北师版八年级数学上册第二章实数教学ppt课件.ppt

2.1 认识无理数第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件情境引入学习目标1.了解无理数的基本概念（重点）2.借助计算器估计无理数的近似值导入新课导入新课 小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？情境引入2活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？111无理数的认识一讲授新课讲授新课活动探究1212121211111111111111111111还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为S大正方形=2，所以a2=2.从从“数数”的角度的角度：因为 a2=2,而12=1,22=4 所以 12a222,所以 1 a 2，a不是整数BAC取出一个三角形 从从“形形”的角度的角度：在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a根据三角形的三边关系：AC-BC aAC+BC 所以0a2，且 a1，所以a不是整数 追问2：a可能是分数吗？a是分母为2的分数吗？a是分母为3的分数吗？a是分母为4的分数吗？a是分母为多少的分数？归纳：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？完成下列表格1a2面积为面积为2问题2：a究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索边长a面积S1a21.4a1.51.41a1.421.414a1.4151.414 2a1.414 31S41.96S2.251.988 1S2.016 41.999 396S2.002 2251.999 961 64S2.000 244 49（1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？（2）a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？a=1.414 213 56，它是一个无限不循环小数想一想估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位.b=2.236067978，它也是一个无限不循环小数做一做 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？无限不循环小数为无理数.如=3.14159265，0.101 001 000 1（两个1之间依次多1个0）要点归纳例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，-，0.57,0.1010001000001（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.典例精析.解：有理数有：3.14，0.57；.无理数有：0.1010001000001.整数有_ 有理数有_ 无理数有_ 填空：在实数【跟踪训练】归纳总结1圆周率 及一些最终结果含有 的数.2有一定的规律，但不循环的无限小数.无理数的特征:当堂练习当堂练习1.下列各数：1，(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A【解析】因为3.14是小数，是分数，是无限循环小数，所以选项A,B,D都是有理数；是无限不循环小数，所以是无理数.2.下列各数中，是无理数的为（）A.3.14 B.C.D.C(1)有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数;（）(4)有理数是有限小数.（）3.判断题4.以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为25的正方形；B.面积为 的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形.C认识无理数无理数的概念及认识课堂小结课堂小结借助计算器求无理数的近似值2.2 平方根第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 算术平方根八年级数学上（BS）教学课件情境引入学习目标1.了解算术平方根的概念及其性质（重点）2.会求一个数的算术平方根.（难点）导入新课导入新课历史感悟毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前570年公元前年公元前500年年)公元前公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。导入新课导入新课万物皆数导入新课导入新课情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？5 dm因为 52=25讲授新课讲授新课算术平方根的概念一填一填(1)正方形的面积1916360.2513460.5边长已知正方形的面积，求出其边长：请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：，2345 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？填一填(2)一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“”，读作“根号 a”特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 概念学习试一试：你能根据等式 122=144，说出144的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？144的算术平方根是12，即 12温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值解:(1)因为302900，所以900的算术平方根是30，即 ;(2)因为121，所以1的算术平方根是1，即 ；例1：求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14典例精析非平方数的算术平方根只能用根号表示.(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ;(4)14的算术平方根是 .注意：带分数化为假分数注意：不要等于-25解:(1)因为 所以 的算术平方根是3;求下列各数的算术平方根：练一练算术平方根的性质：非负数非负数算术平方根具有双重非负性(a0)合作探究问题1：负数有算术平方根吗？问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？算术平方根的性质及其实际应用二解:因为|m-1|0，0，又|m-1|+=0,所以|m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.例2 若|m-1|+=0,求m+n的值.几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.归纳3.若 ，则a=；2.若 ，则m=；4.若a-3|+，则代数式 =_.1.若|a+3|=0，则a=；-3751练一练到目前为止，表示非负数的式子有：a0,|a|0,a2 0,0,例3：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解:将h19.6代入公式 ，得 ，所以正数 (秒).