不等式与不等关系知识梳理.docx
不等式与不等关系【考纲要求】1 ,了解不等关系、不等式（组）的实际背景;2 .理解并掌握不等式的性质，理解不等关系;3 .能用不等式的基本性质解决某些数学问题.【知识网络】【考点梳理】要点一、符号法则与比较大小1 .实数的符号任意xeR,则x>0 （x为正数）、x = 0或元<0 （尢为负数）三种情况有且只有一种成立。2 .两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：。>0力>0=>+ >0；a<Q,b<0>a + b<Q两个同号实数相乘，积是正数符号语言：a > O,h > 00 ；a<0,b<0>ab>0两个异号实数相乘，积是负数符号语言：a>Q,b<0ab<0任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：x e R> X2 > 0, x = 0ox2=0.3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数。、b a-Z7>0OQ>b;a-Z? vOoacb ；a-b = 0oa = b。对于任意实数、三种关系有且只有一种成立。要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解 不等式的主要依据。要点二、不等式的基本性质.不等式的基本性质a > bob<aa>b,b> c n a> c(1) a + b<c<>a<c ba> b<>a + c> b+cc > 4 n ac > bea > b< c = 0 ac = bec<Q> ac< be.不等式的运算性质(1 )力 n法法则：a> b,c> d a + c> b + d(2 )减法法则：a > b,c> d >a-d>b-c(3 )乘法法贝 ij： a> b>O,c> d >0>ao bd >0a h(4)除法法则：a>b>0,c>d>0>->->0d c(5 )乘方法则：a> b>Q> an >bn > 0(n e N,n > 2)(6)开方法则：a>b>0a>/b>0(neN,n>2)要点诠释：不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等 式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。要点三、比较大小的方法1、作差法：任意两个代数式。、b,可以作差ab后比较与0的关系，进一步比较。与人的大 小。2、作商法：任意两个值为正的代数式。、b,可以作商后比较q与1的关系，进一步比较。与人 b的大小。3、中间量法：若a>b且b>c,则a>c (实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.【典型例题】类型一：比较代数式（值）的大小例1.已知：X,ywR,比较/ 一 %y+y2和x+y_的大小.【解析】(x2 -xy + y2)-(x+ y-1) =(x2 -x) + (y2 - y)-xy + l= (2x2 -2x + 2y2 -2y-2xy + 2)(%2 2x +1 + y2 2y +1 + x2 + y - 2xy)= J(x-l)2+(y 1)2 +(%»V (x-l)2>0, (y-l)2>0, (x-)2>00 (jf-l)2 +(y-l)2 +(1-» 2 0/ x xy + y Nx+y 1.【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的, 变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.举一反三：【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题一】【变式1】若<人<0,则下列不等式中，不能成立的是（）1 111I, 12 7 2A. 一B. >C. q > bD. > b -a ba-b b【解析】取特殊值。=2/=1,代入验证即可【答案】B【变式2已知。>（。6。0）,试比较,和的大小. a br A/J-Lr- . 11 b a【解析】=，a b ab又a>b 即Z?-q<0当 ab > 0 时，一< 一； a b当cib v。时，一一.a b【变式3】x>0且xwl,比较1 +log、3与210gx 2的大小.3_r【解析】作差：（1 + log v 3）-2 log v 2 = logA 3x- log v 4 = log v（）0 < x < 1c3尤(1)当 3x , 即Ovx<l时' logY()>0,此时l + log1.321og，.0< < 1440cxe1(2)当卜工，即“£0> 1144时取等号.3144时取等号.34时取等号.34时取等号.3x > 1，与43 x(3)当( 3即 1<xV时，log,.(一)W0,此时 l + log(3«21og12,其中 x =0<x<l344x > 1,c43x(4)当即 x一时，log()0,此时 l + logQ210gl2> 13414例2.已知：a、 beR+ ,且aw己比较优，与的大小.【解析】:。、bwR* , ：.aabh>0, ahba >0作商：喏=(务("=(务令"=令"(*)a b b a b b b(1)若 a>b>0,则 1 , a-b>0, (-y-b > 1,此时 aabh > abba 成立； bb(2)若 b>a0,则a-b<0, (-) >1,此时 4 时成立。bb综上，相总成立。【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是：判定式子的符号并作商变形-判定商式大于1或等于1或小于1 f结论。2、正数的事的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.举一反三：【变式】已知a、b、c为互不相等的正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.