15.实数全章复习与巩固（基础）知识讲解.docx

实数全章复习与巩固（基础）责编：康红梅【学习目标】1 .了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2 .了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些 数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3 . 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一 一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4 .能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318实数复习，知识要点】 要点一：平方根和立方根类型 项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示± 4aya性质个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论(4a)2 = a(a > 0)a(a > 0)7= a =4-aa < 0)(V)3 = a= a a = -a要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1 .实数的分类按定义分：实数有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分:正数正有理数正无理数实数负数负数负有理数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其 中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.（2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如、污，啦等;有特殊意义的数，如兀；有特定结构的数，如0. 1010010001（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形 式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2 .实数与数轴上的点对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应.3 .实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数。的绝对值是非负数，即|。|20；（2）任何一个实数。的平方是非负数，即/20； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即近20（6Z>0）.非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于3则每个非负数都等于0.4 .实数的运算：数的相反数是一；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反 数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、 开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5 .实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2.正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题C1、下列命题：负数没有立方根；一个实数的算术平方根一定是正数；一个正数 或负数的立方根与这个数同号；如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1 或0；如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ,其中错误的有()A. 2个B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】B；【解析】负数有立方根；0的算术平方根是0;立方根是本身的数有3 ±1.【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.举一反三：【变式】下列运算正确的是()A. " = ±2 B. V2 + V3 =V5 C. O = -2 D. |2| 二 2【答案】C；2、若 J1CBQLTQ1,则土 .0201 =若1036207 16 367=154,则4赤三【答案】±1.01； 7. 16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201,它的平方根的小数点向左移动1位， 变成1. 01,注意符号；0. 3670的小数点向右移动3位变成367,它的立方根的小 数点向右移动1位，变成7. 16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的 小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合：-1、V3 > 71 > -3.14、V9 > V6 V2 >' 0.7.(1)有理数集合;(2)无理数集合；(3)正实数集合；(4)负实数集合.【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】(1)有理数集合 1、-3. 14. M、0.7 ；(2)无理数集合声、心V6-V2.-=；（3）正实数集合逐、n、何、46-42. 0.7 ）；（4）负实数集合 1、-3. 14.-亨.【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无 理数形式.举一反三：【变式】（2015绥化）在实数0、ri、21 后、中，无理数的个数有（）7A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】B；C4、计算（1） V216+V1000 +（-|）2 （2）楞1+j（l ,（3）杆+卜-冷1）【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.【答案与解析】解：（1） V216+V1000 +J（-）2 =6 + 10 + - = 16- V 333【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方 法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：.【变式】计算 -1 -V-0.008 -V0.000216V 27（2）（ayx+V¥x（；）2737【答案】解： 3 -l-V-0.008 -V0.000216V27-（-0.2）-0.0629-150（2） （-2）3x7g<+V（Z4）?x（1）2-7（Z3）?= -8x4 + （-4）x-3= 3213 = 36.5、（2015资阳）已矢口： （a+6） 2+7b2 - 2b - 3=0,贝U 2b2 - 4b - a 的值为.【答案】12.【解析】解：:（a+6）之+丘2 - 2b - 3=。，a+6=0, b2 - 2b - 3=0,解得，a=-6, b2 - 2b=3,可得 2b2 - 4b=6,则 2b2-4b-a=6- （ - 6） =12,故答案为：12.【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次 方、二次根式（算术平方根）.当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0.举一反三：【变式1】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 7? + I a b I =.a 0 b【答案】解:9： a <0<b,: a b:+ I a - b I = - ci （ct b） = b 2a .【高清课堂：389318实数复习，例5】1 9【变式2实数在数轴上的位置如图所示，则，-凡工/的大小关系是:a>-1a0【答案】一< << 4 ；a类型三、实数综合应用Ce、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为12.247 （米）.由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247 + 6）米，所以扩建后鱼池的面积为18.2472 333.0 （平方米）.答：扩建后的鱼池的面积约为333.0 （平方米）.【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米, 由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求.举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是486m3,池深1.5加，求这个水池的底边长.【答案】解：设水池的底边长为X,由题意得x2xl.5 = 486%2 = 324x = 18答：这个水池的底边长为18机.