2014年六年级数学思维训练：不定方程.doc

第 1 页（共 26 页）2014 年六年级数学思维训练：不定方程年六年级数学思维训练：不定方程一、兴趣篇一、兴趣篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？2有 150 个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装 12 个，小盒装 7 个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了 15 天，它们并不是，每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫 61 声问：波斯猫至少叫了多少声？4庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共 700 多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天吃 4 个馒头 请问：庙里有多少个和尚？5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参加 男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216棵树那么其中有多少名男职工？6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书已知老师和学生共 14人，每个老师能搬 12 本，每个男生能搬 8 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9 元小明花了 156 元买回了总面值为 8.3 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8小明在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是封9有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元？10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 7 元，鸡肉汉堡每个 9 元，牛肉汉堡每个 14 元，小明去快餐店买汉堡他付款 100 元，找回 8 元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？二、拓展篇二、拓展篇11甲级铅笔 7 角一支，乙级铅笔 3 角一支，张明用 5 元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？12采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？13在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000 人，每个航空兵师有 8000 人在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有 27.1 万人如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？14甲、乙两个小队的同学去植树甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？第 2 页（共 26 页）15 将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？16某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对 1 题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 40 分，答对 1 题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分，某考生两种判分方法均得 71 分，请问：这次比赛共考了多少道题？17我国古代数学家张丘建在算经 一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值 5 文钱，每只母鸡价值 3 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱要想用 100 文钱恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？18小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔 4 支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元小李总共花了 97 元，买了 90 支笔请问：三种笔分别买了多少盒？19在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？20阿奇到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4元一包，最后他共花了 360 元，且每种糖都买了请问：阿奇共买了多少包奶糖？21小悦、冬冬去超市买水果小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5元，冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元结账的时候碰到老师，老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，那么老师应该花了多少钱？