆的充要条件矩阵可逆的充要条件定理定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，即0|A，并且|*1AAA证明：充分性：设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*由第一章中定理 1.4 及推论可知EAAAAAAAAAAAAAaaaaaaaaaAAAAnnnnnnnnnnnn|212221212111212222111211*又知0|A，所以有 EAAAAAA|*故A可逆，且|*1AAA 。证毕。推论 1：若A是可逆矩阵，则A经过若干次初等变换后所得矩阵仍为可逆矩阵。推论 2：若EAB（或EBA），则1 AB。方阵的逆矩阵满足下面运算律：（1）若A可逆，则AA11)(；（2）若A可逆，数0k，则111)(AkkA；（3）若A，B为同阶可逆矩阵，则111)(ABAB；（4）若A可逆，则TTAA)()(11；（5）若A可逆，则11|1|AAA逆矩阵的计算方法：逆矩阵的计算方法：伴随矩阵求逆矩阵 例 1 求方阵 343122321A 的逆阵。线性代数教案24解：求得 02343122321|A，所以1A存在，又,22221,51231,4123224321,63331,6343224322,33312,23412333231232221131211AAAAAAAAA得222563462*A 所以11125323231|1*1AAA例 用伴随矩阵法求A的逆矩阵 102123111A解：因为 01102123111|A，所以A可逆。21012)1(1111A51213)1(2112A40223)1(3113A11011)1(1221A31211)1(2222A，20211)1(3223A11211)1(1331A，21311)1(2332A，12311)1(3333A3.小结：本节讲授了逆矩阵的概念、可逆条件和求逆的方法，要求会求逆矩阵。2.3 矩阵的分块法2.3 矩阵的分块法教学目的教学目的：会用分块矩阵作加、减、数乘法、转置运算教学重点教学重点：分块矩阵的乘法运算教学难点教学难点：分块矩阵的乘法运算一、导入 线性代数教案25对于行数和列数较大的矩阵我们经常会采用一种分块的方法（即将高阶矩阵划分成若干个小块后再进行降阶运算），它是计算高阶矩阵的一种有用的技巧。二、新授分块矩阵的概念分块矩阵的概念设A是一个nm矩阵，我们将A用若干条横线和纵线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块（或称为A的子矩阵），以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵。分块矩阵的运算分块矩阵的运算1分块矩阵的加法：设矩阵 A 和 B 是两个同型矩阵，且采用同样的方式进行分块，则分块矩阵 A 与 B 相加，只需的把对应子块相加。2数与分块矩阵的乘法：数与分块矩阵相乘等于用这个数乘每一个子块。rsrrssAAAAAAAAAA212222111211rsrrsskAkAkAkAkAkAkAkAkAkA2122221112113分块矩阵的乘法：设A为ms矩阵，B为sn矩阵，将它们分块成rtrrttAAAAAAAAAA212222111211，tlttllBBBBBBBBBB212222111211rlrrllCCCCCCCCCAB212222111211其中tkkj