第二章 随机变量及其分布(1).ppt

返回主目录 定义定义 什么是点估计：设总体X 的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数1,2,：是来自 的一个样本，是相应的样本观察值，一般的，用样本构造一个适当的统计量 ，用它的统计值 作为未知参数的近似值，我们称为参数 的估计量 ，为 的估计值。这种方法称为点估计法。点估计一般有两种构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计法。第七章 参数估计1 点估计第七章 参数估计一矩估计法 1矩估计法的原理：根据辛钦大数定律，用样本矩作为相应的总体矩的估计，用样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计。具体而言，分两种情况介绍。设总体 为连续型，它的概率密度为 是 个待估参数，若总体 的前 阶矩存在，则1 点估计返回主目录设总体 为离散型，上面的概率密度为分布律，上面的积分就是一个和式这样就得到一个含有 个未知数 个方程的方程组，如果方程组的解为 ，就得到 的矩估计量。第七章 参数估计1 点估计返回主目录2 例题：例1设总体 服从二项分布 ，已知，未知，是来自 的一 个样本，求参数 的矩估计量 解：由于 ，令 则得 的矩估计量 。第七章 参数估计1 点估计 例2设总体 在区间 上服从均匀分布，未知,是来自 的一个样本，求参数 的矩估计量。解：则 解得 第七章 参数估计1 点估计用 分别代替 ，得 的矩估计量 由于于是得 的矩估计量为第七章 参数估计1 点估计例3设总体 的均值 及方差 都存在，且 ,但 ，均未知。又设 是来自 的一个 样本，求参数 ，的矩估计量。解：解得 用 分别代替 ，得 ，的矩估计量第七章 参数估计1 点估计例4设总体 的密度函数为 是来自 的样本值，求参数 的估计量和估计值。解：由于总体中只含一个未知参数，一般只需要求出 ，由 解出 ，便得到 的估计量。但是 即 不含参数 ，不可能由此解出 ，为此，有 于是解得 第七章 参数估计1 点估计所以，参数 的矩估计量和矩估计值分别为 3矩估计法小结：（1）矩估计法一般不要求知道总体的分布情况，使用起来直观简便；（2）矩估计法要求总体的原点矩存在，否则就不适用；（3）矩估计法有时不能充分利用总体的分布对未知参数所提供的信息。第七章 参数估计1 点估计二最大似然估计法1最大似然估计法的原理：一个随机试验如果有若干个可能结果:若在一次试验中，结果 出现了，则一般认为试验条件 对出现 有利，即认为是概率最大的可能结果 出现了，也就是说，最大。具体而言，分两种情况介绍。设总体 为离散型，其分布律为 为未知参数，是来自 的一个样本，是相应的样本值，事件 发生的概率为第七章 参数估计1 点估计若总体 为连续型，其概率密度为，为待估参数，相应地 称为样本的似然函数。按照最大似然原理，的估计值 应使似然函数达到最大值：这样得到的 称为参数 的最大似然估计值，而相应的统计量称为参数 的最大似然估计量。为此一般通过求解下述所谓的对数似然方程即可求得参数 的最大似然估计量；第七章 参数估计1 点估计若总体分布中含有多个未知参数 时，似然函数就是这些参数的多元函数，则需求解下述所谓的对数似然方程组 即可求得参数 的最大似然估计量。第七章 参数估计1 点估计2最大似然估计法的例题例1设总体 服从参数为 的泊松分布，是 的一组样本观测值，求：（1）参数 的最大似然估计值；（2）概率 的最大似然估计值。解：（1）的概率分布为 则似然函数为 取对数得 第七章 参数估计1 点估计对数似然方程为 解得 的最大似然估计值为（2）因为 ，所以 的最大似然估计值为 第七章 参数估计1 点估计例2设总体 服从参数为 指数分布，概率密度为 是来自 的一个样本,求参数 的最大似然估计。解：设 是 的一组样本观测值，则似然函数为 取对数得 第七章 参数估计1 点估计由似然方程 解得 的最大似然估计值为第七章 参数估计1 点估计例3设总体 为未知参数，是 的一组样本观测值，求 的最大似然估计量。解：的概率密度为 似然函数为而第七章 参数估计1 点估计令 解之得 因此得 的最大似然估计量为 从而可得标准差 的最大似然估计量为第七章 参数估计1 点估计例4设总体 在区间 上服从均匀分布，未知，是 的一组样本观测值，求 的最大似然估计量。解：的概率密度为 似然函数为显然，下述似然方程组无解第七章 参数估计1 点估计返回主目录于是用最值点的定义直接求 的最大值点。记由于 等价于 ，于是有 ,从而对于满足条件 的任意 ，有即在 时，取得最大值 ，故 的最大似然估计值为 的最大似然估计量为第七章 参数估计1 点估计