沪科版八年级数学下册第18章勾股定理课件全套.ppt

沪科版沪科版 八年级数学八年级数学 下册下册 第第1818章章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时 认识勾股定理认识勾股定理1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升勾股定理勾股定理勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系直角三角形直角三角形是一类特殊三角形，它的三边具有是一类特殊三角形，它的三边具有一一种特定种特定的关系，这一关系称为的关系，这一关系称为勾股定理勾股定理.早早在公元在公元3世世纪纪，我国数学家我国数学家赵爽就用弦图证明了这个定理赵爽就用弦图证明了这个定理.1知识点知识点勾股定理勾股定理探究探究在在行距、行距、列列距距都是都是1的方的方格网格网中中，任意作出，任意作出几几个个以以格点为格点为顶点顶点的的直角三角形直角三角形，分别分别以三角形的各以三角形的各边为正方形边为正方形的一边，向形外作正方形的一边，向形外作正方形，如图如图.并并以以S1，S2与与S3分别分别表示几个正方形的表示几个正方形的面积面积.知知1 1导导知知1 1导导观察观察图图(1)，并填写，并填写:S1=_个个单位面积；单位面积；S2=_个个单位面积；单位面积；S3=_个个单位面积单位面积.观察观察图图(2)，并填写，并填写:S1=_个个单位面积；单位面积；S2=_个个单位面积；单位面积；S3=_个个单位面积单位面积.图图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样中三个正方形面积之间有怎样的的关关系系，用它们的边长表示，用它们的边长表示，是是_.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）勾股定理：勾股定理：直角三角形的两条直角边的直角三角形的两条直角边的平方和平方和，等于斜边等于斜边的平方的平方；数学表达式：数学表达式：在在RtABC中，中，C90，ABc，ACb，BCa，则，则a2b2c2.要点精析：要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；勾股定理适用于任何一个直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边；系，已知其中任意两边可以求出第三边；(3)勾股定理的变形公式：勾股定理的变形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边运用勾股定理时，要分清斜边、直角边因为在因为在RtABC中，中，C90，a，b，c分别分别是是RtABC的三边，所以能分清斜边和直角边，的三边，所以能分清斜边和直角边，从从而而可以用勾股定理解决问题可以用勾股定理解决问题例例1在在RtABC中，中，C90，A，B，C的的对边分别是对边分别是a，b，c.(1)已知已知ab6，求，求c；(2)已知已知c3，b2，求，求a；(3)已知已知a b2 1，c5，求，求b.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）导引：导引：(1)C90，ab6，由勾股定理，得由勾股定理，得(2)C90，c3，b2，由勾股定理，得由勾股定理，得(3)C90，a b2 1，a2b.由由勾股定理，得勾股定理，得(2b)2b252，解得解得b知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用利用勾股定理求直角三角形的边长的方法勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都一般都要经过要经过“一分二代三化简一分二代三化简”这这“三步曲三步曲”，即即一一分：分：分清分清哪条边是斜边，哪些是直角边哪条边是斜边，哪些是直角边；二二代：代：将已知边长及将已知边长及两边之间的关系式代入两边之间的关系式代入a2b2c2（假设假设c是是斜边斜边）；三化三化简简在在ABC中，中，C90，AB=c，BC=a，CA=b.(1)a=6，b=10，求求c；(2)a=8，c=17，求求b；知知1 1练练（来自（来自教材教材）12(中考中考株洲株洲)如图，以直角三角形的三边如图，以直角三角形的三边a，b，c为为边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直边或直径，分别向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 S1S2S3的图形个数是的图形个数是()A1B2C3D4知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3若一个直角三角形的两直角边的长分别为若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为斜边长为c，则下列关于，则下列关于a，b，c的关系式中不正的关系式中不正确的是确的是()Ab2c2a2Ba2c2b2Cb2a2c2Dc2a2b2知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）(中考中考荆门荆门)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BAC的平分线已知的平分线已知AB5，AD3，则，则BC的的长长为为()A5B6C8D10知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4错解：错解：第三边的长为第三边的长为错解分析：错解分析：由于习惯了由于习惯了“勾三股四弦五勾三股四弦五”的说法，故将题意理的说法，故将题意理解为两直角边长分别为解为两直角边长分别为3和和4，于是斜边长为，于是斜边长为5.