3.2 第3课时 双曲线的简单几何性质(2).docx
第3课时 双曲线的简单几何性质1.掌握直线和双曲线的位置关系的判断.A.(0. |)B. (一|, 0)D. (一8, - J u (|, +8)X? V22C.3' 3J学习目标 2.掌握直线和双曲线相交的弦长和中点问题的解决方法.素养养成学透教材类型1直线与双曲线位置关系的判断X2 y2K (1)若直线y="与双曲线34 = 1相交，则上的取值范围是(C)【解析】由题知直线y=息恒过原点，双曲线不一=1的渐近线为丁=±乎.V222因为直线y=kx与双曲线石一=1相交，所以一 y 433(2)若直线/： ykx-2与双曲线尤2y2=l有且仅有一个交点，则k= ±1, ±V5_.y 29 9得(1 )%2+4&-5=0.当 13=0 时，可x2-/=l,得攵=±1,此时直线/的方程为y=±x2,分别与等轴双曲线的渐近线y=ix平 行，此时直线/与双曲线有且只有一个交点，满足题意；当1-FW0时，由直 线/与双曲线有且只有一个公共点，可得/ = 163+20(1严)=0,解得k=/, 此时满足条件.综上可得左=±1, ±5.，总结提炼A判断直线与双曲线的位置关系，通过解直线方程与双曲线方程组成的方程 组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：/>0 台直线与双曲线相交；4=00直线与双曲线相切；/<0台直线与双曲线相离.特 别注意和渐近线平行的直线与双曲线的交点只有一个.类型2直线和双曲线相交的弦长和中点问题(P126例6补充)已知双曲线C: /,2=1及直线/： ykx+l.(1)若/与C有两个不同的交点，求实数上的取值范围；%2y2=l, 【解答】由。+1,%2y2=l, 【解答】由。+1,得（1 A?）/一2乙一2=0（*）,由双曲线C与直线I1 一3 W0,4=43+8（1一3）0,1 一3 W0,4=43+8（1一3）0,有两个不同的交点，知方程（*）有两个不同的实数根，所以解得一也大也且左W±l,所以实数Z的取值范围是（一6，-1）U（-U）U（1,也）.（2）若/与C交于A, B两点，且线段中点的横坐标为色，求的长.2kL L【解答】 设交点为A（xi, yi）, 8（x2,券），由得xi+1=_乃=24,即5F+%一也=0,解得k=ZW±1,所以 k=）,所以/ = -4斤+8 = 6,所以|AB| =11 +信吉厂6.总结提炼A求弦长的两种方法：（1）求出直线与双曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.（2）联立直线与双曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程， 利用弦长公式：PP2I =y 1 +F.q（Xl+x2）2 4X1X2（或|0122|=y1 +"&1+2）24yi*）,其中1, X2（yi, *）是上述一元二次方程的两个根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.类型3利用双曲线解决实际问题酶（P124例4补充）已知A, B,。是我方三个炮兵阵地，A在8正东6 km 处，C在B北偏西30。，相距4 km处，P为敌炮阵地.某时刻A处发现敌炮阵 地的某种信号，由于3, C两地比A距P地远，因此4 s后，B,。才同时发现 这一信号，此信号的传播速度为lkm/s,若A炮击尸地，求炮击的方向角.（例3）【解答】 如图，以直线BA为x轴，线段R4的垂直平分线为y轴建立平面 直角坐标系,则3(3,0), A(3,0), C(-5,25 由题意知|P8| = |PC|,所以点尸 在线段8C的垂直平分线上.设敌炮阵地的坐标为(x, y),因为kBC= 一小,BC 的中点。(一4,5),所以直线 加)：yS=W(x+4),又|P3| 1%|=4,故P 7397在以A, 8为焦点的双曲线的右支上，则双曲线的方程为?一为=1(x22).联立两式，得x=8, y=5小,所以点P的坐标为(8,5审)，因此点=皂工=5, o - 3故炮击的方向角为北偏东30°.课堂评价及时反馈1 .下列直线中与双曲线C一=1有两个不同交点的是(D)o 4A. y=xB. x也y+也=0C. y=y2xD. y=x3【解析】双曲线C：y=1的渐近线方程为y=±半x,顶点坐标为(±2啦, O "乙0),显然y=x,与双曲线没有公共点，工一也+啦=0与双曲线有1个交点，y=x3与双曲线有两个交点.2 .双曲线x29=1被直线y=x+l截得的弦长是平y=x+l,【解析】 联立方程组)/整理得3/-2x5 = 0.设直线y=x+l% =1，、,25与双曲线交于A, B两点、,A(xi, yi), 3(x2,")，则xi+x2=1, xxi=y 由弦 长公式可得|AB| =41+庐.|尤2刈=&(%1+%2)2 4%112 =啦.+当=斗.3 .已知双曲线，一徐=1(。0,方0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,2),那么该双曲线的离心率为(B)A.坐B.哗C.乎D. 2【解析】 设弦端点的坐标分别为(%i, yi), (%2, ”)，则g£=1,3一1,两式作差并整理得+吗%L%2)_8 +嚼L") = o,因为斜率为1,弦的中, VI-V2 Xl+12 Vl+y2 “ o 0coi O ”,点为(4,2), 所以尢 尢 =1,2 =4,2 =2, 所以 cr=2b ,艮口 , 所3 以，=2+。2=于2,3 以，=2+。2=于2,f 丫24. (2022全国甲卷)记双曲线C -2=1(6/>0,。>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与。无公共点”的e的一个值2(满足l<eW、5皆可).y2b【解析】 因为C: 72=1(6/>0, Z?>0),所以。的渐近线方程为y=±r,b 房结合渐近线的特点，只需0&W2,即三W4可满足条件“直线y=2x与C无公共点"，所以e=y 11 +4=小.又因为e>l,所以l<eW小.925.已知双曲线5一汽=1的右顶点为A,右焦点为R若过点尸且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则点B的坐标是一得，一号 , AAFB的面积为=._Q 92【解析】双曲线卷一步=1的右顶点为A(3, 0),右焦点为b(5,0), 4=3, h y 1044=4, c=5,所以渐近线方程为y=±gx.不妨设直线尸B的方程为y=1(x5),将17彳产一4y=g(x5)代入双曲线方程并整理得X2(X5)2 = 9,解得x=(1732、11132 32以 61f,一司，所以 SMFB=AF-yB = 2(c)11= 2x(5 3)X
