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弹弹 塑塑 性性 力力 学学(课程复习小结课程复习小结)李李 同同 林林中国地质大学中国地质大学 力学教研室力学教研室1一、一、弹塑性力学及其学科分类弹塑性力学及其学科分类 二、二、弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象三、三、弹塑性力学的基本思路与研究方法弹塑性力学的基本思路与研究方法四、四、弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务五、五、弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设六、六、弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况七、七、现代力学的发展及其特点现代力学的发展及其特点九、张量概念及其基本运算九、张量概念及其基本运算八、弹塑性力学基本理论及基本解法八、弹塑性力学基本理论及基本解法2一、学科分类一、学科分类 弹塑性力弹塑性力学学按运动与否分按运动与否分：静力学静力学：研究力系或物体的平衡问题，不涉及 物体运动状态的改变；如飞机停在地 面或巡航。运动学运动学：研究物体如何运动，不讨论运动与受 力的关系；如飞行轨迹、速度、加速度。动力学：动力学：研究力与运动的关系。如何提供加速度？1 1、学科分类、学科分类 3 按研究对象分按研究对象分：一般力学一般力学：研究对象是刚体研究对象是刚体。研究力及其与 运动的关系。分支学科有理论力学理论力学，分析力学分析力学等。流体力学流体力学：研究对象是气体或液体。涉及到：水力学、空气动力学水力学、空气动力学等学科。固体力学固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时的力学响应。其分支学科有：材料力学、结构力学、材料力学、结构力学、弹性力学、学、塑性力学、塑性力学、弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。4 按研究手段分按研究手段分：（理论分析、实验和数值计算）有实验力学、计算力学实验力学、计算力学二个方面的分支。按应用领域分按应用领域分：有飞行力学飞行力学、船舶结构力学船舶结构力学、岩土力学、量岩土力学、量 子力学子力学等。5 2 2、弹塑性力学、弹塑性力学 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支弹塑性力学是固体力学的一个重要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 变化等因素的影响而发生的应力、应变和位变化等因素的影响而发生的应力、应变和位 移及其分布规律的一门科学，是研究固体在移及其分布规律的一门科学，是研究固体在 受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段受载过程中产生的弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门这两个紧密相连的变形阶段力学响应的一门 科学。科学。6二、二、弹塑性力学的研究对象弹塑性力学的研究对象在研究对象上，材料力学的研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？弹塑性力学研究对象也是固体，是不受弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。问题需求的物体。7三、弹塑性力学的基本思路与研究方法三、弹塑性力学的基本思路与研究方法1 1、弹塑性力学分析问题的基本思路、弹塑性力学分析问题的基本思路 弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：8(1)(1)受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件(力的分析力的分析)对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用，处于 平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力平衡条件静力平衡条件）(3)(3)力与变形间的本构关系力与变形间的本构关系(物理分析物理分析)固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。则对一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足的条件是什么？（物理条件，物理条件，也即本构方程。也即本构方程。）(2)(2)变形分析及几何相容条件变形分析及几何相容条件 (几何分析几何分析)材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满足的条件是什么？（几几何相容条件何相容条件）92 2、弹塑性力学研究问题的基本方法、弹塑性力学研究问题的基本方法 材料力学研究问题的基本方法：材料力学研究问题的基本方法：选一维构件整体为研究对象变形前，在某表面绘制标志线；变形后，观察总结构件表面变形的规律。做出平截面假设，经三方面分析，解决问题。a、研究方法较简单粗糙；b、涉及数学理论较简单；c、材料力学的工程解答一般为近似解。10 弹塑性力学研究问题的基本方法弹塑性力学研究问题的基本方法以受力物以受力物体内某一体内某一点（单元点（单元体）为研体）为研究对象究对象 单元体的受力单元体的受力应力理论；应力理论；单元体的变形单元体的变形变形几何理论；变形几何理论；单元体受力与变形单元体受力与变形间的关系间的关系本构理本构理论；论；建立起普建立起普遍适用的理遍适用的理论与解法。论与解法。1 1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点；密性和普遍适用性为特点；2 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的；3 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。量。11提出问题，选择有关的研究系统。对系统进行抽象与简化，建立力学模型。利用力学原理进行分析、推理，得出结论与已知结论相比较，或由实验进行验证。