但但这这一一理解的理解的前提是前提是3，4为直角边长，而题中并未加以任何为直角边长，而题中并未加以任何说说明明，因而因而所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边所求的第三边可能为斜边，也可能为直角边所以需要分所以需要分情况求解情况求解正确解法：正确解法：(1)当两直角边长分别为当两直角边长分别为3和和4时，时，第三边的长为第三边的长为(2)当斜边长为当斜边长为4，一直角边长为，一直角边长为3时，时，第三边的长为第三边的长为例例2已知直角三角形的两边长分别为已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长，求第三边的长知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）运用勾股定理求第三边的长时，一般要经过运用勾股定理求第三边的长时，一般要经过“一分一分二代三化简二代三化简”这三步曲；若由题目中的条件找不到斜边，这三步曲；若由题目中的条件找不到斜边，则需要运用则需要运用分类讨论思想分类讨论思想求解求解1(1)已知一直角三角形的两边长分别为已知一直角三角形的两边长分别为8，15，则第三边长为则第三边长为_；(2)已知一直角三角形的两边长分别为已知一直角三角形的两边长分别为2和和4，则第，则第三边长的平方为三边长的平方为_知知1 1练练（来自（来自点拨点拨）2(中考中考黔西南黔西南)一直角三角形的两边长分别为一直角三角形的两边长分别为3和和4，则第三边长为，则第三边长为()A5B.C.D5或或知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2知识点知识点勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系知知2 2讲讲1命题：命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么那么a2b2c2.2常用证法：常用证法：利用拼图法，通过求面积来验证；利用拼图法，通过求面积来验证；这这种种方法以数形转换为指导思想、图形拼补为手段方法以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，以以各部分面积之间的关系为依据而达到目的各部分面积之间的关系为依据而达到目的知知2 2讲讲3.用用拼图法证明命题的思路：拼图法证明命题的思路：(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积面积不会改变；不会改变；(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形利用等式性质变换验证结论成立，即拼出图形写出写出图形面积的表达式图形面积的表达式找出等量关系找出等量关系恒等恒等变变形形推导命题结论推导命题结论知知2 2讲讲例例3观察如图所示的图形，回答问题：观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图如图，DEF为直角三角形，正方形为直角三角形，正方形 P的面积的面积为为9，正方形，正方形Q的面积为的面积为15，则正方形，则正方形M的面积的面积为为_；(2)如图如图，分别以直角，分别以直角三角形三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是则这三个半圆形的面积之间的关系式是_；(用图中字母表示用图中字母表示)(3)如图如图，如果直角三角形两直角边的长分别为，如果直角三角形两直角边的长分别为3和和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积中得出的结论求阴影部分的面积知知2 2讲讲(1)根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得根据正方形的面积公式，结合勾股定理可得 DF2DE2EF2，即正方形，即正方形M的面积的面积91524；(2)另外另外由勾股定理可知由勾股定理可知AC2BC2AB2，所以所以S1S2S3；（来自（来自点拨点拨）导引：导引：知知2 2讲讲(3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直角三角阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直角三角形的面积大半圆形的面积，由形的面积大半圆形的面积，由(2)可知两个小半圆形可知两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所以阴影部分的面积的面积和大半圆形的面积，所以阴影部分的面积直角三角形的面积直角三角形的面积（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲(1)24(2)S1S2S3(3)设两个小半圆形的面积分别为设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆，大半圆形的面积为形的面积为S3，直角直角三角形三角形的面积为的面积为S，则则S阴影阴影S1S2SS3S346.（来自（来自点拨点拨）解：解：总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积边上的图形面积本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理易联想到勾股定理知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1如图，字母如图，字母B所代表的正方形的面积是所代表的正方形的面积是()A12B13C144D194知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若，若a，c的面的面积分别为积分别为3和和4，则，则b的面积为的面积为()A3B4C5D7知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3如如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都都是是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形，所有的三角形都是直角三角形若正正方形方形A，B，C，D的边长分别是的边长分别是3，5，2，3，则则最大最大正方形正方形E的面积是的面积是()A13B263C47D941运用勾股定理时应注意以下几点：运用勾股定理时应注意以下几点：(1)遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理遇到求线段长度的问题时，能想到用勾股定理.