根轨迹法(自动控制原理)课件.ppt
第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第四章第四章根轨迹法根轨迹法4.1 根轨迹的基本概念4.2 绘制典型根轨迹4.3 特殊根轨迹图4.4 用MATLAB绘制根轨迹图4.5 控制系统的根轨迹分析第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。内内容容提提要要第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v线性性时不不变系系统的的动态性能主要取决于性能主要取决于闭环系系统特征方程的根（特征方程的根（闭环极点），所以控制系极点），所以控制系统的的动态设计，关，关键就是合理地配置就是合理地配置闭环极点。极点。调整开整开环增益是改增益是改变闭环极点的常用极点的常用办法法。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v19481948年伊凡思年伊凡思(W.R.Evans)(W.R.Evans)提出了根提出了根轨迹法，它不迹法，它不直接求解特征方程直接求解特征方程,而用而用图解法来确定系解法来确定系统的的闭环特征根。特征根。所所谓根根轨迹，就是系迹，就是系统的某个参数的某个参数连续变化化时，闭环特征根在复平面上画出的特征根在复平面上画出的轨迹。如果迹。如果这个参个参数是开数是开环增益，在根增益，在根轨迹上就可以根据已知的迹上就可以根据已知的开开环增益找到相增益找到相应的的闭环特征根特征根；也可以根据期望；也可以根据期望的的闭环特征根确定开特征根确定开环增益。增益。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理绘制根制根轨迹曾迹曾经是枯燥繁是枯燥繁琐的工作，的工作，MATLAB的的出出现使使这项工作工作变得得轻松愉快，如今在松愉快，如今在计算机上算机上一分一分钟就能就能绘制一制一张精确的根精确的根轨迹迹图。本章注意本章注意继承承传统根根轨迹法中的精迹法中的精华，也注意吸，也注意吸纳根根轨迹法的最新迹法的最新进展。具体展。具体选材上，材上，侧重根重根轨迹的相角条件和基本迹的相角条件和基本规则，主推，主推MATLAB绘制根制根轨迹，突出如何有效地运用根迹，突出如何有效地运用根轨迹法。迹法。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1.1.1.1.什么是根轨迹什么是根轨迹什么是根轨迹什么是根轨迹v考考虑图示示负反反馈控制系控制系统，设其开其开环传递函数函数为：则该系系统的的闭环特征方程特征方程为：4.1根根轨迹的基本概念迹的基本概念第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理当当K从零到无从零到无穷大大连续变化化时，闭环极点在极点在S平面平面(复平面复平面)上上画出的根画出的根轨迹如迹如图所示。所示。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v当开当开环增益增益K从零到无从零到无穷大大连续变化化时，闭环极点在极点在S平面平面(复平面复平面)上移上移动画画出的出的轨迹迹图即根即根轨迹迹图。从上述根从上述根轨迹迹图中可以看到：中可以看到：当当0K0.385时有有两个两个闭环极点成极点成为共共轭复数。复数。只要只要0Km时，开始于，开始于n个开个开环极点的极点的n支根支根轨迹，有迹，有m支支终止止于开于开环零点，有零点，有n-m支支终止于无止于无穷远处。因因为，终点点就是就是K的点，要的点，要K只有两种情况，一种只有两种情况，一种是是s=zl，另一种是，另一种是s。这时，无，无穷远处也称也称为“无无穷远零点零点”。当当nm时，终止于止于m个开个开环零点零点m支根支根轨迹，有迹，有n支来自支来自n个开个开环极点，有极点，有m-n支来自无支来自无穷远处。必需必需指出，指出，实际系系统极少有极少有nm时，根，根轨迹一定有迹一定有nm支支趋向无向无穷远；当；当nm时，根根轨迹一定有迹一定有mn支来自无支来自无穷远。可以。可以证明：明：当当nm时，根，根轨迹存在迹存在|nm|支支渐近近线，且，且渐近近线与与实轴的的夹角角为：所有所有渐近近线交于交于实轴上的一点，其坐上的一点，其坐标为规则3：渐近近线第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理实轴上的开上的开环零点和开零点和开环极点将极点将实轴分分为若干段，若干段，对其中其中任一段，如果其右任一段，如果其右边实轴上的开上的开环零、极点零、极点总数是奇数，数是奇数，那么那么该段就一定是根段就一定是根轨迹的一部分。