确认或进一步改善模型，深化认识 3 3、工程力学一般研究方法、工程力学一般研究方法 工程力学解决问题的一般研究方法工程力学解决问题的一般研究方法类似于类似于一般科学研究的普遍方法，可归纳为：一般科学研究的普遍方法，可归纳为：12四、四、弹塑性力学的基本任务弹塑性力学的基本任务可归纳为以下几点：可归纳为以下几点：1 1建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论；基本方程和理论；2 2给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量；以及对初等理论可靠性与精确度的度量；3 3确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益；提高经济效益；4 4为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。13五、五、弹塑性力学的基本假设弹塑性力学的基本假设（1 1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。全部空间，不留下任何空隙。（2 2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。1、物理假设、物理假设:（3 3）力学模型的简化假设：）力学模型的简化假设：（A A）完全弹性假设完全弹性假设 ；（；（B B）弹塑性假设。弹塑性假设。142、几何假设、几何假设小变形条件小变形条件（1 1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。（2 2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；次以上的高阶微量；假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变且应变(包括线应变与角应变包括线应变与角应变 )均远远小于均远远小于1 1。根据。根据 这一假定：这一假定：15六、弹塑性力学发展概况六、弹塑性力学发展概况 1678 1678年年英国科学家虎克英国科学家虎克(R.HookeR.Hooke)提出提出 了固体材了固体材 料的弹性变形与所受外力成正比料的弹性变形与所受外力成正比虎克定律。虎克定律。1919世纪世纪2020年代，法国科学家纳维叶年代，法国科学家纳维叶 (C.L.M.H.NavierC.L.M.H.Navier)、柯西柯西(A.L.CauchyA.L.Cauchy)和和 圣文南圣文南(A.J.C.B.Saint A.J.C.B.Saint VenantVenant)等建立了等建立了 弹性力学的理论基础。弹性力学的理论基础。16法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和莱(M.Levy)波兰力学家胡勃(M.T.Houber1904年）、米塞斯(R.vonMises1913年）、普朗特(L.Prandtl1924)罗伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、纳戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.)阐明了应力、应变的概念和理论；阐明了应力、应变的概念和理论；弹性力学和弹塑性力学的基本理论框弹性力学和弹塑性力学的基本理论框架得以确立架得以确立。17七、七、现代力学的发展及其特点现代力学的发展及其特点材料与对象材料与对象：金属、土木石等 新型复合材料、高分子材料、结构陶瓷、功能材料。尺尺 度度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、纳米尺度。实验技术实验技术：电、光测试实验技术 全息、超声、光纤测量，及实验装置的大型化。1 1、现代力学的发展、现代力学的发展18设计准则设计准则：静强度、断裂控制设计、抗疲劳设 计、刚度设计 损伤容限设计、结构优化 设计、耐久性设计和可靠性设计等。设计目标设计目标：保证结构与构件的安全和功能 设计制造使用维护的综合性分析 与控制，功能安全经济的综合性评价，自感知、自激励、自适应（甚至自诊断、自修复）的智能结构。应用领域应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电 子技术等。19 引进新的科学技术成果，引进新的科学技术成果，内容更加丰富：内容更加丰富：新材料复合材料、聚合物等；新材料复合材料、聚合物等；新概念失效、寿命等；新概念失效、寿命等；新理论损伤、混沌等；新理论损伤、混沌等；新方法数值方法、工程力学建模方法。新方法数值方法、工程力学建模方法。20 22现代力学的特点现代力学的特点 与计算机应用相结合与计算机应用相结合，与其他基础或技术学科相互结合与渗透。与其他基础或技术学科相互结合与渗透。材料设计材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)计算机应用计算机应用：计算力学计算力学+计算机应用计算机应用解决复杂、解决复杂、(60(60年代年代)困难的工程实际问题。困难的工程实际问题。使工程结构分析技术；（结合CAD技术）监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）；工程系统动态过程的计算机数值仿真技术；广泛应用至各工程领域。21智能结构智能结构：90 90年代开始，力学与材料、控制（包括传年代开始，力学与材料、控制（包括传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向感与激励）、计算机相结合，研究发展面向2121世纪的、世纪的、具有具有“活活”的功能的智能结构的功能的智能结构。生物力学生物力学：(70(70年代冯元祯博士年代冯元祯博士)生物材料力学性能、微循环、定量生理学、心血管系生物材料力学性能、微循环、定量生理学、心血管系统临床问题和生物医学工程等。统临床问题和生物医学工程等。“没有生物力学，就不能很好地了解生理学。没有生物力学，就不能很好地了解生理学。”22八八、弹塑性力学的基本理论与解法弹塑性力学的基本理论与解法 弹塑性力学和材料力学都是固体力学的分支弹塑性力学和材料力学都是固体力学的分支学科，所求解的大多数问题都是超静定问题。因学科，所求解的大多数问题都是超静定问题。因此，在分析问题研究问题时的最基本思路是相同此，在分析问题研究问题时的最基本思路是相同的，即对于一个静不定问题的求解，一般都要经的，即对于一个静不定问题的求解，一般都要经过三个方面的分析，这三个方面分别为：（过三个方面的分析，这三个方面分别为：（1 1）静）静力平衡条件分析；（力平衡条件分析；（2 2）几何变形协调条件分析；）几何变形协调条件分析；（3 3）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联）物理条件分析。