22红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 23 元小强打算用 109 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把 109 元恰好用完求红笔的单价三、超越篇三、超越篇23求不定方程 35x+64y=1625 的所有自然数解24一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1355 斤其中苹果每筐 60 斤，每斤定价 1.5 元；梨每筐 55 斤，每斤定价 1.5 元；桃子每筐 45 斤，每斤定价 1.8 元批发市场是以定价的 70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得 638.1 元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？25雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？26采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价 590 元的 A 种商品和若干个单价 670元的 B 种商品，其中 B 种商品多于 A 种商品，最后找回了几张 100 元钞票和不到 10 张 10元钞票如果把 A、B 两种商品的数量调换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？第 3 页（共 26 页）27有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195 元；若购买甲 2 件、乙 l 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5件共需 375 元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？28国庆节，公司发给唐师傅一张 1000 元的礼券，但只允许购买 A、B、C、D、E 五种商品，并且必须正好把礼券用完已知这五种商品每盒的价格和重量如下表商品ABCDE单价（元）70110190290310重量（千克）1.521103如果唐师傅最多只能带走 20 千克商品，且一定要购买 D 商品，共有多少种不同的买法？29现有一架天平和很多个 13 克和 17 克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）30现有 1.7 升和 4 升的两个空桶和一个大桶里的 100 升汽油，用这两个空桶要倒出 l 升汽油，至少需要倒多少次？第 4 页（共 26 页）2014 年六年级数学思维训练：不定方程年六年级数学思维训练：不定方程参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、兴趣篇一、兴趣篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装 8 千克油，小油桶能装 5 千克油，44 千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？【分析】设大桶有 x 个，小桶有 y 个，根据题意列出方程：8x+5y=44，根据不定方程的求解方法，解出未知数的值即可【解答】解：设大桶有 x 个，小桶有 y 个，根据题意得：8x+5y=44，变形为：y=，y 为自然数，则 448x5，即 y4.875，经试算，当 y=4，x=3 时符合题意答：大油桶有 3 个，小油桶有 4 个2有 150 个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装 12 个，小盒装 7 个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【分析】设大盒 x 个，小盒 y 个，则 12x+7y=150，由此求出这个方程的整数解即可解答问题【解答】解：设大盒 x 个，小盒 y 个，根据题意可得方程：12x+7y=150，方程可以变形为：x=，因为 x、y 都是整数，所以 1507y 必须是 12 的倍数，所以，当 x=9，y=6，或 y=18，x=2 是这个方程的整数解，答：大盒 9 个，小盒 6 个或者大盒 2 个，小盒 18 个才能恰好把这些球装完3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了 15 天，它们并不是，每天早晚都见面，在这 15 天内它们共叫 61 声问：波斯猫至少叫了多少声？【分析】设一共有 x 个早上，y 个晚上，则由题意可得：（1+2）x+（2+3）y=61，然后整理，进行分析、进而得出结论【解答】解：设一共有 x 个早上，y 个晚上，则：（1+2）x+（2+3）y=61 3x+5y=615y 的个位数只能是 0、5，所以 3x 的个位数只能是 1、6根据题意可得：y=5，x=12，那么波斯猫叫：35+112=27（声）；y=8，x=7，那么波斯猫叫：38+17=31（声）；因为 2731，所以波斯猫至少叫 27 声；答：波斯猫至少叫 27 声第 5 页（共 26 页）4 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共 700 多人，已知 7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，19个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个和尚每天吃 4 个馒头 请问：庙里有多少个和尚？