即铁球到达地面需要2秒.当堂练习当堂练习1.填空题：若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；若 ，则 16492.求下列各数的算术平方根（1）25；（2）；（3）0.36；（4）4981解：(1)因为 ，所以25的算术平方根是5，即(2)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即(3)因为 ，所以0.36的算术平方根是0.6，即（4），所以 的算术平方根是2.3.已知：x+2y|+求x-3y+4z的值.解：由题意得：解得解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得故每块地板砖的边长是0.5 m.4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？5.如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽解：设正方形ABFE的边长为a,则a2=144 ,所以 a=12,所以 AB=AE=EF=CD=12.又因为 SABFE=2SCDEF ,设FC=x,所以 144=212x,x=6.所以BC=BF+FC=12+6=18(cm).所以长方形的长为18cm,宽为12cm.ABCDEF算术平方根算术平方根的概念课堂小结课堂小结算术平方根的双重非负性算术平方根的应用2.2 平方根第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 平方根八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.学会进行开平方运算（重点）2.能够求一个数的平方根（重点）导入新课导入新课复习引入2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.加法与减法互逆；乘法与除法互逆.思考：乘方有没有逆运算？1.什么叫算术平方根？若一个正数的平方等于 a 则这个数叫做 a 的算术平方根,表示为 .(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_(2)的平方等于 ，那么 的算术平方根就是_(3)展厅地面为正方形，其面积49 m2，则边长为_m.讲授新课讲授新课平方根的概念及性质一37问题：平方等于9，49的数还有吗？填一填(1)写出左圈和右圈中的“？”表示的数：6464-11-1111110.60.60 0没有没有x2x8-84343-？1210.360-4-0.6-0.6 填一填(2)一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）.平方根的定义：概念学习平方根的表示方法、读法根号被开方数（a是非负数）读作：正、负根号a1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-4有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数试一试通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平方根？（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？想一想因为任何实数的平方都为非负数，所以因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根负数没有平方根，也没有算术平方根.平方根的性质：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.要点归纳归纳总结1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.平方根与算术平方根的联系与区别：2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.联系：开平方及相关运算二两种运算有什么不同？+1-1+2-2+3-3149x x2149+1-1+2-2+3-3这是什么运算？平方运算x2 x 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根.平方与开平方有什么关系？开平方的定义：典例精析例1 求下列各数的平方根:(1)64；(2)(4)(5)11.(3)0.0004；解：（1），64的平方根为8;（2），的平方根为 ;（3），0.0004的平方根为0.02;（4），的平方根为 25;（5）11的平方根是 .方法总结 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.647.20思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由你能把所得的公式用字母表示出来吗？?与 的性质三归纳总结 的性质一般地，a (a 0).例2 计算：解：想一想：本小题用到了幂的哪条基本性质呢？积的乘方：（ab）2=a2b220.10如何用字母表示你所得的公式呢？思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由归纳总结 的性质一般地，a (a 0).思考：当a0时，=？例3：化简解：你还有其它解法吗？想一想：如何化简 呢？=(a 0)；(a0).=a a-a辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错（）（）（）（）议一议：如何区别 与？从运算顺序看从取值范围看从运算结果看先开方,后平方先平方，后开方a0a取任何实数a a 当堂练习当堂练习2.下列说法不正确的是_A.0的平方根是0 B.的平方根是2C.非负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数1.下列说法正确的是_-3是9的平方根;25的平方根是5;-36的平方根是-6;平方根等于0的数是0;64的算术平方根是8.B3.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A.a+1 B.C.a2+1 D.D4.x为何值时，有意义？解：因为 ，所以 .-1 012a5.实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 .16.利用 a （a 0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5 ；(4)0.25 ；(5)；(6)0.7.已知 ，求x的值解：x=12 或 x=10.平方根平方根的概念课堂小结课堂小结开平方及相关运算平方根的性质 a (a 0).2.3 立方根第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件情境引入学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（重点，难点）导入新课导入新课 某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？情境引入讲授新课讲授新课立方根的概念及性质一问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为x,则这就是要求一个数,使它的立方等于27.因为 所以 x=3.正方体的棱长为3.想一想(1)什么数的立方等于-8？(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？