从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决。这三方面的方程汇集于下：不定问题得到解决。这三方面的方程汇集于下：1.1.弹塑性力学的基本理论框架弹塑性力学的基本理论框架23(1)平衡（或运动方程）：平衡（或运动方程）：(2)(2)、几何方程：、几何方程：(3)本构方程（物性方程）本构方程（物性方程）（A A）在弹性变形阶段，）在弹性变形阶段，（B B）在弹塑性变形阶段，屈服函数）在弹塑性变形阶段，屈服函数增量理论（流动理论）：增量理论（流动理论）：则有：全量理论（形变理论）：全量理论（形变理论）：24（i）Prandtl-Reuss理论理论（b）等向）等向强强化材料化材料增量理论（流动理论）：增量理论（流动理论）：（i i）Levy-Mises（a）理想刚塑性材料）理想刚塑性材料（b）等向强化材料）等向强化材料。25全量理论（形变理论）：全量理论（形变理论）：以以 为代表（强化材料）为代表（强化材料）总之，当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性总之，当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题，共有变形问题，共有 3 3 个平衡微分方程，个平衡微分方程，6 6 个几何方程和个几何方程和 6 6 个本构方程，共计个本构方程，共计 15 15 个独立方程（统称泛定方程个独立方程（统称泛定方程）。而问题共计有：）。而问题共计有：、1515个基本未知函数。个基本未知函数。因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学上称为求解边值问题。静力学的这种问题在数学上称为求解边值问题。26任何一个固体力学参量在具体受力物体内一任何一个固体力学参量在具体受力物体内一般都是体内各点（般都是体内各点（x,y,zx,y,z）的函数，它们满足的）的函数，它们满足的方程方程(泛定方程泛定方程)相同。相同。然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体内各点应力、应变与分布的不同，必然导致物体内各点应力、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的，也就是说，位移的大小和变化规律是千变万化的，也就是说，单靠这些泛定方程是不足以解决具体问题的。单靠这些泛定方程是不足以解决具体问题的。从力学观点上来说，所有满足泛定方程的应从力学观点上来说，所有满足泛定方程的应力、应变和位移，也应该同时满足物体力、应变和位移，也应该同时满足物体(表面表面)与与外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界条件；条件；27(4)(4)边界条件边界条件 （A A）应力边界条件）应力边界条件：（B B）位移边界条件：）位移边界条件：根据具体问题边界条件类型的不同，常把边根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为三类。值问题分为三类。28 第一类边值问题：第一类边值问题：给定物体的体力和面力，给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。力已知的问题。第二类边值问题：第二类边值问题：给定物体的体力和物体给定物体的体力和物体表面各点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力表面各点位移的约束情况，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。题。第三类边值问题：第三类边值问题：在物体表面上，一部分在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移给定面力，其余部分给定位移(或在部分表面上给或在部分表面上给定外力和位移关系定外力和位移关系)的条件下求解上述问题，即所的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。谓混合边值问题。292.2.弹塑性力学的基本解法弹塑性力学的基本解法:1 1位移法位移法：用位移作为基本未知量，来求解用位移作为基本未知量，来求解边值问题的方法，称为位移法。边值问题的方法，称为位移法。2 2应力法应力法：用应力作为基本未知量来问题，用应力作为基本未知量来问题，叫应力法。叫应力法。3 3混合法混合法：对第三类边值问题则宜以各点的对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量混合求解。这种方法叫混合法。混合求解。这种方法叫混合法。在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即：解题方法，即：30 上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。上述位移法、应力法和混合法统称为直接解法。尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实尽管这些方法的建立在理论上有着重大意义，但在实际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原际解题过程中却很少原原本本地按上述步骤去做，原因还是在于数学上的困难和复杂性。因还是在于数学上的困难和复杂性。在弹塑性力学解在弹塑性力学解题方法中经常采用如下方法：题方法中经常采用如下方法：（1 1）逆解法：）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，设位移或应力的函数式是已知的，然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位然后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变和位移，并且要求满足边界条件。移，并且要求满足边界条件。（2 2）半逆解法：）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就也称凑合解法。所谓半逆解法就是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或是在未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求解另一部分，这样便得到了全部未知量。一部分，这样便得到了全部未知量。