【分析】7 个大和尚每天共吃 41 个馒头，平均每个大和尚吃个馒头；比 4 个多4=个；19 个小和尚每天共吃 60 个馒头，平均每个小和尚吃个馒头；比 4 个少 4=个；大和尚的人数=小和尚的人数，由此求出大和尚的人数与小和尚的人数比，再根据共有 700 多这一范围，求出总人数【解答】解：4174，=4，=（个）；46019，=4，=（个）；大和尚的人数=小和尚的人数，那么：大和尚人数：小和尚的人数=：=（167）：（1319）=112：247；如果按照大和尚人数是 112，小和尚人数是 247，那么总人数就是 112+247=359（个）；359700，所以总人数不是 359 人，应是：3592=718（个）；答：庙里有 718 个和尚5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有 的职工各带一个孩子参加 男职工每人种 13 棵树，女职工每人种 10 棵树，每个孩子种 6 棵树，他们一共种了 216棵树那么其中有多少名男职工？【分析】此题用算术法很难解答，可以设出未知数；设有男职工 x 人，女职工 y 人，则孩子有人，根据共种了 216 棵树列方程解答即可【解答】解：设有男职工 x 人，女职工 y 人，则孩子有人，根据题意可得方程：13x+10y+6=216，方程可以整理为：15x+12y=216，即 5x+4y=72，所以 5x=4（y+18），由上式可以看出 5x 是 4 的倍数，5 与 4 的最大公约数是 1，则 x 是 4 的倍数第 6 页（共 26 页）当 x=4 时，y=13，不是整数，应舍去；当 x=8 时，y=8，不是整数，应舍去；当 x=12 时，y=3，=5，即男职工 12 人，女职工 3 人，小孩 5 人当 x12 时，y 无解可见，男职工有 12 人答：男职工有 12 人6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100 本教科书已知老师和学生共 14人，每个老师能搬 12 本，每个男生能搬 8 本，每个女生能搬 5 本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？【分析】设老师 x 人，男生 y 人，表示出女生人数：（14xy）人，根据题意列出不定方程，再根据 x、y 应为自然数，且 x+y14，据此解答即可【解答】解：设老师 x 人，男生 y 人，则女生（14xy）人，根据题意得：12x+8y+5（14xy）=100 化简得：7x+3y=30本题中 x、y 应为自然数，且 x+y14；经试算：x=3，y=3 时符合题意，1433=8，即女生有 8 人答：搬书的老师有 3 人、男生有 3 人、女生有 8 人7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20 分、40 分和 50 分，其中面值 20 分的邮票售价 5 元，面值 40 分的邮票售价 8 元，面值 50 分的邮票售价 9 元小明花了 156 元买回了总面值为 8.3 元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？【分析】设 20 分、40 分和 50 分得邮票分别买了 x、y、z 张，根据题意列出方程，根据 x、y、z 的实际意义，求出 x、y、z 的值即可【解答】解：设 20 分、40 分和 50 分得邮票分别买了 x、y、z 张，根据题意得：、消去 y 得：xz=10；得 x=z10，又 x 为自然数，则 z100，即 z10；、消去 x 得：8y+14z=206；得：z=，又 z 为自然数，则 2068y14，即 y3；经试算：当 x=3，y=3，z=13 时符合题意答：20 分、40 分和 50 分得邮票分别买了 3 张、3 张、13 张8小明在邮局寄了 3 种信，平信每封 8 分，航空信每封 1 角，挂号信每封 2 角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是9封【分析】设平信 x 封，航空信 y 封，挂号信 z 封，一元二角二分钱=122 分，价格分别为 8分，10 分，20 分，所以能够保证总数尾数为 2 分的只能是 8 分，因为 84=32，89=72；另价格最高的越多，寄信就越少，所以寄 4 封 8 分信件时，20 分最多 4 封，所以是：4 封 8 分、4 封 20 分、1 封 10 分，共 9 封第 7 页（共 26 页）【解答】解：设平信 x 封，航空信 y 封，挂号信 z 封，一元二角二分钱=122 分，根据题意可得方程：8x+10y+20z=122，因为能够保证总数尾数为 2 分的只能是 8 分，因为 84=32，89=72；另价格最高的越多，寄信就越少，所以当 x=4 时，10y+20z=90，所以 z 最大为 4，则 y=1，4+4+1=9（封），答：三种信的总和最少是 9 封故答案为：99有纸币 60 张，其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是 100 元？