(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角没有直角三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切忌，切忌乱用勾股定理乱用勾股定理.(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条是斜边是斜边.2勾股定理勾股定理的适用条件的适用条件：直角三角形直角三角形，它反映了直角三角形三边的关系，它反映了直角三角形三边的关系，即，即已知已知直角三角形两边长可求第三边长对于直角三角形两边长可求第三边长对于非直角非直角三角形三角形问题，可根据图形特征构造问题，可根据图形特征构造直角三角形直角三角形3由勾股定理的基本关系式由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可可得到一些变形关系式得到一些变形关系式：c2a2b2(ab)22ab(ab)22ab；a2c2b2(cb)(cb)等等.1.必做必做:完成教材完成教材P57习题习题18.1T1-T32.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1818章章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理第第2 2课时课时 勾股定理在求勾股定理在求 距离中应用距离中应用1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升长度的计算长度的计算最短距离的计算最短距离的计算思考：思考：一个门框的宽为一个门框的宽为1.5m，高为，高为2m，如图所示，一，如图所示，一块长块长3m，宽，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什的薄木板能否从门框内通过？为什么？么？1知识点知识点长度的计算长度的计算勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角三直角三角形角形)与数量关系与数量关系(三边关系三边关系)有机地结合起来，在几何及有机地结合起来，在几何及日常生活实际中都有着广泛的应用由于勾股定理应用日常生活实际中都有着广泛的应用由于勾股定理应用的前提条件是直角三角形，因此在应用时，对于非直角的前提条件是直角三角形，因此在应用时，对于非直角三角形的几何问题及生活实际问题，都要将它们建模成三角形的几何问题及生活实际问题，都要将它们建模成直角三角形问题常见应用主要有如下类型：直角三角形问题常见应用主要有如下类型：知知1 1讲讲知知1 1讲讲(1)已知直角三角形的两边求第三边；已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系；已知直角三角形的一边确定另两边的关系；(3)证明含有平方关系的几何问题；证明含有平方关系的几何问题；(4)作长为作长为(n1，且，且n为整数为整数)的线段；的线段；(5)对于一些非直角三角形的几何问题、日常生活实对于一些非直角三角形的几何问题、日常生活实际中的应用问题，首先要将它们建立直角三角形际中的应用问题，首先要将它们建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构造方程或方程组解决模型，然后利用勾股定理构造方程或方程组解决现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如的云梯救人，如图图(1).已知云已知云梯梯最多只能伸长到最多只能伸长到10m，消防消防车车高高3m.救人救人时云梯伸至最长时云梯伸至最长，在在完成从完成从9m高处高处救人后，救人后，还还要要从从12m高处救人，这时高处救人，这时消防消防车车要从原处再要从原处再向着火向着火的楼房的楼房靠靠近近多少米多少米？(精确精确到到0.1m)知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）例例1如如图图(2)，设，设A是云梯的下端点，是云梯的下端点，AB是伸长后的是伸长后的云梯，云梯，B是是第一次第一次救人救人的的地点，地点，D是第二次是第二次救救人的人的地点地点，过，过点点A的的水水平平线与线与楼房楼房ED的交点的交点为为O.则则OB=9-3=6(m),OD=12-3=9(m).知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）分析：分析：根据勾股定理，得根据勾股定理，得 AO2=AB2-OB2=102-62=64.解方程，得解方程，得AO=8(m).设设AC=x，则，则OC=8-x，于是根据勾股定理，得，于是根据勾股定理，得 OC2+OD2=CD2，即即(8-x)2+92=102，从而可以解出从而可以解出x.知知1 1讲讲（来自（来自教材教材）求两点求两点P1(3，5)，P2(1，2)间的距离间的距离知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）例例2过点过点P1作作x轴的垂线，过点轴的垂线，过点P2作作y轴的垂线，两轴的垂线，两垂线的交点与垂线的交点与P1，P2构成一个直角三角形，构成一个直角三角形，P1P2恰好为此直角三角形的斜边，从而可利用恰好为此直角三角形的斜边，从而可利用勾股定理求解勾股定理求解导引导引：如图，过点如图，过点P1作作x轴的垂线，过点轴的垂线，过点P2作作y轴的垂线，轴的垂线，设两垂线的交点为设两垂线的交点为C，则点，则点C的坐标为的坐标为(3，2)易得易得CP13，CP24，且，且P1CP290.在在RtP1CP2中，中，利用勾股定理得利用勾股定理得P1P2即即P1与与P2两点间的距离为两点间的距离为5.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解解：总 结知知1 1讲讲在在平面直角坐标系中求两点之间的距离，平面直角坐标系中求两点之间的距离，需要需要借助借助x，y轴的平行线构造直角三角形，充分利用轴的平行线构造直角三角形，充分利用点点的的坐标和勾股定理求线段的坐标和勾股定理求线段的长长.