31、应力的概念、应力的概念:受力物体内某点受力物体内某点某截面上内力的分布某截面上内力的分布集度集度 3.3.应力、应力状态、应力理论应力、应力状态、应力理论32应力应力正应力正应力剪应力剪应力必须指明两点：必须指明两点：1.1.是哪一点的应力；是哪一点的应力；2.2.是该点哪个微截面的应力。是该点哪个微截面的应力。33、应力状态的概念：、应力状态的概念：受力物体内某点处所取受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态明了该点的应力状态 应力的表示及符号规则应力的表示及符号规则正应力：正应力：剪应力：剪应力：第一个字母表明该应力作用截面第一个字母表明该应力作用截面的外法线方向同哪一个坐标轴相的外法线方向同哪一个坐标轴相平行，第二个字母表明该应力的平行，第二个字母表明该应力的指向同哪个坐标轴相平行。指向同哪个坐标轴相平行。34.应力张量应力张量 数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称的二阶张量，简称为一个对称的二阶张量，简称为应力张量应力张量。或或（2 23 3）据剪应力互等定理据剪应力互等定理 ,应力张量应是应力张量应是一个对称的二阶张量。一个对称的二阶张量。35 .应力分量转换方程应力分量转换方程 36 、平面应力状态平面应力状态 37 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号的 差异。差异。38.主应力主应力应力主方向应力主方向应力张量不变量应力张量不变量 主平面：主平面：一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面一点应力状态剪应力等于零的截面称为主平面 主应力主应力 ：主平面上的正应力称为该点的主应力主平面上的正应力称为该点的主应力 主方向主方向 ：主平面的法线方向即为主方向主平面的法线方向即为主方向主单元体：主单元体：由主平面截取的单元体称为主单元体由主平面截取的单元体称为主单元体 理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导必可求出三个实根，即为主应力，且必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。主应力彼此正交。39则知则知:40 41、最大（最小）剪应力最大（最小）剪应力为：为：最大（最小）剪应力作用截面上最大（最小）剪应力作用截面上，一般正应力一般正应力 不为零，即：不为零，即：42.空间应力圆空间应力圆 一点应力状态一点应力状态用解析法研究用解析法研究用几何法研究用几何法研究解析理论解析理论莫尔应力圆莫尔应力圆43.应力张量的分解应力张量的分解+44 通常对于金属材料有：通常对于金属材料有：将将应力张量的分解应力张量的分解：，更有利于研，更有利于研 究固体材料的塑性变形行为。究固体材料的塑性变形行为。+岩土材料球应力张量作用，一般也会出现塑岩土材料球应力张量作用，一般也会出现塑 性体变，从而出现奇异屈服面。性体变，从而出现奇异屈服面。球应力张量球应力张量体变：只是弹性变形体变：只是弹性变形偏斜应力张偏斜应力张量量畸变：首先产生弹性应变，畸变：首先产生弹性应变，当应力达到一定的极值时，当应力达到一定的极值时，将产生塑性的畸变。将产生塑性的畸变。45.平衡（或运动）微分方程平衡（或运动）微分方程 46 平衡微分方程平衡微分方程：一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。应力分量和体力分量必定满足这组方程。求解应力场的问题是一个静不定问题。求解应力场的问题是一个静不定问题。体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。47.静力边界条件静力边界条件 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。组方程。面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。取负。48 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。与相应的面力分量直接对应相等。关于平面问题的应力边界条件（关于平面问题的应力边界条件（xoyxoy平面）：平面）：49例题：例题：试列出图示梁的应力边界条件解。试列出图示梁的应力边界条件解。50下边界：下边界：左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：上边界：上边界：514 4、位移、位移、应变、应变状态、应变理论应变、应变状态、应变理论研究物体在外力作用下的变形规律，只需研究物体在外力作用下的变形规律，只需 研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究研究物体内各点的相对位置变动情况，即研究 变形位移。变形位移。位移位移刚性位移：反映物体整体位置的变动刚性位移：反映物体整体位置的变动变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化、位移分量和相对位移分量、位移分量和相对位移分量52 通常物体内各点的位移应是点的位置坐通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数，参照标函数，参照oxyzoxyz坐标即为：坐标即为：位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移函数应是位置坐标的单值连续函数。位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形 的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。53、应变的概念、几何方程、应变的概念、几何方程 应变的概念：应变的概念：54线应变线应变、涉及受力物体内某一点；、涉及受力物体内某一点；、涉及该点的某一方向；、涉及该点的某一方向；、是一个无量纲的物理量。、是一个无量纲的物理量。角应变角应变、涉及受力物体内某一点；涉及受力物体内某一点；、涉及过该点的某两相垂直方向；、涉及过该点的某两相垂直方向；、是一个有单位，无量纲的物量。、是一个有单位，无量纲的物量。55 应变的符号规则：应变的符号规则：表征某点某方向伸长变形的线应变表征某点某方向伸长变形的线应变取正，反之取负；取正，反之取负；表征某点两坐标轴正方向所夹直角表征某点两坐标轴正方向所夹直角减少的角应变取正，反之取负。减少的角应变取正，反之取负。应变状态应变状态.