【分析】设其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有 a、b、c、d 张，假设总面值能恰好是 100 元，列出方程根据 a、b、c、d 的实际意义，看是否能解出 a、b、c、d 的值，据此判断即可【解答】解：设其中 1 分、1 角、1 元和 10 元各有 a、b、c、d 张，且 a、b、c、d 均为整数假设总面值能恰好是 100 元=10000 分，则必须满足：a+10b+100c+1000d=10000（1）且 a+b+c+d=60 （2）（1）（2）得：9b+99c+999d=9940；即（b+11c+111d）=，显然等式左边为整数，而右边是小数而非整数，等式不成立可见前面假设不成立，所以这些纸币的总面值是不能够恰好是 100 元10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个 7 元，鸡肉汉堡每个 9 元，牛肉汉堡每个 14 元，小明去快餐店买汉堡他付款 100 元，找回 8 元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？【分析】先求出花了的钱数，再设买鱼肉汉堡 x 个，鸡肉汉堡 y 个，牛肉汉堡 z 个，再根据单价数量=总价，分别求出买三种汉堡的钱数，再根据三种汉堡的总钱数，列出不定方程解答【解答】解：设买鱼肉汉堡 x 个，鸡肉汉堡 y 个，牛肉汉堡 z 个7x+9y+14z=10087x+9y+14z=92所以 9y=92（7x+14z）所以 y=92（7x+14z）9因为 y 为整数，所以 92（7x+14z）必须为 9 的倍数，又 92（7x+14z）=90（7x+14z）2则 7x+14z2 的值必须是 9 的倍数，且小于 92所以可以设 7x+14z2=9k则 7x+14z=9k+2 （0k10）9k+2 这些数可以表示如下：2；11；20；29；38；47；56；65；74；83；92又 7x+14z=7（2x+z）即 7x+14z 是 7 的倍数，在上面的数中只有 56 符合条件第 8 页（共 26 页）所以 7x+14z=56所以 y=（9256）9=369=4（个）答：小明买了 4 个鸡肉汉堡二、拓展篇二、拓展篇11甲级铅笔 7 角一支，乙级铅笔 3 角一支，张明用 5 元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？【分析】根据题干，设买甲级铅笔 x 支，乙级铅笔 y 只，则根据等量关系甲级铅笔价格数量+乙级铅笔价格数量=50 角（5 元），据此可得方程：7x+3y=50，求出 x、y 的正整数解，再相加即可【解答】解：5 元=50 角，设买甲级铅笔 x 支，乙级铅笔 y 只，根据题意可得方程：7x+3y=50当 x=1 时，y 没有整数解当 x=2 时，y=12，2+12=14（支）当 x=3 时，y 没有整数解；当 x=4 时，y 没有整数解；当 x=5 时，y=5，5+5=10（支）当 x=6 时，y 没有整数解；当 x=7 时，y 没有整数解；答：张明共买 14 支或 10 支铅笔12采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有 23 个鸡蛋，每个小盒里有 16 个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买 500 个鸡蛋，他一共要买多少盒？【分析】设买大盒的鸡蛋 x 盒，小盒的鸡蛋 y 盒，则 23x+16y=500，再根据 x 和 y 必须都是整数，解出不定方程即可【解答】解：设买大盒的鸡蛋 x 盒，小盒的鸡蛋 y 盒，则23x+16y=500所以 y=即 x，y 必须是偶数，所以 x=12，y=14；12+14=26（盒）答：他一共要买 26 盒13在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有 9000 人，每个航空兵师有 8000 人在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有 27.1 万人如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？【分析】设军参与战斗的有 x 个步兵师，y 个航空兵师，再根据“从两个集团军抽调部分师参与战斗，一共有 27.1 万人”列出方程解答【解答】解：设军参与战斗的有 x 个步兵师，y 个航空兵师，9000 x+8000y=2710009x+8y=271因为 8y 是偶数，所以 9x 必须是奇数第 9 页（共 26 页）所以 x 必须是奇数，而 x=所以 x=23，此时 y=8；答：苏军参与战斗的有 23 个步兵师，9 个航空兵师14甲、乙两个小队的同学去植树甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵；乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？【分析】根据乙小队有一人植树 8 棵，其余每人都植树 10 棵，得出：10 的倍数加 8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是 8，再根据甲小队有一人植树 12 棵，其余每人都植树 13 棵，得出 13 的倍数末尾 3 的倍数加上 12 的末尾 2 必须是 8，所以 3 的倍数必须是 6，也就是只有 2，12，22，32，42，和 13 相乘末尾是 6，2213+12=298，3213+12=428，4213+12=558，因为数棵数是四百多棵，所以树有 428 棵，从而可以解决问题【解答】解：因为 10 的倍数加 8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是 8，13 的倍数末尾 3 的倍数加上 12 的末尾 2 必须是 8，所以 3 的倍数必须是 6，也就是只有 2，12，22，32，42，和 13 相乘末尾是 6，2213+12=2983213+12=4284213+12=558因为数棵数是四百多棵，所以树有 428 棵，总人数有：（42812）13+1+（4288）10+1=33+42+1=76（人）答：甲乙两小队一共有 76 人15 将一根长为 380 厘米的合金铝管截成若干根长为 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？