-2u立方根的概念立方根的概念 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根记作.u立方根的表示立方根的表示 一个数a的立方根可以表示为:根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号 a，填一填：填一填：根据立方根的意义填空：因为 =8，所以8的立方根是（）；因为()3=0.125,所以0.125的立方是（）；因为()3 0，所以0的立方根是（）；因为 ()3 8，所以8的立方根是（）；因为()3 ，所以 的立方（）.02-20-2u立方根的性质立方根的性质 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零.立方根是它本身的数有1,-1,0；平方根是它本身的数只有0.知识要点开立方及相关运算二a叫做被开方数3叫做根指数 每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”.如：x3=7时，x是7的立方根求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数注意:这个根指数3绝对不可省略.典例精析例1 求下列各数的立方根:（1）（2）（3）（4）（5）(5)-5的立方根是（3）（4）0.216;（5）5.求下列各式的值:体会：对于任何数体会：对于任何数a,a 240-2-3探究探究13 32 _=334 _=温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.体会：对于任何数体会：对于任何数a,a 8 270-8-27探究探究2求下列各式的值:体会:(1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.(2)负号可从“根号内”直接移到“根号外”.求下列各式的值:(1)；(2)探究探究3-0.2-0.2平方根立方根性质正数0负数表示方法被开方数的范围 两个，互为相反数一个，为正数00没有平方根一个，为负数平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数非负数求下列各数的值:（1）0.5，（2）4，（3）4，（4）5，（5）16.练一练例2 求下列各式的值:()当堂练习当堂练习1.判断下列说法是否正确.(2)任何数的立方根都只有一个;()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零;()(5)0的平方根和立方根都是0.()(1)25的立方根是5;()(4)一个数的立方根不是正数就是负数;2.比较比较3，4，的大小的大小.解：解：33=27，43=64因为因为27 50 64所以所以3 400000，公园的宽没有1 000m.(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？x2xS=400000 x2x=400000,2x2=400000,x2=200000,x=大约是多少呢？解：设公园的宽为x米.讲授新课讲授新课估算的基本方法一问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？通过“精确计算”可比较两个数的大小关系通过“估算”也可比较两个数的大小关系估算无理数大小的方法：(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；(2)根据所要求的误差确定小数部分.要点归纳所以 的值约是3.5或3.6.例1：怎样估算无理数 (误差小于0.1)？的整数部分是3，典例精析按要求估算下列无理数：解：练一练例2：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗?解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理 6所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头.例3：通过估算，比较 与 的大小.解：用估算法比较数的大小二方法归纳 两个带根号的无理数比较大小的结论：1.2.3.若a,b都为正数，则 方法归纳 对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法：1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；2.当符合相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小.当堂练习当堂练习 1.通过估算,比较下面各组数的大小:2.一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3.如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1 m）解：设圆柱的高为 xm，那么它的底面半径为0.5xm,则:3.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为32.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？Z解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有估算估算的基本方法课堂小结课堂小结估算在生活中的应用2.5 用计算器开方第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解计算器开方的方法（重点）2.能够运用计算器开方比较数的大小（重点）导入新课导入新课观察与思考试着在自己的计算器里输入同样的算式想一想开方运算要用到哪些键？讲授新课讲授新课用计算器开方一对于开平方运算，按键顺序为：被开方数=对于开立方运算，按键顺序为：被开方数SHIFT=例1：用计算器计算：(1);(2);(3).解：(1)5.89,(2)(27),(3)显示 2.426 932 22；显示 0.658 633 756；显示 10.871 789 69.-1285,SHIFTSHIFT用计算器比较数的大小二例2：利用计算器比较下列两数的大小.解:按键：3，2，显示显示按键：1.442 249 57；1.414 213 562；所以与SHIFT 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算随着开方次数的增加，你发现了什么？计算的结果越来越接近试一试改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律？是的当堂练习当堂练习1.用计算器比较下面两数的大小：(1)(2)解:（1）3.236 067 978；（2）3.339 148 045；2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）（2）；（3）；（4）；（1）解：（1）28.28；（2）1.639；（3）0.7616；（4）-0.7560.3.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？利用你发现的规律试写出 4444 3 333+=5 555.=5 555.223 3334 444+用计算器开方使用计算器进行开方运算课堂小结课堂小结用计算器开方比较数的大小用计算器探索数的规律2.6 实数第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解实数的意义，能对实数按要求分类了解实数的意义，能对实数按要求分类.(重点）2.了解实数范围内相关概念的意义了解实数范围内相关概念的意义.