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流体的能量方程本讲稿第一页，共二十一页广义能量守恒问题 n【定律】宏观运动中总能量包括机械能和热能（内能）。能量的不同形式间可以相互转化，可以从一种形式转化成另一种形式。对孤立系统：总能量保持不变（可以有形式的转化）。对非孤立系统：总能量的变化等于外力做功（包括质量力和系统外部的面力做功）和热量的输入。2本讲稿第二页，共二十一页数学表达式：流体的总能量方程 n两点说明：一般机械能包括动能和位能，而位能是由于引力作用产生的，而流体中流点之间的引力作用非常小，一般不予以考虑，所以流体的机械能只考虑动能部分。流体总能量方程的假设：设流体是“完全气体”，此时流体的内能可以写成：，是定容比热。n对非孤立系统：总能量的变化等于外力做功（包括质量力和系统外部的面力做功）和热量的输入。下面一项项的看：（取一块体积为，面积为 的小流体块）。3本讲稿第三页，共二十一页n总能量：机械能和热能(内能)(对流体)动能和内能，即：n（单位质量的内能和动能）：n小流体块总能量的变化率：n质量力做功率：n面力做功率：n热流入量（如单位时间经过辐射或其他原因传入小流体块的总热量）：nq 是单位质量流体块受到的热流入量。4本讲稿第四页，共二十一页n合并积分部分，并把全微分写到积分号里面去，再除以密度后，得到：n由于流体块是任意的，则积分号中的部分形成单位质量流体块的能量方程（流体的能量守恒定律）：5本讲稿第五页，共二十一页动能方程n1、动能方程的推导n流体的运动方程为：n两边用速度矢点乘：n上式即为【动能方程】n注意：这里的P的结果是一个矢量，在XYZ都有分量，可以理解成P，P是应力张量）6本讲稿第六页，共二十一页n因为：n可得：n (2.65)7本讲稿第七页，共二十一页动能方程各项的理解8本讲稿第八页，共二十一页n :分成两部计算 和n此项表示：由于表面力不均匀所做的功率。由于表面力不均匀所做的功率。9矢量矢量标量标量本讲稿第九页，共二十一页n上式中每一项都是应力乘以变形速度，所以该项的物理意义就上式中每一项都是应力乘以变形速度，所以该项的物理意义就是流体变形过程中表面应力做功。是流体变形过程中表面应力做功。10标量标量本讲稿第十页，共二十一页广义牛顿假设代入后的动能方程n牛顿粘性假设：（2.36）n代入 （2.65）可得：n其中：11本讲稿第十一页，共二十一页动能方程各项的含义n左边：动能变化率：质量力做功：面力做功的和：微团膨胀（压缩）做功所增加（减少）的动能：-E 恒为负值，表示由于粘性摩擦总是动能减少（损耗）12本讲稿第十二页，共二十一页热流量方程n前面已导出了总能量（包括动能和内能）的变化方程：n现在我们又有了动能方程：n（2.64）-（2.66）=【总能量总能量】【动能动能】=【内能方程内能方程】13本讲稿第十三页，共二十一页能量方程的比较：14备注：红线部分是微团膨胀（压缩）做功，紫线部分是粘性摩擦效应。本讲稿第十四页，共二十一页n比较可得：压缩效应：流体膨胀做功 增加动能而减少内能。内能转换成动能；流体压缩做功 减少动能而增加内能，动能转化成内能。摩擦效应：E 恒为正值。摩擦效应恒使动能减少而使内能增加。压缩效应和粘性效应在总能量公式中不出现，因为它们对动能的贡献和对内能的贡献刚好相反，是动能和内能的转换，而且转换的能量数值时一样的，因而不会使总能量发生变化。通过压缩效应，动能可以转化成内能，内能可以转化成动能，因此压缩效应是可逆的。而摩擦效应恒使动能减少而使内能增加，是不可逆的。外力做功使能量得以传递（外界传递给流体），而压缩性和粘性效应是使能量在流体内部转换。15本讲稿第十五页，共二十一页理想流体能量方程：n理想流体：n动能方程：(2.66)n内能方程：16本讲稿第十六页，共二十一页伯努利方程（Bernoulli）n伯努利方程 实际上是动能方程（2.66）的特例，此时讨论的流体是一种特殊的流体及其运动形式，即：理想不可压流体作定常运动的动能方程（积分形式）。n假设条件：17本讲稿第十七页，共二十一页n从理想流体的动能方程（2.66）出发18本讲稿第十八页，共二十一页n将以上两个结果代入（2.66）并整理合并就得到在以上 4 个假定下的动能方程：n括号中的三项分别是：动能、位能和压力能，上式说明这三者之和的个别变化为零。n因为定常运动迹线和流线重合，则对（2.72）沿流线（迹线）积分得到：nC 是流线的函数，不同流线C 取值不同，同一流线取个值。19本讲稿第十九页，共二十一页重力作用下的伯努利方程n在重力场中流体受到的主要质量力是重力，设重力加速度为g，某一高度为z，则重力位势是：n代入（2.73）得到：n (2.73)此为常用的伯努利方程此为常用的伯努利方程n该该式式物物理理意意义义：在在重重力力场场中中，理理想想不不可可压压缩缩流流体体作作定定常常运运动动时时，在在一一定定流流线线（迹迹线线）上上，流流体体质质点点的的动动能能、位位能能和和压压力力能能之之和和（综综机机械械能能）保持不变。保持不变。20本讲稿第二十页，共二十一页伯努利方程的应用 理想不可压流体作定常运动时存在伯努利方程（2.73），它是一个代数方程，使用方便，可以用它代表方程中的某些微分方程，减轻数学困难。理想不可压流体作定常运动时存在伯努利方程（2.73），它将速度和压力联系起来，可以“测压求速”，而不用解复杂的运动方程。应用皮托管。21本讲稿第二十一页，共二十一页