迹的一部分。规则4：实轴上的根上的根轨迹迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v该规则用相角条件可以用相角条件可以证明，明，设实轴上有一上有一试验点点s0。任任一一对共共轭开开环零零点点或或共共轭极极点点（如如p2，p3），与与其其对应的的相相角角（如如2，3）之之和和均均为360，也也就就是是说任任一一对共共轭开开环零、极点不影响零、极点不影响实轴上上试验点点s0的相角条件。的相角条件。对于于在在试验点点s0左左边实轴上上的的任任一一开开环零零、极极点点，与与其其对应的相角（如的相角（如4，3）均）均为0。而而试验点点s0右右边实轴上上任任一一开开环零零、极极点点，与与其其对应的的相相角角（如（如1，1，2）均）均为180。所所以以要要满足足相相角角条条件件，s0右右边实轴上上的的开开环零零、极极点点总数数必必须是奇数。是奇数。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v根根轨迹迹与与虚虚轴的的交交点点是是临界界稳定定点点。将将s=j代代入入闭环特特征征方方程程，令令特特征征方方程程的的实部部和和虚虚部部分分别等等于于零零，可可以以解解出出0和和K0。用。用劳斯（斯（Roth）判据也可以求得）判据也可以求得K0。规则规则6 6：根根根根轨轨迹的分离点迹的分离点迹的分离点迹的分离点v当当从从K零零变到到无无穷大大时，根根轨迹迹可可能能出出现先先会会合合后后分分离离，这样的点称分离点。分离点的点称分离点。分离点对应重重闭环极点。极点。显然，位于然，位于实轴上的两个相上的两个相邻的开的开环极点之极点之间一定有分离一定有分离点，因点，因为任何一条根任何一条根轨迹不可能开始于一个开迹不可能开始于一个开环极点极点终止止于另一个开于另一个开环极点。同理，位于极点。同理，位于实轴上的两个相上的两个相邻的开的开环零点之零点之间也一定有分离点。也一定有分离点。规则5：根：根轨迹与虚迹与虚轴的交点的交点第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v当当从从K零零变到到无无穷大大时，根根轨迹迹可可能能出出现先先会会合合后后分分离离，这样的点称分离点。分离点的点称分离点。分离点对应重重闭环极点。极点。显然，位于然，位于实轴上的两个相上的两个相邻的开的开环极点之极点之间一定有分离一定有分离点，因点，因为任何一条根任何一条根轨迹不可能开始于一个开迹不可能开始于一个开环极点极点终止止于另一个开于另一个开环极点。同理，位于极点。同理，位于实轴上的两个相上的两个相邻的开的开环零点之零点之间也一定有分离点。也一定有分离点。规则6：根：根轨迹的分离点迹的分离点第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 当然当然，分离点也可以是复数，两个相，分离点也可以是复数，两个相邻的开的开环复极点（或复极点（或零点）之零点）之间可能有分离点。可能有分离点。对实际系系统，依据，依据规则14基基本就能确定有无分离点。本就能确定有无分离点。基于分离点是重基于分离点是重闭环极点的事极点的事实可以可以证明，分离点的座明，分离点的座标，是下列代数方程的解：，是下列代数方程的解：必必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是明的是，方程只是必要条件而非充分条件。也就是说，方程的解不一定是分离点，是否是分离点，方程的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它要看其它规则。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v根根轨迹迹从从某某个个开开环极极点点出出发时的的切切线与与实轴的的夹角角称称为出出射射角角；根根轨迹迹进入入某某个个开开环零零点点的的切切线与与实轴的的夹角角称称为入射角。用相角条件不入射角。用相角条件不难证明，明，根根轨迹从开迹从开环极点极点pi出出发的出射角的出射角为：根根轨迹迹进入某个开入某个开环零点零点Zl的的入射角入射角为：规则7：根：根轨迹的出射角和入射角迹的出射角和入射角第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v上述上述规则对绘制根制根轨迹很有帮助，根据迹很有帮助，根据规则14就能很快就能很快地画出大致形状，再按地画出大致形状，再按规则5求出求出临界增益界增益K0，这样的根的根轨迹迹图就很有用了，一般称其就很有用了，一般称其为概略概略图。