【分析】此题可以用列表法进行计算并比较，从一种的第一根开始截起，另一种会得到相应的多少根，剩余多少厘米，如此类推，直到不能同时截取为止，从而得解【解答】解：如下表所示，36 厘米 1 根2 根3 根4 根5 根6 根7 根8 根9 根24 厘米 14 根12 根11 根9 根8 根6 根5 根3 根2 根剩余 cm 8208208208208所以长度为 36 厘米的铁丝最少截 1 根，最多截 9 根，长度为 24 厘米的铁丝最少截 1 根，最多截 14 根，剩余部分最少是 8 厘米；答：剩余部分的管子最少是 8 厘米16某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对 1 题给 5 分，不答给 2 分，答错不给分；另一种是先给 40 分，答对 1 题给 3 分，不答不给分，答错扣 1 分，某考生两种判分方法均得 71 分，请问：这次比赛共考了多少道题？第 10 页（共 26 页）【分析】此题可以设出未知数，列出方程进行推理可设答对 a 题，未答 b 题，答错 c 题，可得：5a+2b=71，40+3ac=71，由推出 a 的取值范围，并确定处 a 的值，从而推出 b、c 的值，解决问题【解答】解：设答对 a 题，未答 b 题，答错 c 题，可得：5a+2b=71，40+3ac=71，由知，a 是奇数，且 a14；由知 a12，所以 a=13，由此求得 b=3，c=8，故共有：13+3+8=24（题）答：这次比赛共考了 24 道17我国古代数学家张丘建在算经 一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值 5 文钱，每只母鸡价值 3 文钱，每 3 只小鸡价值 1 文钱要想用 100 文钱恰好买 100 只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？【分析】设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只，小鸡有 z 只，根据条件建立三元一次不定方程组，求出其解就可以了【解答】解：设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只，小鸡有 z 只，根据题意，得，整理得：7x+4y=100 x=；因为 x0，y0，且都是自然数，所以0，所以 y25，1004y 是 7 的倍数，且三种鸡都有买，所以 1004y=7，14，21，所以共有 3 种情况：公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只；公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只；公鸡 12只，母鸡 4 只，小鸡 84 只18小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔 4 支一盒，每盒 5 元；圆珠笔 6 支一盒，每盒 6 元；铅笔 10 支一盒，每盒 7 元小李总共花了 97 元，买了 90 支笔请问：三种笔分别买了多少盒？【分析】分别设出钢笔买了 x 盒，圆珠笔 y 盒，铅笔 z 盒，再根据总共花了 97 元，买了 90支笔，列出方程解答【解答】解：设钢笔买了 x 盒，圆珠笔 y 盒，铅笔 z 盒所以：5X+6Y+7Z=97所以：4X+6Y+10Z=90因为 XYZ 取整数第 11 页（共 26 页）则 x=3，y=18，z=0 或x=12，y=3，z=2 时成立若三种笔都要买的话，就只能是 x=12，y=3，z=2；答：钢笔买了 12 盒，圆珠笔 3 盒，钢笔 2 盒19在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应 17 分、11 分和 4 分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中 100 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中 120 分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？【分析】要想获奖至少需要投中的次数必须尽量投中 17 分和 11 分，然后利用整数的裂项与拆分，把 100 和 120 分两种情况讨论解答即可【解答】解：（1）10017=515，所以，100=517+11+4，可得：投中 17 分的 5 次，投中 11 分的 1 次，投中 4 分的 1 次；要想获奖至少需要投中：5+1+1=7（次）；所以，100=417+112+42+2 没有能组成 2 分的区域，所以，100=317+113+44，可得：投中 17 分的 3 次，投中 11 分的 3 次，投中 4 分的 4 次，要想获奖至少需要投中：3+4+3=10（次）；继续拆分：100=172+116，可得：投中 17 分的 2 次，投中 11 分的 6 次，要想获奖至少需要投中：6+2=8（次）；综合上述，至少需要 7 次答：要想获奖至少需要投中 7 个飞镖（2）12017=71，所以，120=717+1，没有 1 分的区域，所以，120=617+17+1=617+18，没有能组成 18 