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流体力学 本讲稿第一页，共二十八页轴对称运动轴对称运动 鱼雷、火箭、炮弹、潜艇等的运动是轴对称运动。轴对称流动中，任一通过对称轴的平面上的流动图案都是相同的。要形成轴对称流动，物体外形必须是轴对称的，而且来流必须沿着对称轴方向。本章采用球坐标（）描述轴对称流动。由于轴对称，流动具有如下特点，本讲稿第二页，共二十八页5.15.1速度势速度势在无旋流动中存在速度势对于不可压缩流体，本讲稿第三页，共二十八页平面流动的流函数满足连续方程。在三维流动中，一般无法找到一个标量函数满足连续方程，但在轴对称运动条件下，这样的流函数是存在的。5.25.2Stokes 流函数流函数Stokes 流函数流函数不可压缩流体在球坐标下的连续方程 令则 自动满足连续方程.称 Stokes 流函数。本讲稿第四页，共二十八页5.25.2Stokes 流函数流函数无旋流动的无旋流动的 Stokes 流函数方程流函数方程 平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程，Stokes流函数在无旋条件下满足的方程不是拉氏方程。设无旋流动 通常通过求解 的拉氏方程得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解。在有旋流动中，势函数不存在，只有应用流函数才能找到一个标量方程来代替矢量形式的运动方程。本讲稿第五页，共二十八页5.25.2Stokes 流函数流函数Stokes 流函数的性质流函数的性质 过对称轴的平面内任意两点流函数值的差乘以 ，等于通过以这两点的任意连线绕对称轴旋转形成的旋转面的流量。AB本讲稿第六页，共二十八页5.35.3势流方程的解势流方程的解分离变量分离变量满足拉氏方程，两边同乘以 方程一边是 r 的函数，一边是 的函数，要恒等必需两边均等于常数，式中 l 可为整数也可为非整数。本讲稿第七页，共二十八页勒让德方程勒让德方程 5.35.3势流方程的解势流方程的解 是第一类勒让德函数，当 l 不为整数时，其在 时发散。取l 取整数。上式为勒让德方程，通解为 为第二类勒让德函数，当 时对所有的 l 值发散，所以应取 本讲稿第八页，共二十八页5.35.3势流方程的解势流方程的解欧拉方程欧拉方程为欧拉方程，对于非负整数，欧拉方程通解可写为，R 的方程，本讲稿第九页，共二十八页5.35.3势流方程的解势流方程的解势函数通解势函数通解 根据线性方程解的叠加原理，势函数的通解可由勒让德方程的解和欧拉方程的解叠加而成，勒让德函数或称勒让德多项式的表达式为，其前3项分别是，本讲稿第十页，共二十八页5.4 5.4 均匀流均匀流 势函数势函数 沿 x 方向均匀流，速度为 U，P点的势函数，本讲稿第十一页，共二十八页5.4 5.4 均匀流均匀流 流函数流函数 根据流函数与势函数之间的关系式求均匀流的流函数，取 c=0本讲稿第十二页，共二十八页设原点流函数 =0，P 点流函数为 ，则均匀流穿过位置矢量围绕对称轴旋转形成的圆锥面的流量为 2 ；5.4 5.4 均匀流均匀流 流函数 也可确定如下：圆锥面在垂直于流动方向的投影面积为 ，考虑到穿过圆锥面的流体将全部通过该投影面积，有本讲稿第十三页，共二十八页5.55.5源和汇源和汇势函数势函数设空间点源 Q 位于原点，强度为Q，作半径为 r 的圆球面包围点源，由于对称的原因，球面上的速度分量请注意上式中负号对应于点源，正号对应于点汇。原点是一个奇点。考虑到 本讲稿第十四页，共二十八页流函数流函数 5.55.5源和汇源和汇设点源 Q 稍稍偏离原点位于原点以右，则点源释放的流体将通过 OP 围绕对称轴旋转产生的圆锥面以及圆锥面在垂直于对称轴方向的投影面流出。通过圆锥面向外流出的流量，通过圆锥面投影面的流量，如果让点源位于原点左边，则得到的流函数与上式仅相差一个常数，而并不影响得到的流场分布。流函数也可利用势函数与流函数关系式求得.代入 本讲稿第十五页，共二十八页5.65.6偶极子流动偶极子流动势函数势函数求一对相等强度的点源和点汇在 P 点的势函数，当 时本讲稿第十六页，共二十八页如图示，当 ，很小时，设 称偶极子的强度。请注意在求上述偶极子势函数过程中，点汇在 x 轴正方向放置，点源在 x 轴负方向放置，相互无限靠近。5.65.6偶极子流动偶极子流动本讲稿第十七页，共二十八页流函数流函数 5.65.6偶极子流动偶极子流动依据流函数与势函数之间的关系式求偶极子流的流函数，取本讲稿第十八页，共二十八页5.65.6偶极子流动偶极子流动上述均匀流，点源（汇）和偶极子流动的势函数都可以看作是势流方程的基本解。由5.3节，（对所有值），为均匀流的势函数。（对所 l 值），为点源的势函数。本讲稿第十九页，共二十八页（对所有 值），上述基本流的势函数和流函数叠加起来可以得到更为复杂的势流流动。为偶极流的势函数。5.65.6偶极子流动偶极子流动本讲稿第二十页，共二十八页5.75.7半无穷体绕流半无穷体绕流均匀流和一个位于原点的点源叠加可得到半无穷体绕流。流函数流函数 推导上式中用到本讲稿第二十一页，共二十八页5.75.7半无穷体绕流半无穷体绕流半无穷体特征尺寸半无穷体特征尺寸 令 为物面，为物面的坐标，令R 是无穷长圆柱的半径。由图可以看出，半无穷体把流动分为两部分，均匀来流在体外，而点源流动在体内，互不相混。可以想象用一个壳体代替 的界面，移去内部点源的流体而不影响壳体外的绕流流动。本讲稿第二十二页，共二十八页5.75.7半无穷体绕流半无穷体绕流可从势函数和流函数求得半穷体头部附近的速度和压强分布。势函数势函数本讲稿第二十三页，共二十八页为常数，的流面是一个球面，令球面半径 均匀流和位于原点的偶极子叠加得到圆球绕流流动。5.85.8圆球绕流圆球绕流流函数流函数 设 面上 ，,则本讲稿第二十四页，共二十八页势函数势函数5.85.8圆球绕流圆球绕流本讲稿第二十五页，共二十八页5.9 5.9 线源线源 设源（汇）在区间 均匀连续分布，线源强度（即单位长度的源强）为 点坐标为（），相关尺寸间关系如下：本讲稿第二十六页，共二十八页如图取线元 ，线元的源强为 ，则 点流函数，流函数流函数 5.9 5.9 线源线源 本讲稿第二十七页，共二十八页势函数势函数5.9 5.9 线源线源 本讲稿第二十八页，共二十八页