教育专题：1312线段的垂直平分线的性质.ppt

课前复习课前复习1 1、什么叫轴对称图形、什么叫轴对称图形?什么叫对称轴什么叫对称轴?如果一个图形沿一条线折叠，直线两如果一个图形沿一条线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做叫做轴对称图形轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这条直线就是它的对称轴。2 2、什么叫、什么叫两个图形两个图形成轴对称成轴对称?把一个图形沿着某把一个图形沿着某一条直线折叠一条直线折叠,如果如果它能够与另一个图形重合它能够与另一个图形重合,那么就说这那么就说这两个图形两个图形关于关于这条直线（成轴）对称这条直线（成轴）对称,这条直线叫做这条直线叫做对称轴对称轴,折叠后重合的点折叠后重合的点是对应点，叫做是对应点，叫做对称点对称点。如图，如图，ABC和和 A B C 关于直线关于直线MN对称对称,点点A、B、C 分别是分别是 A、B、C的对称点，线的对称点，线段段 AA、B B、C C 与直线与直线MN有何关系有何关系?CAACB BMNB知识探究知识探究PQS AABBCCPQSMN对于其他的对应点也有类似情况。对于其他的对应点也有类似情况。因此，对称轴所在的因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的直线经过对称点所连线段的中点，中点，并且并且垂直垂直于这条线段。于这条线段。也就是也就是MNMN垂直平分垂直平分AAAA。我发现了我发现了:点点A A与点与点A A重合重合,AP=A,AP=AP P，APM=AAPM=APM=90PM=90，对称轴是过对称点所连线段的对称轴是过对称点所连线段的中点中点的的垂线垂线。经过线段的经过线段的中点中点并且并且垂直垂直于这于这条线段的条线段的直线直线，叫做这条线段的，叫做这条线段的垂直平分线垂直平分线。如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线。直平分线。线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线的定义图形轴对称的性质图形轴对称的性质AABBCCPQSMN轴对称图形的性质轴对称图形的性质 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。对对应点所连线段的垂直平分线。线段线段ABAB的中垂线的中垂线MNMN，垂足为点垂足为点C C；在；在MNMN上任取上任取一点一点P P，连结连结PAPA、PBPB；量一量：量一量：PAPA、PBPB的长，你能发现什么？的长，你能发现什么？PMNCPA=PBP1A=P1B由此你能得到什么规律？由此你能得到什么规律？命题命题：线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距点和这条线段两个端点的距离相等。离相等。画一画画一画ABP1命题：线段垂直平分线上的命题：线段垂直平分线上的点点和这条线段和这条线段两个端两个端点点的距的距离相等。离相等。已知：如图，已知：如图，直线直线MNAB,MNAB,垂足为垂足为C,C,且且AC=CB.AC=CB.点点P P在在MNMN上上.求证：求证：PA=PBPA=PB证明：证明：MNAB ，PCA=PCB。在在 PAC和和 PBC中，中，AC=BC，PCA=PCB，PC=PC ，PAC PBC。PA=PB。证一证证一证ABPMN NC性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。点的距离相等。ABPMNCPA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的与这条线段两个端点的距离相等距离相等性质定理有何作用？性质定理有何作用？可证明线段相等可证明线段相等定理应用格式：定理应用格式：AC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),PA=PBPA=PB(线段垂直平分线上的点与这条线线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点距离相等段两个端点距离相等).).线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质ABPCPA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上 （利用全等（利用全等,仿照性质定理自己证明）仿照性质定理自己证明）反过来，如果反过来，如果PA=PBPA=PB，那么点那么点P P是否在线段是否在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上?换一换换一换判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。判定定理有何作用？判定定理有何作用？用途：判定一条直线是线段的中垂线用途：判定一条直线是线段的中垂线判定定理：判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。平分线上。性质定理：性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上ABPC线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等性质定理和判定定理存在什么关系？性质定理和判定定理存在什么关系？题设和结论正好相反，是互逆关系题设和结论正好相反，是互逆关系线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质 已知：已知：两点两点A A、B B，和点和点A A、B B的距离相等的的距离相等的点应在什么位置？点应在什么位置？AB用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一一 个简易的个简易的“弓弓”，“箭箭”通过木棒通过木棒中中央央的孔射出去，怎样才能保持射出去的方的孔射出去，怎样才能保持射出去的方向与木棒垂直呢？向与木棒垂直呢？只要只要AC=BCAC=BC就就可以了可以了结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上ABC为什么？为什么？（1 1）线段）线段ABAB的垂直平分线上的所有点都满的垂直平分线上的所有点都满 足足“和点和点A A、B B的距离相等的距离相等”这一条件吗？这一条件吗？