除非系除非系统阶次很低，否次很低，否则根据根据规则6，求解方程求分离点决，求解方程求分离点决非易事；非易事；根据根据规则7，计算出射角和入射角也不算出射角和入射角也不简单，并且，并且出射角和入射角的意出射角和入射角的意义并不大，因并不大，因为它它仅仅反映了开反映了开环极、极、零点零点处根根轨迹的走向，稍迹的走向，稍远一点就不起作用了。一点就不起作用了。所以，所以，画根画根轨迹最有用的是迹最有用的是规则15，如果想得到更精确，如果想得到更精确的根的根轨迹迹图，只有使用，只有使用Matlab。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v仍然考仍然考虑前面前面举例的例的负反反馈控制系控制系统，按，按7 7个基本个基本规则绘制根制根轨迹迹图。首先，系首先，系统有三个无有三个无穷远零点，有三个开零点，有三个开环极点：极点：p1=0，p2=-1，p3=-2 将将它它们标在复平面上，开在复平面上，开环极点的位置用极点的位置用表示；开表示；开环零零点的位置用点的位置用o表示。表示。根据根据规则1和和规则2，根，根轨迹将有迹将有3条分支，分条分支，分别开始于开始于这三个开三个开环极点，极点，趋向无向无穷远。3.绘图示例示例第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根据根据规则3，根，根轨迹有迹有3根根渐近近线，它，它们与与实轴的的夹角是：角是：所有所有渐近近线交于交于实轴上的一点，其坐上的一点，其坐标为：根据根据规则4，实轴上的上的-1，0段是根段是根轨迹的一部分；迹的一部分；实轴上的上的(-，-2段也是根段也是根轨迹的一部分。迹的一部分。实际上后者就是从上后者就是从开开环极点极点p3出出发趋向无向无穷远的一支，与的一支，与渐近近线的分析一致，的分析一致，这一支已一支已经是精确是精确图形了形了。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根据根据规则5，可以确定根，可以确定根轨迹与虚迹与虚轴的交点。先用的交点。先用劳斯判斯判据，据，根据特征方程系数列出根据特征方程系数列出劳斯斯阵列列为：使使第一列第一列中中s1项等于零，可以求得等于零，可以求得K=6。通。通过求解由求解由s2行行得出的得出的辅助助方程方程 3s2+K=3s2+6=0，可以求得根可以求得根轨迹与迹与虚虚轴的交点的交点为 ，交点，交点处的的频率率为 。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理另一种确定与虚另一种确定与虚轴交点的方法是，交点的方法是，令特征方程中的令特征方程中的s=j得：得：令上式中的令上式中的实部和虚部分部和虚部分别等于零，可以得到等于零，可以得到=0，K=0或或 。因此根。因此根轨迹在迹在 处与虚与虚轴相交，相交，交点交点处K=6。实轴上的上的根根轨迹在迹在=0处也也与虚与虚轴相交。相交。根根轨迹在迹在实轴上上的的-1，0段有一个分离点，根据段有一个分离点，根据规则6，有有 整理整理得得：32+6+2=0 解解得得=-0.423，=1.577，显然只有然只有-0.423在根在根轨迹上。迹上。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根根轨迹从迹从p1，p2，p3出出发的出射角已的出射角已经很明确，很明确，为了了验证规则7，还可可计算一下：算一下：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理以上根据基本以上根据基本规则画出的根画出的根轨迹仍然是概略迹仍然是概略图，它在，它在实轴上上的的根根轨迹、迹、渐近近线、与虚、与虚轴的交点是准确的，其它部分就不的交点是准确的，其它部分就不准确了。要做到根准确了。要做到根轨迹迹图准确，按准确，按传统方法要用方法要用试验点的点的办法法进行行细化，很繁化，很繁琐也不可能有高的精度；按也不可能有高的精度；按现代方法用代方法用MatlabMatlab可以快而准地可以快而准地绘出高精度根出高精度根轨迹迹图。显然，基本然，基本规则是具有指是具有指导意意义的，但在一些特定的情况中，的，但在一些特定的情况中，仅依靠基本依靠基本规则可能方案不唯一，下面可能方案不唯一，下面举例例说明：明：vv例例例例4-14-1 如前面如前面图示的示的负反反馈控制系控制系统，其开，其开环传递函数函数为第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理(b)(a)如果按基本如果按基本规则，图(a)和和图(b)两种形状都有可能性，两种形状都有可能性，实际上用上用Matlab绘出是出是图6(a)，当，当a增加增加时根根轨迹的中迹的中间部分在部分在变化，当化，当a=12时Matlab绘出根出根轨迹如迹如图(b)。