(精品)7.4数学归纳法.ppt
Mathematical Induction观察：观察：6 63 33 3，8 85 53 3，10103 37 7，12125 57 7，14143 31111，787867671111，任何一个大于等于任何一个大于等于6 6的偶数，都可以表示成的偶数，都可以表示成两个奇质数之和两个奇质数之和 哥德巴赫哥德巴赫猜想猜想一、引入一、引入我们能得出什么结论？我们能得出什么结论？结论：结论：已知一个数列的通项公式是已知一个数列的通项公式是an=(=(n2 2-5-5n+5)+5)2 2，容易验证：容易验证：a1 1=1=1，a2 2=1=1，a3 3=1=1，a4 4=1=1，结论结论1 1：结论结论2 2：该数列的前该数列的前4 4项都是项都是1 1；该数列的所有项都是该数列的所有项都是1 1引例引例1 1：引例引例2 2：不完全不完全归纳法归纳法完全归纳完全归纳法法不完全归不完全归纳法纳法结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳法不完全归纳法二、归纳法的定义二、归纳法的定义归纳法归纳法：像这种由一系列特殊事例得出一像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。般结论的推理方法，叫做归纳法。三、问题情境三、问题情境 多多米米诺诺骨骨牌牌演演示示 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（2 2）验证验证前一个骨牌与后个骨牌有递推关系；前一个骨牌与后个骨牌有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）（相当于前牌推倒后牌）（1 1）保证第一个骨牌倒下；（相当于推倒第一块骨牌）保证第一个骨牌倒下；（相当于推倒第一块骨牌）仿照这个原理，我们得到数学中一个正确仿照这个原理，我们得到数学中一个正确有效的归纳法有效的归纳法“数学归纳法数学归纳法”三、问题情境三、问题情境 与自然数有关的数学命题，常用下面的方法证明：与自然数有关的数学命题，常用下面的方法证明：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立，时命题成立，（2 2）假设当）假设当n=n=k(kNk(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立，时命题也成立，这种证明方法叫做这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法四、数学归纳法原理四、数学归纳法原理三、问题情境三、问题情境 多多米米诺诺骨骨牌牌与与数数学学归归纳纳法法 递推基础不可少结论写明莫忘掉归纳假设要用到五、例题举隅五、例题举隅1 1、归纳法、归纳法：由由特殊特殊到到一般一般，是数学发现的，是数学发现的 重要方法重要方法2 2、数学归纳法、数学归纳法：适用于证明与自然数有关适用于证明与自然数有关 的命题的命题注意注意（1）递推基础不可少；递推基础不可少；（2）归纳假设要用到；）归纳假设要用到；（3）结论写明莫忘掉）结论写明莫忘掉重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论；六、课堂小结六、课堂小结哥哥德德巴巴赫赫猜猜想想v德国数学家哥德巴赫经过观察德国数学家哥德巴赫经过观察,发现一个有趣的现象：发现一个有趣的现象：任何大于任何大于5的整数的整数,都可以表示为三个质数的和都可以表示为三个质数的和,他猜他猜想这个命题是正确的想这个命题是正确的,但他本人无法给予证明但他本人无法给予证明.1742年年6月月6日日,哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学哥德巴赫去求教当时颇负盛名的瑞士数学家欧拉家欧拉,欧拉经过反复研究欧拉经过反复研究,发现问题的关键在于证发现问题的关键在于证明任意大于明任意大于2的偶数能表示为两个质数的和的偶数能表示为两个质数的和.于是于是,欧欧拉对大于拉对大于2的偶数逐个加以验算的偶数逐个加以验算,最后欧拉猜想上述最后欧拉猜想上述结论是正确的。结论是正确的。6月月30日，他复信哥德巴赫，信中指日，他复信哥德巴赫，信中指出：出：“任何大于任何大于2的偶数都是两个质数的和，虽然我的偶数都是两个质数的和，虽然我还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。还不能证明它，但我确信无疑这是完全正确的定理。”这就是著名的哥德巴赫猜想这就是著名的哥德巴赫猜想.返回这个问题是德国数学家哥德巴赫（CGoldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和,哥德巴赫猜想,因此常被称为“11问题.“哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1966年，我国年轻的数学家陈景润，在经过多年潜心研究之后，成功地证明了12，也就是任何一个大偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和。这是迄今为止，这一研究领域最佳的成果，距摘取这颗数学王冠上的明珠仅一步之遥，在世界数学界引起了轰动。12 也被誉为陈氏定理。返回练习巩固练习巩固 2 2、某某个个命命题题与与自自然然数数n 有有关关,如如果果当当n=k(kN+)时时该该命命题题成成立立,那那么么可可推推得得当当n=k+1 时时该该命命题题也也成成立立.现现在在已已知知n=5 时时该该命命题题不不成成立立,那那么么请请判判断断以以下下各各命命题题的的正正确确性：性：(1)n=4 时该时该命命题题不成立不成立;(2)n=6 时该时该命命题题不成立不成立;(3)n=1 时该时该命命题题可能成立可能成立;(4)n=6 时时该该命命题题可可能能成成立立.如如果果n=6 时时该该命命题题成成立立,那那么么对对于任意于任意n6,该该命命题题都成立都成立.(1)(4)正确,(2)(3)不正确.1 1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：“”在验证在验证n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是成立时，左边计算所得的结果是2教学过程：教学过程：教学目标：教学目标：1、知道归纳法的意义2、理解数学归纳法的意义3、理解不完全归纳法与数学归纳法的区别与联系4、掌握数学归纳法证明命题的一般步骤教学重点与难点：教学重点与难点：教学重点：数学归纳法的证明步骤教学难点：数学归纳法的原理教学方法：教学方法：讲授法、练习法教学手段：教学手段：多媒体辅助教学