【解析】a、b、c为不等正数，不失一般性，设a>b>c>0,这时a2ab2%本0, ab+cbc+aca+b >0,则有:2 2ah2b 2cq h rd U J _ a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-a)+(c-b) _ z_a-b /_h-c /_c-a ab+cbc+aca+b c*/a>b>c>0分hr >l9a-b>0;>l,b-c>0;0< < 1 ,c-a<0 bca由指数函数的性质可知:(-)a-b > 1,(-)b-c > i,(-ra > i b c ao 2ah2b 2c:h > 1,即 a2ab2%2c > ab+cbc+aca+bab+cbc+aca+b类型二：不等式性质的应用例3. (2016 浙江高考)已知m b>0,且存1,厚1,若log/>l ,则(A.g-D(b-l) <0 B.(4-1)(。4)>0 C. (b)(b-a)<0 D. (b-l)(b-a)>0【解析】logablog(o=l,当 d> 时，b>ci>,故 6T>0, h-a>0,所以(b-1)S-a)>0；当 0<tz<l 时，故 Z?-l<0,<0,所以S-1)S-q)>0,故选 D.【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.举一反三：【变式1】对于实数力，C,判断以下命题的真假.(1)若 a > Z?,则 ac > 仇?；(3)若avZ?<0,则(5)若ab,则3>1 ； b(7)若a>b,则布>正；(2)若 ac2 > be1,则 a > Z?；(4)若avZ?vO,则|若|b<(6)若 且 则 a>0,Z?<0.a b(8)若 > Z;,则 | a Ib【解析】(1 )因为C的符号不定，所以无法判定QC和 C的大小，故原命题为假命题(2 )因为7c2,所以cwO,从而。20,故原命题为真命题.(3 )因为avb且<0,所以；又a < b且 <0,所以以b>人2 综合得a2>ab>b故原命题为真命题.(4 )两个负实数，绝对值大的反而小.故原命题为真命题.(5)因为当人<0时，色>1不成立，故原命题为假命题. b(6)(6)(6)a>b因为< 11> a ba-b > 01 1 ,>(bb-a < 0nb-a >C、ab，所以就<0又因。>b,所以4>0/0,故原命题为真命题.(7)因为y =户的函数在K上单调递增，故原命题为真命题.(8)因为，。>，所以|>匕，故原命题为真命题.【高清课堂：不等式与不等关系394833典型例题四】【变式2已知1< +力<3且2<a<4，求2。+ 3。的取值范围.【解析】设 2a +3b = x(a + b) + y(a-) = (x+ y)a + (x-y)b所以 2q + 3 = 9(a + b) + (')(一) 22由一1 <a+Z?<3 得< 一( + /?)< 2 22由 2 V(jb < 4 得2 < ()( /?) < 19 51所以< 一( + /?) + ()(a Z?) < 32 229即一一<2a + 3b<32【变式3已知a<0, b<1那么下列不等式成立的是(a aA. a > > b b2【解析】D；特殊值法:a aA. a > > b b2【解析】D；特殊值法:B.a a7 > > ab2 baaC. > a > -bh2a aD. > > cib h2令。=-1, b = -2类型三：不等关系在实际问题中的应用例4.(2015怀化一模)某单位有员工1000名，平均没人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定 优化产业结构，调整出x(xeN*)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人创造利润为( 10 a- (a0)万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.I 500)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工 从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润不高于剩余员工创造的年总利润，则。的取值范围是多 少？【解析】由题意得10(1000x)(l + 0.2x%)N10xl000即12一500x40,又x0,.0vx<500即最多调整500名员工从事第三产业.( 3x、从事第三产业的员工创造的年总利润为10卜-莉Jx万元,从事原来产业的员工的年总利润为10(1000-%) 1 +10(1000-%) 1 +万元( 3x、<10(1000-x)(l + 0.2x%)<10(1000-x)(l + 0.2x%)<10(1000-x)(l + 0.2x%)则 10 axI 500 J3r21/. ax-< 1000 + 2x-xx1500500ca( 生+ X + 1000即上+ 32 + l恒成立 500500 x21000 -x +>2500x2x 1000500 x=4当且仅当工上=即x = 500时等号成立.500 x.0<<5即4的取值范围为（0,5.举一反三：【变式】（2015高邮市校级模拟）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大 棚，大棚周围均是宽为1米的小路（阴影部分表示），大棚占地面积为S平方米，其中:尻1：2试用表示Sx米(2)若要使S最大，则x,y的值各位多少？【解析】(1)由题意可得孙二1800力=2。则产+/?+3=3+3.”=(%-2" + (% 3)5 =(3%一8) = 3(%8)与= 1808 3%-yQ_1QnQ Q 8 1800_1QnQ 4800Y、八、S = 1808 3x x= 1808 3x H(x > 0)<1808-23x = 1808-240 = 1568当且仅当3x =生"，即x = 40时取等号,S取得最大值，此时y = 幽 =45 xx当x = 40, y = 45时,S取得最大值.