(重点）3.了解实数与数轴上点的一一对应关系了解实数与数轴上点的一一对应关系.能用数轴上能用数轴上 的点表示无理数的点表示无理数.(难点）难点）导入新课导入新课数学危机思考：属于哪一类数呢？把下列各数分别填入相应的括号内：0.101，有理数 无理数导入新课导入新课回顾与思考问题1 我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式讲授新课讲授新课实数的概念和分类一问题2 整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？可以可以思考 由此你可以得到什么结论？有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数的也都是有理数.叫做无理数.想一想：所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？如：=3.1415926535897932384626 1.01001000100001（两个1之间依次多一个0）无限不循环小数思考：是无理数吗？1.010 010 001 000 01是无 理数吗？1.01001000100001(1)含 的一些数；(2)含开不尽方的数；(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001它们都是无限不循环小数，是无理数思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有 理数的分类吗？据此你能给实数分类吗？无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实 数（1）按定义分分数整数女孩子子男孩子妈妈含开方开不尽的数有规律但不循环的小数含有 的数 试一试 你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？试试看？，.正数负数正实数负实数数实负有理数正有理数0负无理数正无理数0正实数负实数（2）按性质分 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样例如：与 互为相反数与 互为倒数问题：在有理数范围内，能进行哪些运算？判断下列各式成立吗？有理数的运算及运算律对实数仍然适用 典例精析例1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值解：(1)4，的相反数是4，倒数是 ，绝对值是4.(2)15，的相反数是15，倒数是 ，绝对值是15.(3)的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 .（1）a是一个实数，它的相反数为 ，绝对值为 ；（2）如果a 0，那么它的倒数为 .归纳总结思考1：如图，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？因为圆的周长为,无理数可以用数轴上的点来表示.0-2-11324A实数与数轴上的点二提醒：播放状态下点击画面操作思考2：你能在数轴上表示出 和-吗？1111 把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 .21012-每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.实数和数轴上的点是一一对应的.提醒：播放状态下点击画面操作视频：在数轴上表示 和例2：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为1和 ，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数解：数轴上A，B两点表示的数分别为1和 ，点B到点A的距离为1 ，则点C到点A的距离为1 ，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为1x，1x1 ，x2方法总结 本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值例3：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有()A6个 B5个 C4个 D3个解析：1.414，和5.1之间的整数有2，3，4，5，A，B两点之间表示整数的点共有4个C【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论当堂练习当堂练习1.判断题：实数不是有理数就是无理数.（）无理数都是无限小数.（）带根号的数都是无理数.（）无理数一定都带根号.（）两个无理数之积不一定是无理数.（）两个无理数之和一定是无理数.（）数轴上的任何一点都可以表示实数.（）无理数都是无限不循环小数.（）2.把下列各数填入相应的集合内：（1）有理数集合：）有理数集合：（2）无理数集合：）无理数集合：（3）整数集合：）整数集合：（4）负数集合：）负数集合：（5）分数集合：）分数集合：（6）实数集合：）实数集合：3.在-3，1，0 这四个实数中，最大的是（）A.-3 B.C.1 D.0D4.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是 【解析】1 2，2 3，在 与 之间的整数是2.AB25.实数 a,b 的位置如图 化简|a+b|a b|a0b解:由数轴可知，a+b0，ab0，从而 原式=(ab)（ab）=ab（ab）=ab（ab）=abab =2b实数有理数和无理数统称实数课堂小结课堂小结在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数与数轴上的点一一对应2.7 二次根式第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 二次根式及其化简八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点）2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）导入新课导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？n “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”n-中科院数学与系统科学研究院n 李邦河复习引入问题1 什么叫做平方根?一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根?如果 x2=a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.问题3 什么数有算术平方根?我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m 图图（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h=5t2，如果用含有h 的式子表示 t，那么t为_问题1 这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3，的算术平方根 上面问题中，得到的结果分别是：，讲授新课讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.“”称为二次根号.两个必备特征外貌特征：含有“”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有 意义?解：由x-20，得x2.当x2时，在实数范围内有意义.