离散型随机变量及分布函数.ppt
二、随机变量的概念二、随机变量的概念一、随机变量的引入一、随机变量的引入1.随机变量第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数；十月份绵阳的最高温度；十月份绵阳的最高温度；每天从绵阳下火车的人数；每天从绵阳下火车的人数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，也就是说，把试验结果数值化把试验结果数值化.正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系.二、随机变量的概念二、随机变量的概念1.定义定义e.X(e)R随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别,普通函数是定义在普通函数是定义在实数轴实数轴上的上的,而而随机变量是定义在随机变量是定义在样本空间上样本空间上的的(样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系例例1 掷一个硬币掷一个硬币,观察出现的面观察出现的面,共有两个共有两个结果结果:若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数,则有则有即即 X(e)是一个随机变量是一个随机变量.例例2 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别,共有共有 4 个样本点个样本点:若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时,则有则有可得随机变量可得随机变量 X(e),例例3 设盒中有设盒中有5个球个球(2白白3黑黑),从中任抽从中任抽3个个,则则是一个随机变量是一个随机变量.例例4 设某射击手每次射击打中目标的概率是设某射击手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射击了现该射手射击了30次次,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:且且 X(e)的所有可能取值为的所有可能取值为:例例5 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的,则则是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e)的所有可的所有可能取值为能取值为:随随机机变变量量离散型离散型连续型连续型所有取值可以所有取值可以一一列举一一列举(有限或有限或无穷可列个无穷可列个)所有取值不能一所有取值不能一 一一列举，但能连续的列举，但能连续的充满一个区间充满一个区间.非离散型非离散型其它其它3.随机变量的分类随机变量的分类 “取到次品的个数取到次品的个数”，“电话交换台在单位时间内收到的呼叫数电话交换台在单位时间内收到的呼叫数”,“电视机的寿命电视机的寿命”，“测量误差测量误差”一一、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律二二、常见离散型随机变量的概率分布常见离散型随机变量的概率分布三三、小结小结第二节第二节 离散型随机变量离散型随机变量 及其分布律及其分布律性质性质 一、离散型随机变量的分布律定义定义非负性非负性归一性归一性这两条性质可作这两条性质可作为分布律的判定为分布律的判定例例1.设随机变量设随机变量X的概率分布为：的概率分布为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a.例例2.袋中有袋中有5个球个球,编号为编号为1,2,3,4,5,从中任意取从中任意取3个球个球,求取出的求取出的3个中的最大号数个中的最大号数X的分布律的分布律.解解:X的所有可能取值为的所有可能取值为3,4,5.3,4,5.例例3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等时间相等.以以X表示该汽车遇到红灯前已通过的路表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数口的个数，求，求X的分布律的分布律.解解:依题意依题意,X可取值可取值0,1,2,3.Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯,i=1,2,3设设二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分它的分布律为布律为则称则称 X 服从服从(01)分布分布或或两点分布两点分布.1.(0-1)分布或分布或两点分布两点分布 例例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情况观察正、反两面情况.随机变量随机变量 X 服从服从(01)分布分布.其分布律为其分布律为例例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点都属于两点分布分布.说明说明等可能等可能分布分布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有则有(1)伯努利试验伯努利试验 (2)n 重重伯努利试验伯努利试验 例例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬若将硬币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.例例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否“出现出现 1 点点”,就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为二项分布二项分布(0-1)分布或两分布或两点点分布分布2.二项分布二项分布例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次次射击射击,每次射击时击中目标的概率为每次射击时击中目标的概率为 0.6,则击中目标的次数则击中目标的次数X 服从服从b(5,0.6)的二项分布的二项分布.例例2解解解解因此因此例例3 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,设设每辆汽车在一天的某段时间内每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过辆汽车通过,问问出事故的次数不小于出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?设设 1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X,则则解解例例4故所求概率为故所求概率为,则对固定的 k设Possion定理Poisson定理说明若定理说明若X b(n,p),则当则当n 较大，较大，p 较小较小,而而 适中适中,则可以用近似公式则可以用近似公式问题问题 如何计算如何计算？其中其中 n 100,np 10 时近似效果就很好时近似效果就很好.实际计算中，实际计算中，等等式式右右端端给给出出的的概概率率分分布布，是是又又一一种种重重要要的离散型分布：的离散型分布：泊松分布泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于似，于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的.二项二项分布分布 泊松分布泊松分布3.泊松分布泊松分布 二项二项分布分布 泊松分布泊松分布电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水又如在某个时段内：医院急诊病人数；医院急诊病人数；一个容器中的细菌数；一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的瑕疵点个数；一匹布上的瑕疵点个数；放射性物质发出的放射性物质发出的 粒子数；粒子数；实例实例 设某批产品的次品率为设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回对该批产品做有放回的抽样检查的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止直到第一次抽到一只次品为止(在此在此之前抽到的全是正品之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数那么所抽到的产品数 X 是一是一个随机变量个随机变量,求求X 的分布律的分布律.解解称称 X 服从几何分布服从几何分布.4.几何分布几何分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型.离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布两点分布两点分布等可能分布等可能分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布三、小结三、小结一、分布函数的概念一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.分布函数的定义分布函数的定义一、分布函数的概念二、分布函数的性质二、分布函数的性质请请填填空空用分布函数表示概率用分布函数表示概率否否A=1,B=-1例例31/4,1/2,3/4XP19/1926/1934/19请同学们思考请同学们思考不同的随机变量不同的随机变量,它们的分布函数一定也不相同吗它们的分布函数一定也不相同吗?答答不一定不一定.例如抛均匀硬币例如抛均匀硬币,令令
