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测量学第五章本讲稿第一页，共五十五页第一节 测量误差的概念第二节 评定精度的标准第三节 观测值的算术平均值及改正数第四节.观测值的精度评定（中误差）第五节 误差传播定律及应用第六节 权本讲稿第二页，共五十五页第一节 测量误差的概念 一.测量误差的发现 1.对同一量多次观测，其观测值不相同。2.观测值之和不等于理论值 三角形 +180 闭合水准 h0本讲稿第三页，共五十五页 二.测量误差产生的原因1.仪器误差2.观测者感官的限制3.外界条件的影响总称为观测条件（必要条件）。等精度和不等精度观测。三.测量误差的分类与处理原则 根据观测误差的性质可分为：系统误差、偶然误差。本讲稿第四页，共五十五页（一）系统误差 又称累积误差。特性 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差在正负号保持不变；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。本讲稿第五页，共五十五页 例 钢尺：尺长、温度、倾斜改正 水准仪：i角 经纬仪：c角、i角 观测值的准确度 指观测值偏离真值的程度。系统误差对其有较大的影响。系统误差对观测值的影响具有一定的数学或物理上的规律：积累性。本讲稿第六页，共五十五页（二）偶然误差 在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果的差异在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，即表面上没有任何规律性，这类误差称为偶然误差。是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同引起的，其数值的正负、大小纯属偶然 大量的偶然误差具有统计性，或称之为具有概率论的规律。本讲稿第七页，共五十五页（三）误差处理原则 粗差（错误）测错，记错，算错可以避免错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）“多余观测”发现粗差剔除或重测，由多余观测产生的往返差、不符值、闭合差，可根据差值大小评定精度，超限重测，不超限调整之。本讲稿第八页，共五十五页 系统误差应尽可能按其产生的原因和规律加以改正、抵消或削弱，如：校正仪器、观测值加改正数、对称观测：水准，前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均值。不同时间的多次观测，有可能削弱部分情况不明的系统误差本讲稿第九页，共五十五页四、偶然误差的特性iXli（i，）测量误差理论主要讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评定成果的精度i 第i次观测的偶然误差X某一量的真值li 第i次观测值从单个偶然误差看无规律，观察其大量的偶然误差，就能发现隐藏在偶然性下的必然性，统计数量越大规律性越明显。本讲稿第十页，共五十五页本讲稿第十一页，共五十五页本讲稿第十二页，共五十五页 （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）（3）绝对值相等的正、负误差出现的机会大致相等，可相互抵消；（对称性）（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；（有界性）（4)同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即 。（抵偿性）偶然误差的特性：本讲稿第十三页，共五十五页若用图表示，偶然误差服从正态分布。正态分布曲线的数学方程式方差为偶然误差平方的理论平均值：标准差为本讲稿第十四页，共五十五页第二节 评定精度的标准 为对观测值的精度作出科学的评定，常用中误差、极限误差、相对误差为评定精度的标准。一.中误差 定义 在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次观测，观测值l1，l2，ln，偶然误差（真误差）1，2，n，则中误差M的定义式为：本讲稿第十五页，共五十五页式中：M2称为中误差平方。实际工作中，由于n值总是有限的，故使用时M的估值常由中误差m表达，即式中：分析 中误差小，观测精度高。本讲稿第十六页，共五十五页例 已知：用甲乙两台仪器对同一角各观测十次，其真误差为：解：本讲稿第十七页，共五十五页本讲稿第十八页，共五十五页 二.相对误差 中误差和真误差是绝对误差。仅用中误差衡量观测值的精度对某些测量工作来说，还不能正确反映观测的质量。相对误差k 是中误差的绝对值 m与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即 本讲稿第十九页，共五十五页例 已知：D1=100m,m1=0.01m D2=200m,m2=0.01m 求：K1,K2 解：一般情况 角度，高差用m表示、钢尺量距用k表示。本讲稿第二十页，共五十五页较差率在距离量测中，常用往返测量结果的较差率来进行检合。较差率为较差率是真误差的相对误差。较差率愈小，观测结果愈可靠。本讲稿第二十一页，共五十五页 三.极限误差（容许误差）定义 由偶然误差的特性知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。误差出现在微小区间中的概率以倍中误差为区间中误差出现的概率本讲稿第二十二页，共五十五页通常以3倍中误差为真误差极限误差的估值，即 极3m。测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差，即容=2m 或 容=3m。作用 区别误差和错误的界限。k=1(m)=0.683=68.3%k=2(2m)=0.954=95.4%k=3(3m)=0.997=99.7%本讲稿第二十三页，共五十五页第三节 观测值的算术平均值及改正数 一.