43.勾股定理全章复习与巩固（基础）知识讲解.docx
勾股定理全章复习与巩固（基础）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；1 .理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1 .勾股定理：直角三角形两直角边小的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）2 .勾股定理的应用.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要 应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为6的线段.要点二、勾股定理的逆定理.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.1 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长久 氏C,满足。2+/=02,那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C；（2）验证与2+/是否具有相等关系，若片+/二，则4ABC是以NC为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.2 .勾股数满足不定方程V + y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）, 显然，以X、八Z为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41.如果（以 江c）是勾股数，当t为正整数时，以、初、4为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形.观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1 .较小的直角边为连续奇数；2 .较长的直角边与对应斜边相差1.3 .假设三个数分别为久 权c,且a<h<c,那么存在。2=b + c成立.（例如中存在7? =24 + 25、92 =40+41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形 有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用C1、已知直角三角形的两边长分别为6和8,求第三边的长.【答案与解析】解：设第三边为X.当X为斜边时，由勾股定理得/ =6?+82.所以X =，6?+82 = "36 + 64 = 7155 = 10 .当x为直角边时，由勾股定理，得f+62 =8?.所以 x = 582 62 = J6436=腐=2近.所以这个三角形的第三边为10或2近.【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第 三边为斜边.举一反三：【变式】在AABC中，AB=15, AC=13,高AD=12.求AABC的周长.【答案】.解：在 RtZXABD 和 RtZSACD 中，由勾股定理，得 3Z）2=A52AO? =152 122 =81.BD = Jsl = 9.同理 CD?=A。2a。？ =132 -122 =25.CD = 425=5.当NACB>90。时，BC = BD-CD = 9-5 = 4./，ZXABC 的周长为：AB+BC+CA=15+4 + 13 = 32./当 NACB<90。时，BC=BD+CD = 9 + 5 = 14./ J J ZSABC 的周长为：AB + BC+CA=15+14+13 = 42.B C D Cr综上所述：AABC的周长为32或42.C2、如图所示，ABC 中，ZACB=90° , AC=CB, M 为 AB 上一点.求证：AM2+BM2 =2CM2.【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM BM CM2,自然想到了用勾股定理证明，因此需要 作 CD±AB.【答案与解析】证明：过点C作CDJ_AB于D.; AC=BC, CD±AB,J AD=BD.ZACB = 90° ,； CD=AD=DB. am2+bm2 =(ad-dm)2+(ad+dm)2=AD2 -2AD-DM + DM2 + AD2 +2AD-DM + DM2= 2(AD2 + DM2)= 2(CD2 + DM2)在 RtZXCDM 中，CD? + DM? = CM?,：.AM2 + BM2 =2CM2.【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证.举一反三：【变式】已知，AABC中，AB=AC, D为BC上任一点，求证：AB2 - AD2 = BD-CD.【答案】A解：如图，作 AM_LBC 于 M,VAB=AC, .BM=CM,A贝I在RtZABM中：/AB2=AM2 + BM2/ / ! 在 RtZiADM 中：/ / 1AD2 = AM2 + DM2 b"d Mc由一得：AB2 - AD2 = BM2-DM2 =（BM + DM）（BM DM）（MC+DM）BD=CD - BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用C3、已知如图所示，在aABC中，AB=AC=20, BC = 32, D是BC上的一点，且AD_LAC, 求BD的长.【思路点拨】由于BD所在的aABD不是直角三角形，不易直接求出BD的长，且4ACD尽管 是直角三角形，但AD的长是未知的，因而不能确定CD的长.过点A作AE_LBC于E,这时可 以从Rt/kABE与RtZXADE、RtZADC中，运用勾股定理可求得AE、DE的长，从而求出BD的 长.【答案与解析】解：过点A作AELBC于E.* AB=AC,/A：.BE=EC= - BC=-x32 = 16.2 2在 RtABE 中，AB = 20, BE=16,/. AE2 = AB2-BE2 = 202 -162 = 144 ,B D E C：.AE=12,在 RtADE 中，设 DE=x,则 AD? = 4£2+。£2 =144 + /,AD±AC,AD2 + AC2 = CD2,而 144 + / + 202 =（16 + x）2.解得：x=9. BD=BEDE=16-9 = 7.【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形 的边长时应该联想到勾股定理.举一反三：【变式】如图所示，已知AABC中，ZB = 22. 5° , AB的垂直平分线交BC于D, BD= ，AE_LBC于E,求AE的长.AE_LBC于E,求AE的长.【答案】解：连接AD. DF是线段AB的垂直平分线， AD=BD= 6a/2 ， ：. ZBAD= ZB = 22. 5X V ZADE = ZB + ZBAD = 45° , AE±BC, ZDAE = 45° ， ：. AE=DE由勾股定理得：AE2+DE2=AD：.2人炉=(6后产，J AE = = 6.V2C4、如图所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 Sp邑、S3表示，则不难证明S=S2+S3.(1)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用E、§2、$3表示，那么，、S2> S3之间有什么关系？(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 岳、邑、S3表示，请你确定年、邑、&之间的关系并加以证明.【答案与解析】 解：设RtABC的三边BC、CA、AB的长分别为以b、C,则片+二片.(1) ¥ = S2+ S3 ；(2) S=S2+S3.证明如下:显然，s= - c2, S2= a2, S3=b2,4 一 434所以 S2+S3=Y(a2+b2)= 1c2=S1.【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等.5、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足/+/+。2+50 = 6+ 8b +10c ,判 断 ABC的形状.【答案与解析】解：由/+/+。2+50 = 6。+ 8/7 + 10。，得：片6q + 9 + Z?28b + 16 + c210c + 25 = 0(Q 3)2+S 4)2+(C 5)2=0(a - 3)2 > 0,(Z? - 4)2 > 0,(c - 5)2 > 0。= 3, /? = 4, c = 5. 32+42=52,a? + / = C2 .由勾股定理的逆定理得：AABC是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要 用到.类型三、勾股定理的实际应用C6、如图，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对 的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B处的最短路线长为多少？【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况.【答案与解析】解：如图所示.因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度.在图中，由勾股定理，得4笈=32 +112 =130.在图中，由勾股定理，得人笈=6?+82 =100.因为130>100,所以图中的AB的长度最短，为10cm,即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为10 cm .【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解.举一反三：.【高清课堂勾股定理全章复习例10】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 .（兀取3）【答案】25； 提示：蚂蚁爬的最短路线长520X525.