线段的垂直平分线线段的垂直平分线可以看作是和线段两可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合个端点距离相等的所有的点的集合想一想想一想（2 2）满足）满足“和和A A、B B的距离相等的距离相等”的所有点都的所有点都在线段在线段ABAB的垂直平分线上吗？的垂直平分线上吗？1 1、如图直线、如图直线MNMN垂直平分线段垂直平分线段ABAB，则，则AE=AFAE=AF。2 2、如图线段、如图线段MNMN被直线被直线ABAB垂直平分，则垂直平分，则ME=NEME=NE。3 3、如图、如图PA=PBPA=PB，则直则直线线MNMN是线段是线段ABAB的垂直的垂直平分线。平分线。拓展：如图所示，在如图所示，在ABC中，中，AB=AC32，MN是是AB的垂直平分线，且有的垂直平分线，且有BC=21，求求BCN的周长。的周长。1、如图，如图，ADBC，BD=DC，点，点C在在AE的垂直平分线上，的垂直平分线上，AB、AC、CE 的长度的长度有什么关系？有什么关系？AB+BD 与与DE有什么关系？有什么关系？P34练习练习AC=CEAB+BD=DE2、如图，、如图，AB=AC，MB=MC，直线直线AM是线段是线段BC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？问题（一）如何作轴对称图形的对称轴？问题（一）如何作轴对称图形的对称轴？作出对应点所连线段的作出对应点所连线段的垂直平分线垂直平分线1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？AB问题（二）如何作出线段的问题（二）如何作出线段的垂直平分线垂直平分线？（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线）（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线）根据线段的垂直平分线的定义：根据线段的垂直平分线的定义：（）找出线段中点（）找出线段中点（）过中点作这条线段的垂线（）过中点作这条线段的垂线如何用尺规作图法作出线段的垂直平分线？如何用尺规作图法作出线段的垂直平分线？思考：思考：提示提示：由由两点确定一条直线两点确定一条直线和和线段的垂直平分线段的垂直平分线的性质线的性质，只要作出到，只要作出到线段两端点距离相等线段两端点距离相等的两个点的两个点即可即可例1.如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？AB分别以点分别以点A A、B B为圆心，以大为圆心，以大于于 ABAB的长为半径作弧，两的长为半径作弧，两弧相交于弧相交于C C、D D两点；两点；作直线作直线CDCD。CDCD即为所求的直线。即为所求的直线。C CD D作法：作法：ABCABCMNP2.ABC与与ABC关于某条直线对称，请你作关于某条直线对称，请你作出它的对称轴。出它的对称轴。MN就是它们的对称轴。就是它们的对称轴。分析：只要找到任意一组对应点，作出这对对应点分析：只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴 1作法：作法：1.找出五角星的一对对应点找出五角星的一对对应点、,连接连接.作出线段作出线段的垂直平分线的垂直平分线33就是一条对称轴。就是一条对称轴。五角星共有几条五角星共有几条条对称轴？条对称轴？1.有时我们感觉两个图形是轴对称，如何验证？有时我们感觉两个图形是轴对称，如何验证？2.如图，如图，ABC与与DEF关于某条直线成轴对称吗？关于某条直线成轴对称吗？归纳：归纳：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。平分，那么这两个图形关于这条直线对称。BACEDF用这种方法可以判定两个图形是否关于某条直线对称。用这种方法可以判定两个图形是否关于某条直线对称。1.作出下列图形的对称轴作出下列图形的对称轴2 无数条无数条 2 1 3OABC 角是轴对称图形，对称轴是角平线所角是轴对称图形，对称轴是角平线所在的直线在的直线.角是不是轴对称图形？角是不是轴对称图形？两相交直线是不是轴对称图形？两相交直线是不是轴对称图形？如图甲，如图甲，ABC和和ABC关于直线关于直线L对称，延长对应线段对称，延长对应线段AC和和AC，两条延，两条延长线相交吗？交点与对称轴长线相交吗？交点与对称轴L有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，有什么关系？延长其他对应线段呢？在图乙中，AC与与A C又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗又如何呢？再找几个成轴对称的图形观察一下，能发现什么规律吗？结论：结论：成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点成轴对称的两个图形，对应线段的延长线如果相交，交点一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段一定在对称轴上；对应线段的延长线如果不相交，也就是对应线段所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行所在的直线平行，那么它们也与对称轴平行二、二、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条与一条线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、一、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离相等。点的距离相等。PA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直的垂直平分线上平分线上与一条线段两个端点距离相等的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点与这线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。端点距离相等的所有点的集合。四、用尺规作图作已知线段的垂直平分线；四、用尺规作图作已知线段的垂直平分线；五、用作垂直平分线的方法作轴对称图形或成五、用作垂直平分线的方法作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴；轴对称的两个图形的对称轴；六、验证图形是否是轴对称图形或是否成轴对六、验证图形是否是轴对称图形或是否成轴对称。称。线段的垂直平分线线段的垂直平分线课本课本P64P64习题习题3.13.1作作 业业