空间解析几何基本知识《微积分》.ppt

7-1 空间解析几何基本知识空间解析几何基本知识 1第一节一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系二、曲面及其方程的概念二、曲面及其方程的概念 三、几种常见的曲面及其方程三、几种常见的曲面及其方程空间解析几何基本知识 第七七章 2面面面面面面x轴轴(横轴横轴)y轴轴(纵轴纵轴)z 轴轴(竖轴竖轴)复习复习1.空间直角坐标系空间直角坐标系32.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式复习复习平面平面平面平面A x+B y+C z=0通过坐标原点；通过坐标原点；通过坐标原点；通过坐标原点；3.3.平面一般方程平面一般方程平面一般方程平面一般方程的几种特殊情况：的几种特殊情况：的几种特殊情况：的几种特殊情况：截距式截距式4平面过平面过平面过平面过x 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面/x 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面Cz+D=0平行于平行于平行于平行于xoy 坐标面；坐标面；坐标面；坐标面；平面过平面过平面过平面过y 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面/y 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面By+D=0平行于平行于平行于平行于xoz 坐标面；坐标面；坐标面；坐标面；平面平面平面平面Ax+D=0平行于平行于平行于平行于yoz 坐标面坐标面坐标面坐标面.平面过平面过平面过平面过z 轴；轴；轴；轴；平面平面平面平面/z 轴轴轴轴.54.4.柱柱柱柱面方程的面方程的面方程的面方程的特征：特征：特征：特征：只含两个坐标的方程只含两个坐标的方程只含两个坐标的方程只含两个坐标的方程一定是一定是一定是一定是柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，母线母线母线母线就就就就平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴.二元方程二元方程二元方程二元方程都是柱面方程都是柱面方程256引例引例.分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面.的坐标也满足方程的坐标也满足方程解解:在在 xoy 面上，面上，表示圆表示圆C,沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线轴的一切直线故在空间故在空间过此点作过此点作所形成的曲面称为所形成的曲面称为圆柱面圆柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,表示表示圆柱面圆柱面在圆在圆C上任取一点上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面三、柱面7观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动C一般的一般的8C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动9C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动10C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动11C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动12C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动13C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动14C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动15C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动16C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动17C平行于定直线平行于定直线平行于定直线平行于定直线并并并并沿定曲线沿定曲线沿定曲线沿定曲线C C 移动的移动的移动的移动的直线直线直线直线L所所所所(1)(1)定义定义定义定义形成的曲面形成的曲面形成的曲面形成的曲面称为称为称为称为柱面柱面柱面柱面.三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程成过程成过程:这条这条这条这条定曲线定曲线定曲线定曲线C C 叫叫叫叫柱面的柱面的柱面的柱面的准线，准线，准线，准线，直线直线直线直线L L 叫柱面的叫柱面的叫柱面的叫柱面的母线母线母线母线.动动动动18（2 2）求柱面方程）求柱面方程）求柱面方程）求柱面方程设设设设母线母线母线母线/z轴，轴，轴，轴，准线是准线是准线是准线是xoyxoy面面面面上的曲线上的曲线上的曲线上的曲线C C:F F(x,yx,y)=0.)=0.设设设设M(x,y,z)是柱面上的任一点，是柱面上的任一点，是柱面上的任一点，是柱面上的任一点，作作作作面于面于面于面于N N，则则则则N N(x,yx,y)是曲线是曲线是曲线是曲线F F(x,yx,y)=0)=0上的点，上的点，上的点，上的点，则得则得则得则得M(x,y,z)点满足的方程为点满足的方程为点满足的方程为点满足的方程为F F(x,yx,y)=0.)=0.所以柱面方程为：所以柱面方程为：所以柱面方程为：所以柱面方程为：xzyoN NM(x,y,z)F(x,y)=0只含只含只含只含x,yx,y而缺而缺而缺而缺z z的方程的方程的方程的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系在空间直角坐标系在空间直角坐标系在空间直角坐标系中表示母线平行于中表示母线平行于中表示母线平行于中表示母线平行于z z 轴的柱面，轴的柱面，轴的柱面，轴的柱面，而准线为而准线为而准线为而准线为xoyxoy面上的曲线面上的曲线面上的曲线面上的曲线C C.19g g(y y,z z)=0)=0是是是是母线母线母线母线/x x轴轴轴轴,g g(y y,z z)=0)=0所构成的所构成的所构成的所构成的柱面柱面柱面柱面.类似地：类似地：类似地：类似地：准线为准线为准线为准线为yozyoz面面面面内的曲线内的曲线内的曲线内的曲线h h(x x,z z)=0)=0是是是是母线母线母线母线/y y轴轴轴轴,h h(x x,z z)=0)=0所构成的所构成的所构成的所构成的柱面柱面柱面柱面.