2019学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式训练 北师大版选修4-5.doc

12.22.2 排序不等式排序不等式一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析 法一 用特值法进行验证.令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A 项：axbycz14914；B 项：azbycx34310；C 项：aybzcx26311；D 项：aybxcz22913.故选 B.法二 由顺序和乱序和反序和.可得azbycx最小.答案 B二、填空题2.设a1，a2，a3，an为正数，那么Pa1a2an与Q的大小关系是_.解析 假设a1a2a3an，则 ，1 an1 an11 a1 a1并且aaaa，2 12 22 32nPa1a2a3an，是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理PQ.答案 PQ三、解答题3.设a1，a2，an为正数，求证：a1a2an.证明 不妨设a1>a2>>an>0，则有a>a>>a2 12 22n也有B>C，则有a>b>c，由排序原理：顺序和乱序和.2aAbBcCaBbCcA；aAbBcCaCbAcB；aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).aAbBcC abc 3法二 不妨设A>B>C，则有a>b>c，由排序不等式·，aAbBcC 3ABC 3abc 3即aAbBcC(abc)，. 3aAbBcC abc 35.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明 不妨设abc>0，a2b2c2，由排序原理：顺序和逆序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2b，c3a3a2cc2a，三式相加得 2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以 2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.当且仅当abc时，等号成立.6.设a，b，c是正实数，求证：aabbcc(abc).abc 3证明 不妨设abc>0，则 lg alg blg c.据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即 lg(aabbcc)lg(abc).abc 3故aabbcc(abc).abc 37.设xi，yi (i1，2，n)是实数，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一个排列.求证： (xiyi)2 (xizi)2.ni1ni13证明 要证 (xiyi)2 (xizi)2ni1ni1只需证y2xiyiz2xizi.ni1 2ini1ni1 2ini1因为yz，只需证xizixiyi.ni1 2ini1 2ini1ni1而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立.ni1ni18.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3b3c3)>a2(bc)b2(ac)c2(ab).证明 不妨设a>b>c>0.则a2>b2>c2，ab>ac>bc，a2(ab)b2(ac)c2(bc)>a2(bc)b2(ac)c2(ab)，即a3c3a2bb2ab2cc2b>a2(bc)b2(ac)c2(ab)，又a2>b2>c2，a>b>c，a2bb2aa2(bc)b2(ac)c2(ab).