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1.1.1.1.不以不以不以不以增益增益增益增益K K为为为为参量的根轨迹图参量的根轨迹图参量的根轨迹图参量的根轨迹图v有有时系系统需要需要调整的不是开整的不是开环增益增益K，而是其它参数。在，而是其它参数。在这些情况下，如果能些情况下，如果能够将将闭环特征方程特征方程变形，得到与典形，得到与典型根型根轨迹方程相似的形式，就可以套用其迹方程相似的形式，就可以套用其绘制方法了。制方法了。1)1)1)1)开开开开环环零点零点零点零点为为参量的根参量的根参量的根参量的根轨轨迹迹迹迹v有有时控制系控制系统增加开增加开环零点以改善零点以改善动态性能，性能，图(a)所示所示系系统就是一个例子，其中参数就是一个例子，其中参数T到底到底选多大？可以借助根多大？可以借助根轨迹来确定。迹来确定。4.3特殊根特殊根轨迹迹图第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理该系系统的的闭环特征方程特征方程为：上式两上式两边同同除除s(1+5s)+5就就得到：得到：将式中将式中的的T作作为参量，它就是典型的根参量，它就是典型的根轨迹方程形式，迹方程形式，第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理因因为 所以等价所以等价为典型根典型根轨迹方程后，相当于迹方程后，相当于 n=2，m=1，z1=0，p1,2=-0.1j0.95v注意注意：这里里的的z1，p1，p2并不是并不是图(a)所示系所示系统的开的开环零、极点零、极点，而是等价而是等价为典型根典型根轨迹方程后，等价系迹方程后，等价系统的开的开环零、极点，零、极点，这是与典型根是与典型根轨迹的主要区迹的主要区别。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理这样，用基本，用基本规则就可就可绘出其根出其根轨迹，迹，如如图(b)所示。它明所示。它明确表示了确表示了图(a)系系统中，中，T 对闭环极点的影响。极点的影响。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v有有时控控制制系系统需需增增加加开开环极极点点，图(a)所所示示系系统就就是是一一个个引引入入滤波器而增加了开波器而增加了开环极点的例子。极点的例子。该系系统的的闭环特征方程特征方程为：两两边除除s(s+1)+K 得得(2)开开环极点极点为参量的根参量的根轨迹迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理将上将上式中的式中的K取固定常数，取固定常数，T作作为参量，它就是典型根参量，它就是典型根轨迹迹方程的形式，相当于方程的形式，相当于n=2，m=3，n0)：这时特征方程特征方程变成：成：对应的相角条件的相角条件变成：成：2.正反正反馈系系统的根的根轨迹迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v这种情况主要种情况主要发生在系生在系统闭环为正反正反馈等特殊情况，比如等特殊情况，比如有的多有的多环控制系控制系统将某个内将某个内环设计为正反正反馈。由于由于相角条相角条件的改件的改变，导致基本致基本规则3、4和和7必必须修改。修改。规则3：渐近近线与与实轴的的夹角角为规则4：实轴上的某一段如果其右上的某一段如果其右边实轴上的开上的开环零、极点零、极点总数是偶数数是偶数，那么，那么该段就一定是根段就一定是根轨迹的一部分。迹的一部分。规则7：根：根轨迹的出射角和入射角公式中的迹的出射角和入射角公式中的180，均改，均改为360。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vv例例例例4-14-1 考考虑前面前面图示的反示的反馈控制系控制系统，设其开其开环传递函数函数为用用Matlab绘出根出根轨迹如迹如图，它印，它印证了上述三点改了上述三点改动。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v考考虑含有延含有延迟环节的系的系统：其其闭环特征方程特征方程为：当当K给定定时它有无它有无穷多个根，所以根多个根，所以根轨迹有无迹有无穷多支。多支。方程方程就是就是 所以所以对应的相角条件的相角条件为：3.延延迟环节的根的根轨迹迹第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 由于由于 e Ts=e jT=-=-T(弧度弧度)=-T 57.3所以相角条件所以相角条件变成：成：(s+1)=(2k+1)180-T 57.3 当当k=0时相角条件相角条件为：(s+1)=180-T 57.3 如果复平面上任一点如果复平面上任一点满足足，条件就在根条件就在根轨迹上，否迹上，否则就不在就不在根根轨迹上。