指数函数与对数函数的交点个数问题讲义-高三数学一轮复习.docx
指数函数与对数函数交点个数问题论题:指数函数与对数函数 交点个数问题分及两种情况进行讨论(一):当时,过原点作的切线,设切点为 又 从而当,即,亦即时,P在上,这样就有,是与的公共点.当,即,亦即时,与相离, 与没有公共点.当,即,亦即时,与有两个公共点,同理可知,均是与的公共点.引理:当时,与不可能有不在上的公共点.证明:用反证法.假设与有公共点,当时,由得单增,又由此式结合可知,与矛盾.同理当时亦矛盾.从而假设不真.所以,引理得证.由上可知:当时, 与有两个公共点,当时, 与有唯一公共点,当时, 与没有公共点.(二):当时,作函数,易知,不妨设,则,过原点作的切线,则切线的斜率当,即时,恒成立.从而单增,有唯一的零点.当,即时,不妨设与交于两点, ()则当时, 当时, ,当时, 的单增区间为,单减区间为在处取得极大值,且,在处取得极小值,且,再由零点存在定理可知, 有三个零点,分别在区间,之内.对上述及的结论,可证明如下:设 ()与的交点为 即当时,的函数值小于的函数值,数形结合可知 ()与的交点为从而于是又,又,又当时, 当时, ,当时, 又在区间单减及可知且由上可知:当即时,与有唯一公共点,且此公共点在上,当即时,与有三个公共点,且有两个不在直线上,但关于对称,而第三个公共点在直线上.综合上述,我们可以得到如下结论:当时, 与有两个公共点,且两个公共点均在直线上.当时, 与有唯一公共点, 且该公共点在直线上.当时, 与没有公共点.当时,与有唯一公共点,且此公共点在上,当时,与有三个公共点,且有两个不在直线上,但关于对称,而第三个公共点在直线上.4学科网(北京)股份有限公司