31.整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高）知识讲解.docx
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高）撰稿：康红梅 责编：吴婷婷【学习目标】.掌握正整数累的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单 项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；1 .会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行 乘法运算；.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法 公式简化运算；2 .理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法 和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一 般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习知识要点】要点一、哥的运算1 .同底数幕的乘法：*，=（根，为正整数）；同底数幕相乘，底数不变，指数相加.2 .幕的乘方：（行二/ （m, 为正整数）；幕的乘方，底数不变，指数相乘.3 .积的乘方：（就了 二，/ （为正整数）；积的乘方，等于各因数乘方的积.4,同底数累的除法：a# +£ =（a?。, m, 为正整数，并且加）.同底数幕相除，底数不变，指数相减.5 .零指数塞：/ = 1（ W 0）.即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地 双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.1 .单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即ma + b + c）二根 +%仍+4c都是单项式）.2 .多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（ +人）（机+ ）= 加+几+勿篦+加.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“ + ”“一”号是性质 符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“ + ”连结，最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：3 .单项式相除把系数、相同字母的累分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同 它的指数一起作为商的一个因式.4 多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：（am + bm + cm） + m = am + m + bm + z + cm + m = a + b + c要点三、乘法公式1 .平方差公式：（a + b）（a-b） = a2 -b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，。，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项” 的平方减去“相反项”的平方.2 .完全平方公式：（ + 与2=/+2出? + 2； a_by =a2-2ab + b2两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分 解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，添、拆项法 等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方, 四项以上想分组, 几种方法反复试, 因式分解要彻底,两项平方或立方, 四项以上想分组, 几种方法反复试, 因式分解要彻底,三项完全或十字; 分组分得要合适; 最后须是连乘式; 一次一次又一次.【典型例题】类型一、哥的运算1、已知炉J5,求的值.5【思路点拨】由于已知J，"的值，所以逆用幕的乘方把f机变为（2）3,再代入计算.【答案与解析】解：V x2w = 5 ,!九6 一5 = J_（%2，）3 _5 = 1x53 5 = 20 .【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.举一反三：.【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习例1】【变式】（1）已知。=224, b = 9 c = 529比较的大小.（2）比较33°,92°,27i°大小。【答案】解：（1） b<a<c； （2） 330 = 2710 <920提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.类型二、整式的乘除法运算【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习例2】CL、要使（6%。）（2%+1）的结果中不含的一次项，则。等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D；【解析】先进行化简，得：12/+（6-2公工-以，要使结果不含x的一次项，则x的一次项系数为0,即：6 2=0.所以 =3.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.举一反三：.【变式】若（X + 2）的乘积中不含X的一次项，则加等于【答案】；3类型三、乘法公式3、计算：(1) a-b+c-da-b-c+d)；(2x-3y-l)(-2%-3y+5).【思路点拨】(1)中可以将两因式变成a8与cd的和差,(2)中可将两因式变成2 3y与2工一3的和差.【答案与解析】解：(1)原式( Z?) + (c 6?)(6Z b) (c d) 二 (-Z?) (c d)2- 2ab + c + 2cd d2.(2)原式=(2 3y) + (2x - 3) (2 -3y)-(2x- 3)=(2-3y-(2%-3= 9y2-4x2-ny + 12x-5.【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式.(2)当两个因式 中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果.举一反三：【变式】计算：3(22+1)(24+1)(28+1) + 1.【答案】解:3(22 + DQ4 +1)(28 +1) + 1 = (22-1)(22 +1)(24 +1)(28 + 1) + 1=(24-1)(24+1)(28+1) + 1=(28 1)(28 +1) + 1 = 2,6-1 + 1 = 2,6.C4、已知2 + y + z22x + 4y 6z + 14 = 0,求代数式(犬y z)2°i2 的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,y,z.【答案与解析】解：x2 + y2 + z2 -2x + 4y-6z+ 14 = 0(x-l)2+(y + 2)2+(z-3)2=0所以x = l, y = -2, z = 3所以(X_y_Z)2(”2= ()2012 =0.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能 得出正确答案.举一反三：【变式】配方。2 +2 +2 +1 =，求 +.【答案】解：原式=a2b2 -2ab + + a2 -2ab + b1 =(6zZ?-l)2-q所以。= Z?, ab = l,解得a = = ±l所以q + Z? = ±2.C5、求证：无论Hy为何有理数，多项式f + y22% + 6y + 16的值恒为正数.【答案与解析】解：原式=(x l)2+(y + 3+6>0所以多项式的值恒为正数.【总结升华】通过配方，将原式变成非负数十正数的形式，这样可以判断多项式的正负. 举一反三：【变式】证明：不论。，6为何值，多项式/3。匕一5的值一定小于0.4【答案】.a2 b29 7证明：cT b 3ab 54a2h2)0=-(ab +1) + (c/ + /r + 2ab) + 44/db ” /, 2.=-(F1) -( + /?) -4 (y +1)2 >0, (a + b)2 >0.,.-(y + l)20, -(a + b)2 <0，原式一定小于0.类型四、因式分解6、分解因式：(1)(12_2)2一(%2_2)_2(2)(厂 + 4x) 厂4x- 20(3) 4/一4ab + Z?2 6a + 3b 4【答案与解析】解： 原式= (/2 2乂%22 + i) =(x+2)(x2)(x+l)(x1)(2)原式=(x?+4x) - (x? + 4x) - 20 =(尤? + 4x-5)(x? + 4x + 4)二 (x + 5)(x-1)(x + 2)2(3)原式=(2ab)23(2一与一4 =(2q 人一4)(2一b + 1) 【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.
