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1矢量代数与场论第矢量代数与场论第2讲讲本网页可由如下网址下载：www.应用数学.cnwww.应用数学.中国2例例7 矢性函数A(t)的模不变的充要条件是证证 假定|A|=常数,则有 A2=|A|2=常数.两端对t求导,则有3反之,若有则有从而A2=|A|2=常数.所以有|A|=常数.4例例7 矢性函数A(t)的模不变的充要条件是这个例子,可以简单地说成:定长矢量A(t)与其导矢互相垂直.特别,对于单位矢量A(t)有比如例2中的圆函数,就有e(j)e1(j)(因e1(j)=e(j).5例例8 导矢的物理意义.设顶点M在空间运动,其矢径r与时间t的函数关系为r=r(t).这个函数的矢端曲线l就是质点M的运动轨迹.6xyzOr(t)MlM0s7为了说明导矢 的物理意义,假定质点在时刻t=0时位于点M0处,经过一段时间t以后到达点M,其间在l上所经过的路程为s.这样,点M的矢径r显然是路程s的函数,而s又是时间t的函数,从而可以将r=r(t)看作r通过中间变量s而成为时间t的一个复合函数.于是由复合函数的求导公式(7)有8式中 的几何意义,如前段所述,是在点M处的一个切向单位矢量,指向s增大的一方.因此,它表示在点M处质点的运动方向,现以t t表之;而式中的 是路程s对t的变化率.所以它表示在点M处质点运动的速度大小,如以v表之,则9由此可见,导矢 表出了质点M运动的速度大小和方向,因而它就量质点M运动的速速度矢量度矢量v,即若定义二阶导矢 ,则 为质点M运动的加速度矢量加速度矢量.10例例9 一质点以常角速度在圆周r=ae(j)上运动,证明其加速度为其中v为速度v的的模.证证11其中 为角速度的模,已知其为常数.从而加速度由于 ,所以12第三节第三节 矢性函数的积分矢性函数的积分131.矢性函数的不定矢性函数的不定积积分分定定义义 若在t的某个区间I上,有B(t)=A(t),则称B(t)为A(t)在此区间上的一个原函数原函数.在区间I上,A(t)的原函数的全体,叫做A(t)在I上的不定不定积积分分,记作这个定义和数性函数的不定积分完全类似,故和数性函数一样,若已知B(t)是A(t)的一个原函数,则有14矢性函数不定积分的基本性质:其中k为非零常数,a为非零常矢.15据此,若已知A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k,则由(3.4)式与(3.5)式有此式把求一个矢性函数的不定积分,归结为求三个数性函数的不定积分.16此外,数性函数的换元积分法与分部积分法亦适用于矢性函数.但由于两个向量的矢量积服从负交换律,即AB=-(BA),故其分部积分公式的右端应为两项相加17例例1 计算解解 用换元积分法,令u=j2+1,则18例例2 计算解解 用分部积分法,有19例例3 设A=2tj+tk,B=eti+sintj+tk,计算解解其中 AB=(2t2-tsint)i+tetj-2tetk.由于 A=2j+k为常矢,故20故212.矢性函数的定矢性函数的定积积分分定定义义 设矢性函数A(t)在区间T1,T2上连续,则A(t)在T1,T2上的定积分是指下面形式的极限:其中T1=t0t1t20,为不包括锥点的圆锥曲面.695.求矢量场A=x2i+y2j+(x+y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程.解 矢量线方程为对左边的等号两边积分得再将 写成70利用等比定理可得71将M(2,1,1)代入,得最后得由左边式子得因此答案又有