3.1　第3课时　椭圆的简单几何性质(2).docx

第3课时椭圆的简单几何性质学习 目标1 .掌握直线和椭圆的位置关系的判断.2 .掌握直线和椭圆相交的弦长和中点问题的解决方法.素养养成学透教材类型1直线与椭圆位置关系的判断/ £伽T (P114例7补充)已知直线/： y=2x+"?,椭圆C： W+5=l.试求当7 取何值时，直线/与椭圆C：(1)有两个公共点；y=2x+z,【解答】消去)，得9+8s+2M-4=0,方程的判别式/ = (8m)2-4X9X(224)=-8加2+144.当/>0,即一3/V?V3、尼时，方 程有两个不相等的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线/与椭 圆C有两个公共点.(2)有且只有一个公共点；【解答】当/ = 0,即，=±3啦时，方程有两个相等的实数解，可知原方程 组有两组相同的实数解，这时直线/与椭圆C有且只有一个公共点.(3)没有公共点.【解答】 当/V0,即2V36或机>3色时，方程没有实数解，可知原 方程组没有实数解，这时直线/与椭圆C没有公共点.总结提燎判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消 去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：/>0直线 与椭圆相交；4=0台直线与椭圆相切；4<0台直线与椭圆相离.类型2直线和椭圆相交的弦长做12已知椭圆C： x2+4j2= 16.(1)求椭圆C的焦点坐标和离心率；?2【解答】 由f+4)2=16,得帝+；=1,所以。=4, b=2,所以c=2小,A从而焦点的坐标是(2，5,()和(一2小，0),离心率e=彳.【解答】f+2y4=0, 联立方程组口+49=-(2)设直线/：1+2)，-4=()与椭圆C交于4, 8两点，求弦长A8.C犬|=0,消去y得-4x=0,则1或3=212 = 4， 所以4 , 8两点的坐标分别为(0,2)和(4,0),所以弦长AB =lp=0,/(0-4)2+(2-0)2=25.总结提燎求弦长的两种方法:(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利 用 弦 长 公 式 ： PPi = yjl+k? q(xi+x2)24xix2(或|PiP2|=、y 1 +篙/。|+")2-4)，1户),其中XI, X2(,yi,四是上述一元二次方程的两个根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.类型3中点弦已知椭圆C：炉+4)，2=16和点M(2,l),求通过点M且被该点平分的弦所在直线的方程.【解答】 显然直线不与x轴垂直，设此直线的方程为了一1=网工-2),交点分别为 A(xi, yi), 8(X2, yi)t 则'分别为 A(xi, yi), 8(X2, yi)t 则'x?+4)*= 16,竟+4义=16,所以(XI -X2)(X +12)+ 4。， VI-V2I+j2)= o.又为_；=%,xi+x2=4, yi+”=2,所以k=-,故直线的方程为y 1 = 2(x2),即 x+2y4=0.总结提燎解决椭圆的中点弦问题的三种方法：(1)方程组法：通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方 程根与系数的关系及中点坐标公式求解.(2)点差法：设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(xi, y), Bg ”)， 将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(刈，w) 和斜率心8有关的式子，可以大大减少运算量.(3)中点转移法：先设出弦的一个端点的坐标，再借助中点得出弦的另一个 端点的坐标，分别代入椭圆方程作差可得.课堂评价及时反馈1.经过椭圆£+*=1(。>心0)的焦点旦垂直于椭圆长轴的弦长为(D)AHC22A.rB.rbbb2c2b2C.D.一aax=±c,【解析】因为垂直于椭圆长轴的弦所在的直线为x=±c,由I#b22 62得>2=了，所以M=,故弦长为二丁2.若直线加r+y=4和圆0：+产=4没有交点，则过点尸(z, )的直线与椭圆+亍=1的交点为(A)A. 2个B.至多一个C. 1个D. 0个4【解析】 因为直线tv+y=4与圆/+,2=4没有交点，所以 厂>2, yjnr-1-n4 - 2即 加+2<4.又因为w+1<i+-=1-<1,所以点P在椭圆内，故直线 与椭圆有2个交点.3.在椭圆京+方=1内，过点且被该点平分的弦所在直线的方程为(C)A. 9x16.y+7=0B. 16x+9.y25=0C.9x+16y25=0D. 16x9)，- 7 = ()r? v? M【解析】设弦的两个端点的坐标分别是即)，1),(X2, "),则寸+方=1，话+会,且.+9"=2,两式相减得石岩+宁=。，即=一七所求直线的斜率是一V，弦所在直线的方程是），一1 = 一玲。- 1）,即 以+16），一 25=0.4.已知斜率为1的直线/与椭圆，+）2=1相交于A, B两点,那么AB的最 大值为（C）A.2B 甘J 55【解析】 设A, 8两点的坐标分别为（加，yi）,（X2, ”），直线/的方程为y x2+4y2=4,q=x+f,由+/消去），得 51+8a+4（尸-1）=0,则 xi+jq=一,，xix2=%,厂 1）, 所以依8| = y2 |第一阅=y/2 d（xi+x2）24xix2 = y/2 J（Ax中岑义后,当,=o时，I,“呼,5.若过椭圆t+?=l的右焦点/作一条斜率为2的直线与椭圆交于A, B两点，。为坐标原点，则OAB的面积为两点，。为坐标原点，则OAB的面积为5-3-任+J【解析】由已知得直线的方程为y=2x2, |OF|=1,联立54' 解l.y=2.v2,5-3 4-3-= =X y fjll或不妨设 4(0, -2),既 则 SOB=OF-yA-yB5-3-