3.2 第2课时 双曲线的简单几何性质(1).docx
第2课时 双曲线的简单几何性质学习 目标1 .掌握双曲线的简单几何性质.2 .会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对称性、顶点、离心 率、渐近线等几何性质.素养养成学透教材类型1由双曲线方程研究其简单几何性质伽1 （P124例3补充）求双曲线9y2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解答】 由9）24=-36,得方一，=1,所以/=9,户=4, c2=6f2+Z?2 = 13,所以c=正，所以顶点坐标为（一3,0）, （3,0）,焦点坐标为（一行，0）,（行， 0）,实轴长为2=6,虚轴长为2Z?=4,离心率为e=-=,渐近线方程为y 2 =±彳尤总结提炼由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：（1）把双曲线方程化为标准形式是解题关键；（2）由标准方程确定焦点位置，确定，b的值；（3）由/=/+求出c的值，从而研究双曲线的几何性质.类型2双曲线的渐近线1硕12 （1）已知双曲线过点（4,小），且渐近线方程为）=±金，那么该双曲线的标准方程为Z-kul .f【解析】由双曲线的渐近线方程为），= ±F，可设该双曲线的标准方程为丁一L42）2=2（2不0）,因为该双曲线过点（4,小）,所以疝一（小）2=2,即2=1,故所求双 曲线的标准方程为，一）2=1.（2）已知双曲线的一条渐近线为x+«5y=0,且与椭圆f+4），2=64有相同的焦距，那么双曲线的标准方程为焦距，那么双曲线的标准方程为304Z2【解析】因为椭圆的方程为方+证=1,所以椭圆的焦距为8s.当双曲OT 1 O（。2+3=48,| b 仍3，线的焦点在X轴上时，设双曲线的标准方程为了一片=1(>(), /?>(),则。 = 36,f y2解得所以双曲线的标准方程为匕一色=1.当双曲=12,36 12（次+/=48,| a 爽厂3，（次+/=48,| a 爽厂3，线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为泡一/=1(>0, Z?>0),则/ = 12,2 f解得c所以双曲线的标准方程为力一记=1.由可Z/ = 36,12092v*2知，双曲线的标准方程为£ 一卷=1或卷一£=1.Jo 1212 36(3)经过点P(2, -2),且与双曲线C与一丁=1有相同渐近线的双曲线的方程是(A)，99A。王/R J'A. 2 4& 4 2 22c 3=1D 匚工=J 2 4 1u, 4 2fr2【解析】 设与双曲线C： y-r=l有相同渐近线的双曲线的方程是会一)24=42工0),又双曲线经过点P(2, -2),所以7=14=一2,即双曲线的方程为总结提炼X2 V2V2 X2求双曲线N一方=1(心0,疣>0)或，一/=1(。>0,疣>0)的渐近线方程的方法： 令右边的常数等于0,即令定一方=0,得 >=备；或令力一£=()，得y=i1x.反 之，已知渐近线方程为y=±,可设双曲线的方程为一忘=，。>0,入0, 2W0).类型3双曲线的离心率13根据下列条件求双曲线的离心率.(1)已知点(2,3)在双曲线C 2-2=1(6/>0,力>0)上，且双曲线C的焦距 为4；4 Q【解答】 由点(2,3)在双曲线。上，得了一了=1,又其焦距为4,所以2c=4,即c=2.因为/+=(?,所以=1, b=事,c=2,所以离心率c=2.(2)己知点尸(2,0)到双曲线，一)，2=1(>0)的一条渐近线的距离为1.1 ?【解答】因为渐近线为y=±r,即壮”=0,所以-j=j=l,所以=3, ay/T+cr工包 2/ d、， c 225于正d=4,所以=4=东=号-.总结提炼(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法：求小儿c的值，由於=丁-=1+,直接求e.列出含有小A c的齐次方程(或不等式)，借助于/=02/消去4 然 后转化成关于e的方程(或不等式)求解.(2)双曲线渐近线的斜率女与离心率e的关系为k=7= 21 = yje21.课堂评价及时反馈1 .双曲线3)2= 1的渐近线方程是_ y=±/ ,离心率是更.2【解析】 因为双曲线的标准方程为一9=1 ,所以层=4, b2= 1 ,所以4 =2, h= 1,故渐近线的方程为y=±1x,离心率e=£=也二也=坐.2 .已知双曲线，一方=l(e0, b>0),若点(4, 一2)在它的一条渐近线上，则 它的离心率等于(B)A. 北【解析】 由题知，双曲线的一条渐近线方程为），=一齐，因为（4, 一2）满足 方程y=一,，则_2=一2乂4,所以廿所以e=y=3.若等轴双曲线的一个焦点是（一6,0）,则其标准方程为（D）B. f-f=lB. f-f=lx2 y2A. g_g=l【解析】 因为等轴双曲线的一个焦点为尸i（6,0）,所以c=6,且。=/?.又 d=4+随 所以2/=36,即=18,所以双曲线的标准方程为一号=1.1 O 1 O4.（多选）已知双曲线的方程为55=1,下列说法中正确的是（BC）A.焦点为（士VL 0）B.渐近线方程为Sx±3），=0C.离心率e=3D.焦点到渐近线的距离为手【解析】 由题可知4=3, b=币,c=/9 + 7=4,则焦点为（±4,0）,渐近线 方程为），=若r=土乎x,即，为法3），=0,离心率为e=2=g,焦点（4,0）到渐近线由 x±3y=0的距离为1=*=巾.5.若双曲线C： 4rb21（。>0,比>0）的离心率为巾，则双曲线。的渐近线B.y=±/6x方程为(B)A.y=±5xC.y=,x【解析】 由题意知双曲线C:2=l（t/>0, /?>0）的离心率为由，即e=（X.故双曲线C的渐近线方程为），=±
