对称矩阵与对称变换.ppt

9-5 9-5 对称矩阵与对称变换对称矩阵与对称变换我们已学习了欧氏空间的重要线性变换正交变换我们已学习了欧氏空间的重要线性变换正交变换,而而对称变换是对称变换是欧氏空间的另一类重要的线性变换，欧氏空间的另一类重要的线性变换，它使得有一个由它使得有一个由的特征向量所组成的正交基。的特征向量所组成的正交基。对称变换的定义对称变换的定义 设设是欧氏空间的一个线性变换，如果对于中是欧氏空间的一个线性变换，如果对于中任意向量任意向量,等式等式 （()()，）（）（，（）成立，那么就称成立，那么就称是一个对称变换。是一个对称变换。对称变换的充要条件对称变换的充要条件 关于的任意标准正交基的矩阵是对称矩阵。关于的任意标准正交基的矩阵是对称矩阵。对称变换与对称矩阵的关系：对称变换与对称矩阵的关系：设n维欧氏空间中的线性变换A A在任意标准正交基下的矩阵为A，则A A是对称矩阵的充分必要条件是A为实对称矩阵.对任意对称矩阵A，必有n阶正交矩阵T，使得结论：任意一个实二次型都可以经过正交变换可化成标准形。实对称矩阵的特征根都是实数实对称矩阵的特征根都是实数 维欧氏空间的一个对称变换维欧氏空间的一个对称变换属于不同特征根的特征向量彼此属于不同特征根的特征向量彼此正交正交 对称变换对称变换满足：任意满足：任意，V,V,(),)=(,()(),)=(,()是对称变换是对称变换,V V1 1是是-不变子空间不变子空间,则则V V1 1也是也是-不变子空间不变子空间从而 线性相关的结论，即（1），（n）线性相关(单射)1，n线性相关 所以同构映射不仅保持线性相关，而且保持线性无关，也就是说，同构映射保持线性相关性。一般线性映射只保持线性相关。反例：零映射。如果如果（1 1），），（n n）线性相关，线性相关，希望希望1 1，n n线性相关，线性相关，那么要求那么要求具备什么条件呢？具备什么条件呢？因为因为（1 1），），（n n）线性线性相关，所以存在一组不全为零的数相关，所以存在一组不全为零的数 使使 于是当于是当是是单射时有单射时有 用用正交变换正交变换,把对称矩阵把对称矩阵A正交化的步骤正交化的步骤:1.求求A的全部特征值的全部特征值;2.对每一个特征值对每一个特征值,求对应的齐次线性方求对应的齐次线性方程组的基础解系程组的基础解系,并利用并利用schimidt 得到标得到标准正交向量组准正交向量组;3.利用上面的正交组利用上面的正交组,构造正交矩阵构造正交矩阵P,满满足足PAP是对角矩阵是对角矩阵结合二次型理论我们得到利用正交变换化二次型为标准形方法Theorem 8:任意一个实二次型都可以经任意一个实二次型都可以经过正交变换过正交变换,变成标准形变成标准形,且平方项的系且平方项的系数恰好是二次型矩阵的特征值数恰好是二次型矩阵的特征值.思考题思考题正交矩阵的特征值是否全是实数正交矩阵的特征值是否全是实数?用特征值给出二次型为正定二次型用特征值给出二次型为正定二次型的充分必要条件的充分必要条件.作业作业:P39616、17、18、19、20