准线为准线为准线为准线为xozxoz面面面面内的曲线内的曲线内的曲线内的曲线注意：注意：注意：注意：柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程一定是一定是一定是一定是二元方程二元方程二元方程二元方程，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，母线母线母线母线就就就就平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴.20柱面方程的柱面方程的柱面方程的柱面方程的特征：特征：特征：特征：只含两个坐标的方程只含两个坐标的方程只含两个坐标的方程只含两个坐标的方程一定是一定是一定是一定是柱面方程柱面方程柱面方程柱面方程，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，缺少哪个变量字母，母线母线母线母线就就就就平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴平行于哪个坐标轴.二元方程二元方程二元方程二元方程都是柱面方程都是柱面方程21抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面平面平面平面平面例例例例 问方程问方程问方程问方程表示什么曲面？表示什么曲面？表示什么曲面？表示什么曲面？zxyo抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面22椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面椭圆柱面xyzo抛物柱面抛物柱面抛物柱面抛物柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面双曲柱面例如：例如：例如：例如：母线母线母线母线/x x轴轴轴轴母线母线母线母线/z z轴轴轴轴母线母线母线母线/y y轴轴轴轴23例例1 1 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？何中分别表示什么图形？解解斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方程方程24(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转25(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转26(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转27(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转28(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转29(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转30(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转31(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转32(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转33(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转34(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转35(1)(1)定义定义定义定义以一条以一条以一条以一条平面平面平面平面这条这条这条这条定直线定直线定直线定直线叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲叫旋转曲3、旋转曲面、旋转曲面曲线曲线曲线曲线绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的绕该平面上的一条直线一条直线一条直线一条直线旋转一周旋转一周旋转一周旋转一周所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为所生成的曲面称为旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面.面的面的面的面的轴轴轴轴曲面的曲面的曲面的曲面的母线母线母线母线.曲线曲线曲线曲线叫旋转叫旋转叫旋转叫旋转36例如例如:37(2)建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:设所求曲面上的动点为设所求曲面上的动点为则点则点M一定是曲线上的某点转过来的一定是曲线上的某点转过来的.故旋转曲面方程为：故旋转曲面方程为：当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,设设则有则有则有则有该点转到该点转到38思考思考：当曲线：当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？总之：旋转曲面的方程方程：总之：旋转曲面的方程方程：总之：旋转曲面的方程方程：总之：旋转曲面的方程方程：yozyoz面上的曲线面上的曲线面上的曲线面上的曲线f f(y,zy,z)=0)=0绕绕绕绕z轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的旋转旋转旋转旋转曲面的方程：曲面的方程：曲面的方程：曲面的方程：yozyoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 f f(y,zy,z)=0)=0绕绕绕绕y y轴旋转一周的轴旋转一周的轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面的方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程为为为为39例例3.求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为40旋转抛物面旋转抛物面oyzxxyzo41例例4.试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方42该该该该曲面叫曲面叫曲面叫曲面叫圆锥面圆锥面圆锥面圆锥面.方程的方程的方程的方程的特点：特点：特点：特点：叫叫叫叫标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面.三元二次齐次方程三元二次齐次方程三元二次齐次方程三元二次齐次方程.同理：同理：同理：同理：中心轴是中心轴是中心轴是中心轴是 y y 轴轴轴轴中心轴是中心轴是中心轴是中心轴是 x x 轴轴轴轴.也是也是也是也是标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面.