分的区域，所以，120=517+172+1=517+35=517+46+11，可得：投中 17 分的 5 次，投中 11 分的 1 次，投中 4 分的 6 次，要想获奖至少需要投中：5+1+6=12（次）；继续拆分：120=174+114+42，可得：投中 17 分的 4 次，投中 11 分的 4 次，投中 4 分的 2 次，要想获奖至少需要投中：4+4+2=10（次）；12011=1010，所以，120=1011+10，没有能组成 10 分的区域，120=1011+10=911+11+10=911+21=911+17+4；可得：投中 11 分的 9 次，投中 17 分的 1 次，投中 4 分的 1 次，第 12 页（共 26 页）要想获奖至少需要投中：9+1+1=11（次）；答：要想获奖至少需要投中 10 个飞镖20阿奇到商店买糖，巧克力糖 13 元一包，奶糖 17 元一包，水果糖 7.8 元一包，酥糖 10.4元一包，最后他共花了 360 元，且每种糖都买了请问：阿奇共买了多少包奶糖？【分析】设购买巧克力糖 a 包，奶糖 b 包，水果糖 c 包，酥糖 d 包，则 13a+17b+7.8c+10.4d=360，其中 a、b、c、d 均为自然数，且 c、d 为 5 的倍数；设 c=5m，d=5n，则13a+17b+39m+52n=360，即 13（a+b+3m+4n）+4b=360，然后根据等式，分析求出各种糖的数量即可【解答】解：设购买巧克力糖 a 包，奶糖 b 包，水果糖 c 包，酥糖 d 包，则 13a+17b+7.8c+10.4d=360，其中 a、b、c、d 均为自然数，且 c、d 为 5 的倍数；设 c=5m，d=5n，则 13a+17b+39m+52n=360，即 13（a+b+3m+4n）+4b=360，所以 a+b+3m+4n=24，4b=48，解得 a=1，b=12，m=1，n=2，即 a=1，b=12，c=5，d=10，所以巧克力糖 1 包，奶糖 12 包，水果糖 5 包，酥糖 10 包答：阿奇共买了 12 包奶糖21小悦、冬冬去超市买水果小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5元，冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元结账的时候碰到老师，老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，那么老师应该花了多少钱？【分析】根据小悦买了 2 千克桔子、3 千克苹果和 4 千克梨，共花了 28.5 元，可得小悦买 27千克桔子、37 千克苹果和 47 千克梨，共花了 28.57 元；然后根据冬冬买了 3 千克桔子、5 千克苹果和 7 千克梨，共花了 47.7 元，可得冬买 34 千克桔子、54 千克苹果和 74 千克梨，一共花了 47.74 元；可得买 2 千克桔子和 1 千克苹果需要花的钱数，进而求出老师买了 6 千克桔子和 3 千克苹果，花了多少钱即可【解答】解：根据分析，可得小悦买 14 千克桔子、21 千克苹果和 28 千克梨，共花了 28.57 元，冬冬买 12 千克桔子、20 千克苹果和 28 千克梨，共花了 47.74 元，买 2 千克桔子和 1 千克苹果需要的钱数：28.5747.74=199.5190.8=8.7（元）老师应该花的钱数：8.7（62）=26.1（元）答：老师应该花了 26.1 元第 13 页（共 26 页）22红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小明买红笔、蓝笔各一支，共用了 23 元小强打算用 109 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把 109 元恰好用完求红笔的单价【分析】因为两种笔的单价都是整数元，而23=1+22=2+21=3+20=4+19=5+18=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+12，一共 11 种组合，其中 1 是 109 的因数，只买一种笔就可以把钱花完，不符合题意；244+21=323+202=413+193=511+183=64+175=711+162=88+153=99+142=107+133，故含有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 的也不符合题意；只有 11、12 的组合不可能等于 109，因为红笔比蓝笔贵，故红笔的单价是 12 元【解答】解：因为两种笔的单价都是整数元，而 23=1+22=2+21=3+20=4+19=5+18=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+12，一共 11 种组合，其中 1 是 109 的因数，只买一种笔就可以把钱花完，不符合题意；因为244+21=323+202=413+193=511+183=64+175=711+162=88+153=99+142=107+133，故含有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 的也不符合题意；只有 11、12 的组合不可能等于 109，因为红笔比蓝笔贵，故红笔的单价是 12 元答：红笔的单价是 12 元三、超越篇三、超越篇23求不定方程 35x+64y=1625 的所有自然数解【分析】求不定方程的所有自然数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有正整数值，再求出另一个未知数的值即可【解答】解：不定方程 35x+64y=1625 