应变张量应变张量 受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反映和表征了该点的变形程度，称之为应变状态。反映和表征了该点的变形程度，称之为应变状态。一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为应变张量，用表示称为应变张量，用表示，即：即：56=57 几何方程：几何方程：该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满足的关系，称为几何方程，也称为柯西足的关系，称为几何方程，也称为柯西(AugustinAugustin-Louis Cauchy)Louis Cauchy)几何关系。其缩写式为：几何关系。其缩写式为：58 应变状态与应力状态都是二阶对称张量，因此在数应变状态与应力状态都是二阶对称张量，因此在数 学上两者所遵循的坐标变换法则是相同的。学上两者所遵循的坐标变换法则是相同的。59、应变张量的分解、应变张量的分解应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量即：应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量即：60、变形连续性条件、变形连续性条件 由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一由几何方程可知，六个独立的应变分量是表征一 点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此，点应变状态的，彼此间是不能相互独立的。因此，六个独立的应变分量应满足一定的条件。六个独立的应变分量应满足一定的条件。61 其数学意义：其数学意义：要求要求要求位移函数在其定义域内为要求位移函数在其定义域内为 单值连续函数，其方程就是位移函数的全微分条单值连续函数，其方程就是位移函数的全微分条 件。件。其物理意义：其物理意义：就是要保证不违反连续性假设，构就是要保证不违反连续性假设，构 成物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内成物体的介质在变形前后是连续的，并且物体内 每一点的位移必定是确定的，即同一点不会产生每一点的位移必定是确定的，即同一点不会产生 两个或两个以上的位移。这就是说，相邻点发生两个或两个以上的位移。这就是说，相邻点发生 微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将微小位移后，仍为相邻点，否则物体在变形后将 出现间隙或重叠现象。出现间隙或重叠现象。62 变形连续性条件变形连续性条件反映了真实情况下物体内各点应反映了真实情况下物体内各点应 变之间的协调关系。变之间的协调关系。关于平面问题，变形连续性条件简化为：关于平面问题，变形连续性条件简化为：对于多连域问题，物体变形除满足相容条件（必对于多连域问题，物体变形除满足相容条件（必 要条件）外，还要补充条件（充分条件）。要条件）外，还要补充条件（充分条件）。635 5、弹性变形、塑性变形、本构方程、弹性变形、塑性变形、本构方程 表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力 与应变，以及应力率与应变率之间关系的物性与应变，以及应力率与应变率之间关系的物性 方程，称为本构方程（关系）。方程，称为本构方程（关系）。大量实验证实，固体受力变形时，应力与应大量实验证实，固体受力变形时，应力与应 变间的关系是相辅相成的。变间的关系是相辅相成的。固体材料在一定条件下，应力与应变之间各固体材料在一定条件下，应力与应变之间各 自有着确定的关系，这一关系反映着固体材自有着确定的关系，这一关系反映着固体材 料的客观力学特性。料的客观力学特性。64 固体材料弹性变形具以下特点：固体材料弹性变形具以下特点：弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所 做的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，做的功以能量（应变能）的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的 变形得以完全恢复；变形得以完全恢复；无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状 态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例 关系；关系；对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。因此，应力与应变是一一对应的关系。65 固体材料塑性变形具以下特点：固体材料塑性变形具以下特点：塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必定塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必定 要耗散能量（称耗散能或形变功）。要耗散能量（称耗散能或形变功）。在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方程在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方程 的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的规律的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的规律 不同，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应力与相不同，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应力与相 应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径（或加载历应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载路径（或加载历 史）。史）。