条件迹上。条件还与与大小有关，若大小有关，若=0，实轴上上满足足(s+1)=180的点的点就就在根在根轨迹上，迹上，显然然实轴上上(，1段上的段上的点均在根点均在根轨迹上；再如迹上；再如=1直直线上的点，如果上的点，如果试验点点s1满足足(s+1)=180条件，条件，就在根就在根轨迹迹上，否上，否则就不在根就不在根轨迹上。迹上。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 这样，可以，可以作出作出k=0时的根的根轨迹如迹如图所示。所示。当当k=1，2，时，相角条件各不相同，取，相角条件各不相同，取T=1，根据各自，根据各自的相角条件可以的相角条件可以绘出出k=1，2，时的根的根轨迹迹图。这样的根的根轨迹分支有无迹分支有无穷个。个。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理由由图可以看出，当可以看出，当k=0时，临界增益界增益K0=2，当，当k=1时，临界界增益增益K0=8，当当k=2时，临界增益界增益K0=14，即，即k 越大越大临界界增益增益K0也越大。也越大。这是必然是必然结果，因果，因为临界增益界增益对应根根轨迹迹上上s=j的点，从相角条件知道的点，从相角条件知道s=j时k越大越大越大，再从幅越大，再从幅值条件：条件：知道知道越大越大K也越大。所以在分析也越大。所以在分析稳定性定性时，只需看，只需看k=0的的根根轨迹迹图就行了。就行了。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理用用Matlab绘制根制根轨迹迹图十分准确、快捷。十分准确、快捷。现在用一个例子来在用一个例子来说明用法。明用法。vv例例例例4-34-3 考考虑本章开始所本章开始所举例的例的闭环负反反馈控制系控制系统，设用用Matlab绘制根制根轨迹只要知道开迹只要知道开环传递函数分子分母的系数，函数分子分母的系数，并分并分别填入分子向量填入分子向量num和分母向量和分母向量den中，然后中，然后调用用绘制制根根轨迹的迹的专用函数用函数rlocus就行了就行了。4.4用用MATLAB绘制根制根轨迹迹图第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理对于本例，最于本例，最简单的程序就是：的程序就是：在在Matlab的命令窗（的命令窗（CommandWindow）中）中执行行这个程序，个程序，运行后就自运行后就自动绘出根出根轨迹迹图。从根从根轨迹迹图可以看出：当可以看出：当0K14或或64Knum=124;den=111.63943.6240;rlocus(num,den)第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v在在MATLAB窗中，窗中，进入入FileExport，可将，可将绘出的根出的根轨迹迹图存存为需要的需要的图形文件，比如命名形文件，比如命名为Exam2.pcx，这个个图形形文件可以插入文件可以插入Word文文挡。与与绘制根制根轨迹有关的函数迹有关的函数还有：有：pzmap绘制根制根轨迹的开迹的开环零、极点。零、极点。rlocfind计算算给定点的定点的K值。sgrid在在连续系系统根根轨迹迹图上上绘制阻尼系数和自然制阻尼系数和自然频率率栅格。格。zgrid在离散系在离散系统根根轨迹迹图上上绘制阻尼系数和自然制阻尼系数和自然频率率栅格。格。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理例如，在上列程序之后增加例如，在上列程序之后增加语句：句：执行行后用光后用光标左左单击根根轨迹上的任一点，会同迹上的任一点，会同时在每支根在每支根轨迹上出迹上出现红十字十字标出出n个个闭环极点的位置，命令窗极点的位置，命令窗中出中出现这n个个闭环极点的座极点的座标该点和它点和它们对应的的K值。也可以在也可以在MATLAB窗中窗中进入入FilesNew，打开，打开编辑器，在器，在编辑器窗口器窗口编写上述程序，并写上述程序，并创建一个建一个M文件，比如命名文件，比如命名为ROT2.m，然后在命令窗中运行文件名（，然后在命令窗中运行文件名（ROT2）。）。k,p=rlocfind(num,den)第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理1.1.1.1.