第1章 概率论的基本概念.ppt
概率概率论论与与数理统计数理统计教师教师:李佩彦李佩彦e-mail:lipeiyan 概率论的起源问题1654年，一个赌徒向法国最权威的数学家Pascal提出一个问题：a，b两个赌徒各下注30枚金币，约定谁先赢5局将获得全部赌金。在a赢4局，b赢3局时，此次赌博不得已而中断，问怎么分配赌金才算公平？概率论的发展简史平分赌注问题，引起了Pascal的极大兴趣，他与法国另一位著名数学家Fermart进行不断的交流共同解决了此类问题。引出了概率论中一个重要的概念：数学期望。荷兰数学家Huygens研究了一系列的掷色子问题，1657年出版了论机会游戏中的计算最早的概率论专著。瑞士数学家Bernoulli解决了“赌徒输光”问题，并花费20年的时间证明了第一个大数定律，1713年，完成专著猜度术。1812年，法国数学家Laplace发表了分析的概率理论，古典概率的概念，但无法适用于一般的随机现象，暴露了现有理论的局限性。1933年，前苏联最伟大的数学Kolmogorov发表了概率论基础，给出概率的一般定义，建立了概率理论的公理化体系。从此概率论成为一门严格的数学分支。概率统计的应用气象，水纹，地震预报，人口控制等都离不了概率论这一工具。产品质量检查，生产方案设计，可靠性估计等都以数理统计为基本工具。股票，债券，期权的定价理论要用到随机分析。研究太阳黑子的变化规律要用到时间序列分析。第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念随机试验随机试验样本空间、随机事件样本空间、随机事件频率与概率频率与概率等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）条件概率条件概率独立性独立性 1 随机试验随机试验确定性现象确定性现象随机现象随机现象个别试验中结果不能确定，大量重复试验中其结果又具有统计规律性。统计规律性统计规律性:大量重复试验中所呈现的固有规律性。（P.8）具有以下特点的试验，称为随机试验 1.可在相同条件下重复进行；2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果 出现。随机试验可用字母E表示E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某城市120急救电台一昼夜接到的呼唤次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。随机实验的例 1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为S；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为e.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件样本空间样本空间随机事件随机事件 1.定义定义：样本空间S 中具有某种性质的样本点组成的集合称为随机事件，简称事件。任何事件均可表示为样本空间的某个子集，任何事件均可表示为样本空间的某个子集，由一个样本点e组成的单点集称为一个基本事件,记为e；称事件事件A发生生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。例例:对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件 A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH ；B=“三次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中 D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 x0,则 P(AB)P(A)P(B|A).此即为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。该式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).例例4 4 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次,试求试求第第1 1、2 2次取得白球、第次取得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。例例5 5 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为打破的概率为1/21/2，若第一次落下未打破，第二次，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为落下打破的概率为7/107/10，若前两次落下未打破，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为第三次落下打破的概率为9/109/10。试求透镜落下三。试求透镜落下三次而未打破的概率。（课本例次而未打破的概率。（课本例4 4）三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式例例6 6.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。定义定义 事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间S的一个划分，若满足：A1A2AnB定理定理1：设A1，,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有 该式称为该式称为全概率公式全概率公式。例例7 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？甲乙定理定理2 2 ：设A1,An是S的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有 例例9数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 独立性独立性一、两事件独立一、两事件独立定义定义1 设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B相互独立。定理一显然，如果 P(A)0,则该式也等价于：P(B|A)P(B)定理二定理二：若事件A、B相互独立，则有(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立。二、多个事件的独立二、多个事件的独立定义定义2：若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，如果对任意k (1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。三、事件独立性的应用三、事件独立性的应用1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 The end