变形为：x=；求不定方程的所有自然数解，即 x、y 都是自然数，则 162564y35，得 y24.8；162564y 个位数必须是 0 或 5 才有可能被 35 整除，所以 64y 的个位数必须是 0 或 5，即 y的个位数必须是 0 或 5；所以 y 有可能是 20，15，10，5经验证，y 只有等于 15 时方程才成立，此时 x=19答：不定方程 35x+64y=1625 的自然数解为：24一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共 1355 斤其中苹果每筐 60 斤，每斤定价 1.5 元；梨每筐 55 斤，每斤定价 1.5 元；桃子每筐 45 斤，每斤定价 1.8 元批发市场是以定价的 70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得 638.1 元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？【分析】设苹果 X 筐，梨 y 筐，桃子 z 筐，则 60 x+55y+45z=1355，（10.7）x（1.560 x+1.555y+1.845z）=638.1，解方程组即可【解答】解：设苹果 X 筐，梨 y 筐，桃子 z 筐60 x+55y+45z=1355 （1）（170%）（1.560 x+1.555y+1.845z）=638.1 （2）第 14 页（共 26 页）（2）整理得：90 x+82.5y+81z=2127 （3）（3）4（1）6 得：54z=378 z=7代入（1）得：60 x+55y=1040因为 x、y 是正整数，可求得 x=10，y=8；所以，批发市场运进苹果 10 筐，梨 8 筐，桃子 7 筐；答：批发市场运进苹果 10 筐，梨 8 筐，桃子 7 筐25雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的 2 倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐 1 人，三人桌每桌都只坐 2 人，四人桌每桌都只坐 3 人，且恰好平均每 11 人占用 17 个座位请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？【分析】设两人桌有 2x 张，三人桌有 y 张，四人桌有 x 张，求出总人数：2x+2y+3x+1，以及总座位：4x+3y+4x，根据人数和座位的关系，列出方程，可得 y+17=3x；然后根据因为雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，所以 502x+y+x60，联立 y+17=3x，求出图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张即可【解答】解：设两人桌有 2x 张，三人桌有 y 张，四人桌有 x 张，总人数：2x+2y+3x+1，总座位：4x+3y+4x，（2x+2y+3x+1）（4x+3y+4x）=1117，（5x+2y+1）（8x+3y）=1117，85x+34y+17=88x+33y，y+17=3x，因为雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，所以 502x+y+x60，即 503x+y60，50y+17+y60，332y43，16.5y21.5，16y22，若 y=17，则 x=；若 y=18，则 x=；若 y=19，则 x=12；若 y=20，则 x=；若 y=21，则 x=；因为 x 取整数成立，所以 x=12，y=19即两人桌 24 张、三人桌 19 张、四人桌 12 张答：图书馆两人桌 24 张、三人桌 19 张、四人桌 12 张26采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价 590 元的 A 种商品和若干个单价 670元的 B 种商品，其中 B 种商品多于 A 种商品，最后找回了几张 100 元钞票和不到 10 张 10元钞票如果把 A、B 两种商品的数量调换，找回的 100 元和 10 元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？第 15 页（共 26 页）【分析】设买 A 种物品 a 个，B 种物品 b 个，找回 100 元的 m 张，10 元的 n 张，根据已知条件列出等式，再根据等式讨论它们的取值情况【解答】解：设买 A 种物品 a 个，B 种物品 b 个，找回 100 元的 m 张，10 元的 n 张，则有：590a+670b=10000100m10n670a+590b=1000010m100n第一个算式为，第二个算式为，其中 ba，n10得 8（ba）=9（nm）由 ba，n10 知 mn10，因此，nm=8，从而 ba=9由此推知 n=9，m=1，b=a+9代入式，解得 a=3B=12答：购 A 物 3 个，B 物 12 个27有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲 1 件、乙 5 件、丙 1 件、丁 3 件共需 195 元；若购买甲 2 件、乙 l 件、丙 4 件、丁 2 件共需 183 元；若购买甲 2 件、乙 6 件、丙 6 件、丁 5件共需 375 元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？【分析】设购买甲、乙、丙、丁各一件分别需要 a，b，c，d 元，列出方程组，运用消元法，再运用代入法求解【解答】解：设购买甲、乙、丙、丁各一件分别需要 a，