根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性根轨迹与稳定性v用根用根轨迹迹图分析控制系分析控制系统的的稳定性，比定性，比仅仅知道一知道一组闭环极点要深刻得多。比如，极点要深刻得多。比如，当当K在在(0，)间取取值时，如果，如果n支根支根轨迹全部位于虚迹全部位于虚轴的的左左边，就意味着不管，就意味着不管K取任何取任何值，闭环系系统都是都是稳定的。定的。反之反之，根，根轨迹只要有一支全部位于虚迹只要有一支全部位于虚轴的右的右边，就意味着，就意味着不管不管K取何取何值，闭环系系统都不可能都不可能稳定。定。这种情况下，要种情况下，要使系使系统稳定，就必定，就必须增加开增加开环零、极点，即改零、极点，即改变系系统的的结构，而不构，而不仅仅是改是改变系系统的参数。的参数。4.5控制系控制系统的根的根轨迹分析迹分析第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果根如果根轨迹没有任何一支全部位于虚迹没有任何一支全部位于虚轴右右侧，而，而是有一支或多支根是有一支或多支根轨迹，由迹，由s平面的一平面的一侧穿越虚穿越虚轴进入入s平面的另一平面的另一侧，就，就说明明闭环系系统的的稳定是有定是有条件的。知道了根条件的。知道了根轨迹与虚迹与虚轴交点交点处的的K值，就可，就可以确定以确定稳定条件，定条件，进而确定合适的而确定合适的K值。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理初学者初学者容易把开容易把开环极点和极点和闭环极点混淆，因极点混淆，因为画画根根轨迹迹图时首先首先标在在图上的是开上的是开环零极点，根零极点，根轨迹的起点又是开迹的起点又是开环极但，因此极但，因此误认为根根轨迹上的迹上的点都是开点都是开环极点，极点，这是不是不对的。根的。根轨迹迹图上除了上除了起点和起点和终点外，其它点都是点外，其它点都是闭环极点的可能取极点的可能取值。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理但是开、但是开、闭环又具有相又具有相对性，在下性，在下图示多示多环系系统中，中，对于内于内环，G1(s)H1(s)是开是开环传递函数，其极点是开函数，其极点是开环极点；而极点；而闭环传递函数是函数是1(s)=G1(s)/1+G1(s)H1(s)，其极点是，其极点是闭环极极点。点。对于外于外环，1(s)G2(s)H2(s)是开是开环传递函数，其极点是函数，其极点是外外环的开的开环极点，极点，1(s)的极点只是外的极点只是外环开开环极点的一部分。极点的一部分。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理可可见，多，多环系系统也可以用根也可以用根轨迹迹进行分析。一般，首先依行分析。一般，首先依据据G(s)H(s)的零、极点，的零、极点，绘制内制内环的根的根轨迹迹图，选择合适合适的的K1使内使内环稳定；再依据定；再依据1(s)G2(s)H2(s)的零、极点，的零、极点，绘制制外外环的根的根轨迹迹图，选择合适的合适的K2使外使外环稳定。定。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理类似的似的问题还有开有开环稳定性和定性和闭环稳定性，开定性，开环稳定的充定的充要条件是开要条件是开环极点都位于极点都位于S平面的左半平面。平面的左半平面。开开环稳定定不不意意味味着着闭环稳定定，开开环不不稳定定也也不不意意味味着着闭环不不稳定定，但但是是开开环极极点点确确实对闭环稳定定有有着着重重要要影影响响，因因为开开环零、极点零、极点对根根轨迹迹图有重要影响。有重要影响。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v对于下于下图所描述的系所描述的系统，影响系，影响系统稳定性有三大因素：定性有三大因素：开开环增益、开增益、开环极点、开极点、开环零点。开零点。开环增益的影响上面增益的影响上面已已经讨论，现在在讨论开开环零、极点的影响。零、极点的影响。下面下面图(a)(f)给出了出了对应系系统的根的根轨迹迹图。图(a)、图(b)所所对应系系统的开的开环传递函数分函数分别为：2.开开环零极点零极点对系系统的影响的影响第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 以以图(a)所示系所示系统为参照，在它基参照，在它基础上增加开上增加开环零、极点，零、极点，研究它研究它们对系系统的影响。的影响。当当K0时，图(a)，(b)代表的系代表的系统始始终是是稳定的定的第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 但但图(b)代表的系代表的系统，可以，可以选择到一到一对比比图(a)离虚离虚轴更更远的的闭环极点，极点，这说明明增加合适的位于虚增加合适的位于虚轴左左侧的开的开环零点零点，既可以增加既可以增加稳定裕度又可以提高快速性。