也是也是也是也是标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面标准圆锥面.是上半圆是上半圆是上半圆是上半圆锥面锥面锥面锥面.43旋旋转抛物面转抛物面.旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面.如如445、其它的二次曲面、其它的二次曲面三元二次方程三元二次方程 这类曲面通常都可以先经过旋转这类曲面通常都可以先经过旋转,然后伸缩变形得到然后伸缩变形得到称为称为旋转旋转+伸缩型二次曲面伸缩型二次曲面.其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)特征：特征：特征：特征：451.定义：定义：三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法,伸缩法伸缩法.其基本类型有其基本类型有:椭椭球面球面、抛物面、双曲面、锥面抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)相应地相应地相应地相应地平面平面平面平面被称为被称为被称为被称为一次曲面一次曲面一次曲面一次曲面用用用用坐标面坐标面坐标面坐标面和和和和平行于坐标面的平面平行于坐标面的平面平行于坐标面的平面平行于坐标面的平面与曲面相截与曲面相截与曲面相截与曲面相截,了解曲面的全貌，了解曲面的全貌，了解曲面的全貌，了解曲面的全貌，即为即为即为即为截痕法截痕法截痕法截痕法.考察其交线考察其交线考察其交线考察其交线（即截痕）（即截痕）（即截痕）（即截痕）的形状，的形状，的形状，的形状，然后加以综合，从而然后加以综合，从而然后加以综合，从而然后加以综合，从而截痕法：截痕法：5、其它的二次曲面、其它的二次曲面46伸缩法：伸缩法：47ozyx将旋转椭球面将旋转椭球面 沿沿 轴方向伸缩轴方向伸缩 倍得：倍得：2.椭球面椭球面椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面球面球面4849（2）双叶双曲面）双叶双曲面ozyxxyoz旋转双曲面旋转双曲面 ,沿轴沿轴 方向伸缩方向伸缩 倍倍50 xyzooyzx51设设a,b均大于均大于0,以平行于以平行于xOy面的面的平面平面z=z0(z00)截椭圆抛物面截椭圆抛物面,所得截线方程为所得截线方程为它表示平面它表示平面z=z0上一上一椭圆椭圆.以以z=0截曲面截曲面,截得一点截得一点为为原点原点.52以平行于以平行于xOz面的平面面的平面y=y0截截曲面曲面,截截线线方程方程为为 这这是平面是平面y=y0上一条抛物上一条抛物线线.以平行于以平行于yOz面的平面面的平面x=x0截曲截曲面所得截面所得截线线是平面是平面x=x0上的一上的一条抛物条抛物线线.53xyzo541.空间曲面空间曲面三元方程三元方程 球面球面 旋转曲面旋转曲面 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又又如如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.圆锥面的方程圆锥面的方程时时 叫标准圆锥面叫标准圆锥面.yoz面上的曲线面上的曲线f(y,z)=0绕绕绕绕z轴旋转一周所成的轴旋转一周所成的旋转旋转曲面的方程：曲面的方程：内容小结内容小结552.二次曲面二次曲面三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面:56BB57空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组例如例如,方程组方程组 表示圆柱面与平面的交表示圆柱面与平面的交线线 C，是空间一个椭圆是空间一个椭圆.C一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程补补58又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.由于由于由于由于是上半球面是上半球面是上半球面是上半球面,是圆柱面是圆柱面是圆柱面是圆柱面,交线如图交线如图交线如图交线如图,叫维维尼曲线叫维维尼曲线叫维维尼曲线叫维维尼曲线59例如例如:下列方程组各表示怎样的曲线？下列方程组各表示怎样的曲线？所以，空间曲线的方所以，空间曲线的方程是不唯一的程是不唯一的.60三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影CCC关于关于 的投影柱面的投影柱面C在在 上的投影曲线上的投影曲线Oxzy设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面的投影柱面面的投影柱面方程应为消方程应为消z后的方程：后的方程：所以所以C在在xoy面面上的投影曲线的方程为：上的投影曲线的方程为：61例例例例3.3.解：解：解：解：代入消元代入消元代入消元代入消元求求求求交线交线交线交线C C的投影曲线的方程的投影曲线的方程的投影曲线的方程的投影曲线的方程.由所给的由所给的由所给的由所给的方程相减得：方程相减得：方程相减得：方程相减得：消去消去消去消去z z得关于得关于得关于得关于xoy面的面的面的面的投影柱面投影柱面投影柱面投影柱面的方程为的方程为的方程为的方程为则交线则交线则交线则交线C C在在在在xoyxoy面上的面上的面上的面上的投影曲线投影曲线投影曲线投影曲线的方程为：的方程为：的方程为：的方程为：在在在在xoy面上面上面上面上62总之总之:设空间曲线设空间曲线C消去消去 z得投影柱面得投影柱面xoy 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程与与xoy 面方程联立得面方程联立得C 在在消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面面上的投影曲线方程上的投影曲线方程63oyzx例例4.求求曲线曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线的交线在在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面面的投影柱面方程为的投影柱面方程为 所以所以 此曲线在此曲线在 xoy 面面上的投影曲线方程为上的投影曲线方程为,它与所给平面的它与所给平面的64例例5 5 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为65所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，66例如例如,所围的立体在 xOy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xOy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xOy 面上的投影曲线所围之域.67补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面68