解：由题意得x-10，x1.解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1.要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳解：(1)无论x为何实数，当x=1时，在实数范围内有意义.(2)无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论x为何实数，在实数范围内都无意义.被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A0；(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件：A0且B0.归纳总结1.下列各式：.一定是二次根式的个数有 （）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_;(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是_.x 1 x 0且x2 练一练问题1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0.当a0时，表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时，表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时，0.问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 0.二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重非负性归纳总结例3 若 ，求a-b+c的值.解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y=,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为5解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.练一练二次根式的性质及化简三（1），；，；，；，662020填一填填一填有何发现？，6.480 ；（2）用计算器计算：，6.4800.92550.9255有何发现？要点归纳（a0，b0），（a0，b0）商的算术平方根等于算术平方根的商积的算术平方根等于算术平方根的积例5：化简解：(1)(2)(3)（1）；（2）；（3）.最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.要点归纳例6：化简：解:例7.化简:解：最简二次根式的条件：是二次根式；被开方数中不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式要点归纳当堂练习2.式子 有意义的条件是 （）A.x2 B.x2 C.x2 D.x23.若 是整数，则自然数n的值有 （）A.7个 B.8个 C.9个 D.10个D1.下列式子中，不属于二次根式的是（）CA4.当x_，在实数范围内有意义解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x30和分母x10，解得x3且x1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围解：由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，m-90，即m9.6.若x，y是实数，且y ,求 的值.解：根据题意得，x=1.y ,y ，.7.先阅读，后回答问题：当x为何值时，有意义？解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得解得x1 或x0即当x1 或x0时，有意义.能力提升：体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，有意义？解：由题意得则 解得x2或x ，即当x2或x 时，有意义课堂小结课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非负性二次根式 中,a0且 0最简二次根式2.7 二次根式第二章 实数导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 二次根式的运算八年级数学上（BS）教学课件学习目标1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算.（重点）2.灵活运用二次根式的乘法公式.（难点）导入新课导入新课1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同为一组；为一组.讲授新课讲授新课二次根式的乘除运算一还记得吗?（a0，b0），（a0，b0）二次根式的乘法法则和除法法则（a0，b0），（a0，b0）典例精析例1：计算:例2 计算:解:(3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .归纳可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则例3 计算:解:当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .归纳问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？试回顾如何计算3a22a3=.6a5提示：可类比上面的计算哦二次根式的乘法法则的推广：归纳总结多个二次根式相乘时此法则也适用，即当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即（2）x2+2x2+4y=;1.（1）3x2+2x2=;2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：解：3.能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.5x23x2+4y合作探究二次根式的加减运算二解：(1)原式=例4：计算:(2)原式=(3)原式=(4)原式=解：(5)原式=(6)原式=归纳总结u二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.要点提醒1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.化为最简二次根式 用分配律合并 整式加减 二次根式性质 分配律 整式加 减法则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 解：(1)原式=例5：计算:(2)原式=(3)原式=例6 若最简根式 与 可以合并，求 的值.解：由题意得 解得即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为，2列关于待定字母的方程求解即可.归纳【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.解：由题意得3a-8=17-2a,a=5，20-2x0，x-50，5x10.练一练1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（）A.B.C.D.D2.与最简二次根式 能合并，则m=_.13.下列二次根式，不能与 合并的是_(填 序号）.例7 已知a,b,c满足 .(1)求a,b,c的值；(2