定裕度又可以提高快速性。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 图(c)、(d)所所对应的系的系统开开环传递函数分函数分别为：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图(c)增加的是位于虚增加的是位于虚轴右右侧的零点，的零点，显然，然，这时系系统只只有在有在K0.67时才是才是稳定的，定的，这说明增加位于虚明增加位于虚轴右右侧的开的开环零点，一般使零点，一般使稳定性下降。定性下降。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果如果系系统具有位于虚具有位于虚轴右右侧的零点的零点(不管是固有的不管是固有的还是加入是加入的的)，就称之，就称之为非最小相角系非最小相角系统。从从本例可以看出：非最小本例可以看出：非最小相角系相角系统的的动态性能需要性能需要认真真对付。付。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图(d)增加的是位于虚增加的是位于虚轴左左侧的极点，的极点，显然，然，这时系系统只有只有在在K60时才是才是稳定的。与定的。与图(a)相比相比说明：明：给开开环系系统增加增加位于虚位于虚轴左左侧的极点，一般也会使的极点，一般也会使稳定性下降。定性下降。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图(e)是在是在图(d)基基础上上,再增加一个位于虚再增加一个位于虚轴左左侧的的零点，零点，闭环系系统的的稳定性又大大提高。定性又大大提高。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理图(f)是在是在图(a)基基础上增加位于虚上增加位于虚轴右右侧的极点，的极点，这时从从该极点出极点出发的一支根的一支根轨迹全部位于虚迹全部位于虚轴的右的右边，这意味着不管意味着不管K取何取何值，闭环系系统都不可能都不可能稳定，所以增加位于虚定，所以增加位于虚轴右右侧的极点是不可的极点是不可取的。取的。但是如果再增加一个合适的位于虚但是如果再增加一个合适的位于虚轴左左侧的零点，的零点，该系系统会会变成条件成条件稳定。定。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v在在设计控制系控制系统时，为了使系了使系统阶次降低或者次降低或者为了抵消了抵消大的大的惯性性环节，有，有时用用控制器控制器的的零零(极极)点去抵消被控点去抵消被控对象象的极的极(零零)点，点，这在大多数情况下是有利的，但也有例外。在大多数情况下是有利的，但也有例外。图(a)是下列三是下列三阶系系统的根的根轨迹迹：附加附加一个零点一个零点z1=-1去低消系去低消系统的一个的一个稳定定p1=-1极点，极点，这样系系统的的传递函数函数变成：成：3.零、极点相消零、极点相消问题第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 其其根根轨迹如迹如图(b)所示，可所示，可见系系统的的稳定性大大提高了。定性大大提高了。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 现在考在考虑建模建模误差的差的影响，如果开影响，如果开环传递函数参数不准确，函数参数不准确，假假设实际系系统p1=-0.8我我们却按却按p1=-1建建模，模，这样零极点不零极点不能正好抵消，根能正好抵消，根轨迹迹变成成图(c)。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理 现在考在考虑建模建模误差的差的影响，如果开影响，如果开环传递函数参数不准确，函数参数不准确，假假设实际系系统p1=-1.2我我们却按却按p1=-1建建模，模，这样零极点不零极点不能正好抵消，根能正好抵消，根轨迹迹变成成图(d)。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理(c)(d)第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理根根轨迹迹图清楚地表示：尽管存在建模清楚地表示：尽管存在建模误差，附加零点仍然差，附加零点仍然提高了系提高了系统的的稳定性。但是，情况不都是定性。