算术平均值（最或然值、似真值）设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为l1、l2ln，中误差为m1、m2mn，则其算术平均值（最或然值、似真值）为可证明其合理性和可靠性可证明其合理性和可靠性 本讲稿第二十四页，共五十五页推导过程设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为（i=1，2，n）将上式相加得或故本讲稿第二十五页，共五十五页则有由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，x趋近于零，即 n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。本讲稿第二十六页，共五十五页二观测值的改正值算术平均值与观测值之差称为观测值的改正值（v）：v1=x-l1 v2=x-l2 vn=x-ln上列等式相加，得 v=nx-l则v=n l-l=0可证明vi符合“最小二乘原则”本讲稿第二十七页，共五十五页第四节.观测值的精度评定（中误差）第一公式 第二公式 其中 vi似真误差（观测值改正数）条件X（观测值真值）已知条件X（观测值真值）未知，x（算术平均值）已知观测值平均值本讲稿第二十八页，共五十五页证明：（i=1，2，3，n）（a）两式相减，有即（b）（c）本讲稿第二十九页，共五十五页将上列等式两端各自平方，并求其和，则将和代入上式，则式中：（PQ）（d）本讲稿第三十页，共五十五页由于为偶然误差，它们的非自乘积仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特性，即代回原式中，得（e）将（e）式代入（d）式移项即证毕本讲稿第三十一页，共五十五页本讲稿第三十二页，共五十五页第五节 误差传播定律及应用 一.概念 在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为误差传播定律。即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差。求直接观测值的中误差本讲稿第三十三页，共五十五页例 三角形中，已知：A、B角的中误差为mA、mB，求：C角中误差mC。解：，C角是直接观测值A、B角的函数。mC=?例 高差测定中的 ，h是直接观测值a、b的函数。本讲稿第三十四页，共五十五页二、观测值的函数（一）和差函数（二）倍函数（三）线性函数（四）一般函数本讲稿第三十五页，共五十五页三.线性函数设线性函数的一般式为：式中：为系数；为独立观测值。当观测值的中误差分别为时，按误差传播定律，函数的中误差用下式计算：本讲稿第三十六页，共五十五页nn本讲稿第三十七页，共五十五页本讲稿第三十八页，共五十五页各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。设平均值的中误差为mx，则有故由此可知，算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍。例如对某量进行n次等精度观测算术平均值为本讲稿第三十九页，共五十五页例本讲稿第四十页，共五十五页 可见，1次丈量的中误差为1.5mm,其相对误差为 0.0015/120=1/80000 6次丈量的算术平均值的中误差为0.6mm,其相对误差为 0.0006/120=1/200000本讲稿第四十一页，共五十五页增加观测次数对算术平均值精度的作用本讲稿第四十二页，共五十五页 例如，在比例尺为l：500的地形图上量得某两点间的距离d1347mm，图上量距的中误差md=土02mm，则换算为实地两点间的距离D及其中误差mD为 D=500 134.7mm=67.35m mD=500(0.2mm)=0.1m 写成 D=67.35 0.1m倍函数z=kx的中误差为mz=kmz本讲稿第四十三页，共五十五页四、和差函数的中误差设有和差函数 z=x1 x2 xn 是中，x1 xn为独立变量，其中误差为m1m2,顾及k1=k2=kn=1则得和差函数的中误差等精度自变量的和差函数的中误差mz=m n本讲稿第四十四页，共五十五页五.一般函数P=ab本讲稿第四十五页，共五十五页设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；为独立观测值的中误差。求函数的全微分，并用“”替代“d”，得本讲稿第四十六页，共五十五页式中：是函数对的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：本讲稿第四十七页，共五十五页例已知：测量矩形的两边a=20.000.02m,b=50.000.04m 求：矩形面积A及其中误差mA 解：1.函数式 A=ab=100米2 2.全微分 dA=bda+adb 3.中误差式 （m）本讲稿第四十八页，共五十五页例已知：测量斜边D=50.000.05m，测得倾角=15000030 求：水平距离D 解：1.函数式 2.全微分 3.化为中误差 （m）本讲稿第四十九页，共五十五页六.求观测值函数中误差的步骤和方法 1.列出观测值函数的表达式：2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：式中，是用观测值代入求得的值。本讲稿第五十页，共五十五页 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值，其真误差之间须满足下式，即 4.计算观测值函数中误差本讲稿第五十一页，共五十五页误差传播定律的应用 一、距离测量的精度 二、角度测量的精度 （一）水平较观测精度 （二）多边形角度闭合差的规定 三、水准测量的精度 （一）两次测定高差时的误差规定 （二）水准路线的高差测定误差本讲稿第五十二页，共五十五页第七节 权 一.观测值的权 各非等精度观测值的可靠程度，可用一个数值来表示，称其为各观测值的权。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。权通常用“p”表示。本讲稿第五十三页，共五十五页二.权与中误差的关系 权与中误差的平方成反比。三.加权算术平均值及其中误差 单位权中误差为 加权算术平均值中误差为本讲稿第五十四页，共五十五页 实用中常用观测值的改正数 来计算中误差 ，有本讲稿第五十五页，共五十五页