线性代数课件11.ppt

本节先讨论矩阵的初等变换，建立矩本节先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法再并提出求秩的有效方法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大度较大.矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩矩阵的初等变换与标准形，矩阵的秩定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:1 初等变换与矩阵等价初等变换与矩阵等价定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具有上述三条性质的关系称为等价例如，两例如，两个个线性方程组同解，线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价例例1 试用初等行变换把试用初等行变换把B化成阶梯形矩阵：化成阶梯形矩阵：2 2 矩阵的标准形矩阵的标准形特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元注意：注意：行阶梯形矩阵非零行的行数也是由矩阵唯行阶梯形矩阵非零行的行数也是由矩阵唯一确定的一确定的 行阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成标行阶梯形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形例如，例如，特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个称为一个等价类等价类，标准形，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.小结小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换