但是，情况不都是这么么乐观，考察，考察下列三下列三阶系系统：第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如果用零点如果用零点z1=1抵消系抵消系统的不的不稳定极点定极点p1=1，系，系统开开环传递函数函数变成：成：根根轨迹迹如如图(e)，零零、极极点点正正好好相相消消，系系统的的稳定定性性大大大大提提高高。考考虑建建模模误差差的的影影响响，假假设实际系系统p1=0.8，不不宜宜用用零、极点相消的零、极点相消的办法抵消系法抵消系统的不的不稳定极点或零点。定极点或零点。(f)(e)第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理如如前前所所述述，闭环系系统的的稳定定性性完完全全取取决决于于闭环极极点点，实际上上时间响响应的的暂态分分量量也也主主要要取取决决于于闭环极极点点。每每一一个个闭环极极点点si对应时间响响应中中的的一一个个因因子子exp(sit)，称称为系系统的的一一个个模模态(Mode)，si在在s平平面面上上的的位位置置决决定定了了它它对应的的暂态分分量量的的运运动形式。形式。4.闭环零极点与零极点与时间响响应第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v系系统的的动态性性能能最最终体体现在在时间响响应上上，影影响响时间响响应的的因因素素有有两两个个：闭环传递函函数数和和输入入函函数数。前前面面已已经分分析析，时间响响应的的暂态分分量量主主要要取取决决于于闭环零零、极极点点；时间响响应的的稳态分量主要取决于分量主要取决于输入函数和系入函数和系统的型的型别。4.闭环零极点与零极点与时间响响应第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v下面下面图中表示了中表示了si分布于分布于s平面上不同位置所平面上不同位置所对应的的暂态分量。分量。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所分布所对应的的暂态分量，分量，规律可以律可以总结为：1)左右分布决定左右分布决定终值。即，。即，si位于虚位于虚轴左左边时暂态分量最分量最终衰衰减到零，减到零，si位于虚位于虚轴右右边时暂态分量一定分量一定发散，散，si正好位于虚正好位于虚轴（除原点）（除原点）时暂态分量分量为等幅振等幅振荡。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所分布所对应的的暂态分量，分量，规律可以律可以总结为：2)虚虚实分布决定振型。就是，分布决定振型。就是，si位于位于实轴上上时暂态分量分量为非非周期运周期运动，si位于虚位于虚轴上上时暂态分量分量为周期运周期运动。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所分布所对应的的暂态分量，分量，规律可以律可以总结为：3)远近分布决定快慢。具体近分布决定快慢。具体讲就是，就是，si位于虚位于虚轴左左边时离虚离虚轴愈愈远过渡渡过程衰减得愈快。所以离虚程衰减得愈快。所以离虚轴最近的最近的闭环极点极点“主宰主宰”系系统响响应的的时间最最长，被称，被称为主主导极点。极点。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理vs平面上平面上si分布所分布所对应的的暂态分量，分量，规律可以律可以总结为：1)左右分布决定左右分布决定终值。即，。即，si位于虚位于虚轴左左边时暂态分量最分量最终衰减到零，衰减到零，si位于虚位于虚轴右右边时暂态分量一定分量一定发散，散，si正好正好位于虚位于虚轴（除原点）（除原点）时暂态分量分量为等幅振等幅振荡。2)虚虚实分布决定振型。就是，分布决定振型。就是，si位于位于实轴上上时暂态分量分量为非非周期运周期运动，si位于虚位于虚轴上上时暂态分量分量为周期运周期运动。3)远近分布决定快慢。具体近分布决定快慢。具体讲就是，就是，si位于虚位于虚轴左左边时离虚离虚轴愈愈远过渡渡过程衰减得愈快。所以离虚程衰减得愈快。所以离虚轴最近的最近的闭环极点极点“主宰主宰”系系统响响应的的时间最最长，被称，被称为主主导极点。极点。第第4章章根轨迹法根轨迹法课程：自动控制原理课程：自动控制原理v设计系系统时合理配置合理配置闭环极点是十分重要的，根据上述极点是十分重要的，根据上述规律，一般先配置主律，一般先配置主导极点，然后配置非主极点，然后配置非主导极点。极点。非非主主导极点与虚极点与虚轴的距离，的距离，应当是主当是主导极点与虚极点与虚轴距离的距离的25倍，倍，这样系系统的的时间响响应就主要取决于主就主要取决于主导极点。极点。主主导极点极点一般安排一般安排为一一对共共轭复数极点，位于虚复数极