在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，有在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，有 的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸载都的部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸载都 服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而服从广义虎克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而 在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷的变化，在卸载过程中则服从弹性的虎克定律。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。两区域的分界面也会产生变化。依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。666 6、弹性应变能函数、弹性应变能函数 弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹弹性体的实功原理：若对于静荷载作用下产生弹 性变形过程中不计能量耗散，则据功能原理：产性变形过程中不计能量耗散，则据功能原理：产 生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种生此变形的外力在加载过程中所作的功将以一种 能量的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应能量的形式被积累在物体内，此能量称为弹性应 变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性应变能变能，或称弹性变形能。并且物体的弹性应变能 在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变在数值上等于外力功。这就是实功原理，也称变 形能原理。若弹性应变能用形能原理。若弹性应变能用U U 表示，外力功用表示，外力功用W We e 表示，则有：表示，则有：6768九、张量概念及其基本运算九、张量概念及其基本运算 1 1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学的重要数学工具质力学的重要数学工具 。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。张量分析具有高度概括、形式简洁的特点。任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，任一物理现象都是按照一定的客观规律进行的，它们是不以人们的意志为转移的。它们是不以人们的意志为转移的。分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们 当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题 的求解与表述。的求解与表述。69 所有与坐标系选取无关的量，统称为所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量物理恒量。在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 的物理量，统称为的物理量，统称为标量标量。例如温度、质量、功等。例如温度、质量、功等。在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 的物理量，称为的物理量，称为矢量矢量。例如速度、加速度等。例如速度、加速度等。绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。若我们以若我们以r r表示维度，以表示维度，以n n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表 示成：示成：70 现令现令 n n 为这些物理量的阶次，并统一称这些物为这些物理量的阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直 观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。可由坐标变换关系式来解决定义。当当n=0n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M=1M=1，标量；标量；当当n=1n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M=3M=3，矢量；矢量；、当取当取n n时，时，n n阶张量，阶张量，M=3M=3n n。71 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表 示和区别该张量的所有分量。示和区别该张量的所有分量。不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。量确定张量的阶次。重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称重复出现，且只能重复出现一次的下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再不求和。再不求和。2.2.下标记号法下标记号法 本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，本教程张量下标符号的变程，仅限于三维空间，即变程为即变程为3 3。723.3.求和约定求和约定 关于哑标号应理解为取其变程关于哑标号应理解为取其变程N N内所有数值，内所有数值，然后再求和，这就叫做求和约定。然后再求和，这就叫做求和约定。例如：例如：7374 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有：求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例：75 关于自由标号：关于自由标号：在同一方程式中，各张量的自由标号相同，在同一方程式中，各张量的自由标号相同，即同阶且标号字母相同。即同阶且标号字母相同。自由标号的数量确定了张量的阶次。自由标号的数量确定了张量的阶次。关于关于KroneckerKronecker delta delta（）符号：符号：是张量分析中的一个基本符号称为是张量分析中的一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为：76 的作用与计算示例如下：的作用与计算示例如下：774.4.张量的基本运算张量的基本运算 A