3.1 第2课时 椭圆的简单几何性质(1).docx
第2课时 椭圆的简单几何性质素养养成学透教材学习 目标1 .掌握椭圆的简单几何性质.2 .能根据椭圆的方程求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率等.类型1椭圆的简单几何性质x2 y2K （P112例4补充）已知焦点在x轴上的椭圆的方程为W+根=1，点P（也, 1）在椭圆上.（1）求m的值；【解答】 由题意知点尸（也，1）在椭圆上，代入得G磬+5=1,解得小= 2.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率./ V2【解答】 由（1）知，椭圆的方程为了+'=1,则a = 2, b=y2,。=/，所以椭圆的长轴长2=4,短轴长2b=2吸,焦距2c=2吸，离心率e=-=r.总结提炼A判断椭圆几何性质的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断 出椭圆的焦点在哪条坐标轴上，再利用。，4 c之间的关系和定义，就可以得到 椭圆相应的几何性质.类型2由椭圆性质求椭圆方程硕12求满足下列条件的椭圆的标准方程.f 丫2、行（1）与椭圆点+（=1有相同的焦点，且离心率为半；【解答】因为。=«94= 小，所以所求椭圆的焦点为（一小，0）,（小,0）.设所求椭圆的标准方程为三十方=1（。人0）因为 吁一二一-, c= 小，72所以=5, =/=20,所以所求椭圆的标准方程为a+±=1.（2）椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点的坐标分别是（一6,0）, （6,0）, 焦点在X轴上；72【解答】因为椭圆的焦点在光轴上，所以设它的标准方程为，+£=1(。人>0).因为2c=8,所以c=4.又4=6,所以。2=q2/ = 20,所以椭圆的标准方%2 V2程为石+4=1(3)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6.【解答】 设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由题意可知2。+26=18,_< 2c=6,解得 ' 因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆c c 。S=4.1/ =庐 +。2,的标准方程为W+F=l或W+W=LZj lo Io Zj<总结提炼A利用椭圆的几何性质求标准方程的思路.(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步 骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方 程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组) 时常用的关系式有廿=层，e=?等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因 此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.类型3椭圆的离心率X2 y1酮 (1)若椭圆C：7+岳=1(>/?>0)满足乃=。+的则椭圆。的离心率 e等于(C)A.坐B.手3n 1+小C. tD. 一【解析】 因为20=+c,且/ =辰+ /,所以4(4 一。2)= 3+。)2,所以5/3、+ 2e3 = 0,解得或e= 1（舍去）.(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆稿专J+5=1(相GR)的离心率的取值范围为(C)B.D.B.D.?2m 2 _|_ 4 331- 41- 41- 4【解析】因为椭圆正m+3=1O£R),所以e2=u= 加+4 =一薪有<1 .当"2 = 0 时，6min<总结提炼求椭圆离心率及取值范围的两种方法:(1)直接法：若已知m c可直接利用£=?求解.若已知m b或b,。可借 助于/二反十/求出。或必 再代入公式求解.(2)方程法：若c的值不可求，则可根据条件建立a, b, c的齐次关系式, 借助于4=尻+。2,转化为关于a, c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式 两边同除以。的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值 范围.课堂评价及时反馈1 .已知椭圆/+碎/=i的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，那么 m等于(D)A 1 B 1a. 42C. 2D.4【解析】 将椭圆方程化为标准形式为2+吊=1,所以长轴长为2,短轴长 m为2 £由题意得2 = 2X2/5，解得加=4.2.已知椭圆C：5+£=1的一个焦点为(2,0),那么椭圆C的离心率为(C)B.【解析】因为椭圆C:/=4+22 = 8, 4=2理,D.2-J23今+彳=1的一个焦点为(2,0),焦点在X轴上，所以V22 ,3.若椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10,焦距为4小，则椭圆的方程为(A)【解析】 设椭圆的方程为u+g=l(>0>。)，由题意得c=2y5, a+b= 10.又。2 = 02 + /,解得=6, b=4,则椭圆的方程为m+1=1.V/JL X.Z?272?24.(多选)已知椭圆,+%=1与椭圆=+气=1有相同的长轴，椭圆5+5=127的短轴长与椭圆点+=1的短轴长相等, z 1 yA. a2 = 25C. / = 9f v2【解析】 椭圆*+篇=1的长轴长为题意可知椭圆/+£=1的焦点在X轴上，27的短轴长与椭圆点+=1的短轴长相等, z 1 yA. a2 = 25C. / = 9f v2【解析】 椭圆*+篇=1的长轴长为题意可知椭圆/+£=1的焦点在X轴上，那么(AD)B. b2=25D. Z?2=92210,椭圆为+卷=1的短轴长为6,由 z 1 y则=5, b=3, 故 片=25, Z?2 = 9.5.在长方形ABC。中，已知|AB|=4,13cl = 3,那么以A, B为焦点,且过C,。的椭圆的离心率为C,。的椭圆的离心率为1= 2【解析】 如图，AB=2c=4,因为点。在椭圆上，所以|C3| + |C4|=2a=3八 j乙， 2c 41+5 = 8,所以6=五=亍（第5题）