如图，楼梯的高度为如图，楼梯的高度为2m,楼梯楼梯坡面的长度为坡面的长度为4m,要在要在楼梯楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？少需要多少米？(精确精确到到0.1m)知知1 1练练（来自（来自教材教材）1(1)如图，长如图，长3m的梯子斜靠着墙，梯子底端离的梯子斜靠着墙，梯子底端离墙墙底底0.6m，问，问梯子梯子顶端离地面多少米顶端离地面多少米？(精确到精确到0.1m)(2)题题(1)中，若梯子的顶端自中，若梯子的顶端自墙墙面面下滑下滑了了0.9m，那么，那么梯子梯子的的底端底端沿地面向外滑动的沿地面向外滑动的距离距离是否也是否也为为0.9m?说明说明理由理由.知知1 1练练（来自（来自教材教材）2(中考中考安顺安顺)如图，有两棵树，一棵高如图，有两棵树，一棵高10米，另一米，另一棵棵高高4米，两树相距米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树米，一只小鸟从一棵树的树顶顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行()A8米米B10米米C12米米D14米米知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3如图，一棵树在离地面如图，一棵树在离地面4.5m处断裂，树的顶部落处断裂，树的顶部落在在离底部离底部6m处则这棵树折断之前高处则这棵树折断之前高()A10.5mB7.5mC12mD8m知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4如如图，一架梯子图，一架梯子AB长长2.5米，顶端米，顶端A靠在墙靠在墙AC上，上，这时这时梯子底端梯子底端B与墙脚与墙脚C的距离为的距离为0.7米，如果梯子米，如果梯子滑动滑动后停在后停在DE的位置，测得的位置，测得BD长为长为0.8米，则梯米，则梯子子顶端顶端A下滑了下滑了()A0.4米米B0.3米米C0.5米米D0.2米米知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）52知识点知识点最短距离的计算最短距离的计算知知2 2讲讲求最短距离总思路求最短距离总思路：找找点关于线的对称点实现点关于线的对称点实现“折折”转转“直直”，利利用用平移把平移把“折折”转转“直直”，利用平面展开图把，利用平面展开图把“折折”转转“直直”.运用运用轴对称解决距离最短问题利用轴对称解决距离最短问题利用对称对称的的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两两定点定点之间的之间的距离距离.知知2 2讲讲如如图图，一个牧童正在小河的南，一个牧童正在小河的南4m的的A处牧马，此处牧马，此时正位于他的小屋时正位于他的小屋B的西的西8m北北7m处，他想把他的处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？他要完成这件事情所走的最短路程是多少？例例3根据轴对称作图，先作出点根据轴对称作图，先作出点A关关于于河岸的对称点河岸的对称点A，连接，连接AB，AB的长就是所要求的最的长就是所要求的最短路线短路线长长，可将，可将AB构造成一个直角构造成一个直角三三角角形的斜边，借助勾股定理形的斜边，借助勾股定理解解决决导引：导引：知知2 2讲讲如如图图，作点，作点A关于河岸关于河岸MN的对称点的对称点A，连接，连接AB交交MN于点于点P，连接，连接AP，则，则APPBAB就是最就是最短短路线过路线过B作作BD垂直直线垂直直线AA于点于点D.在在RtADB中中，由由勾股定理求得勾股定理求得AB17m.即他要完成这件事情所走即他要完成这件事情所走的的最最短路程是短路程是17m.（来自（来自点拨点拨）解：解：总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）求求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最最短短路径的方法：路径的方法：先找到其中一个点关于这条直线的先找到其中一个点关于这条直线的对称对称点点，连接对称点与另一个点的线段长就是最短，连接对称点与另一个点的线段长就是最短路径路径长长以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出一一个个两条直角边已知的直角三角形，将分散的线段集中两条直角边已知的直角三角形，将分散的线段集中在在同同一三角形中，然后利用勾股定理即可求出直线同侧一三角形中，然后利用勾股定理即可求出直线同侧的的两两点到直线上一点所连线段的和的最短路径长点到直线上一点所连线段的和的最短路径长知知2 2讲讲例例4如图所示的长方体的高为如图所示的长方体的高为4cm，底面是长为，底面是长为5cm，宽，宽为为3cm的长方形一只蚂蚁从顶点的长方形一只蚂蚁从顶点A出出发沿长方体的表面爬到顶点发沿长方体的表面爬到顶点B.求：求：(1)蚂蚁经过的最短路程；蚂蚁经过的最短路程；(2)蚂蚁沿着棱爬行蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一不能重复爬行同一条棱条棱)的最长路程的最长路程(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，两点之间，线段最短线段最短”去探求，而与顶点去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共相关的两个面展开共有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程(2)最长路线应该是依次经过长为最长路线应该是依次经过长为5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm的棱的棱导引：导引：知知2 2讲讲(1)将长方体与顶点将长方体与顶点A，B相关的两个面展开，共有三相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示若蚂蚁沿侧面爬行，如图种方式，如图所示若蚂蚁沿侧面爬行，如图，则爬行的最短路程则爬行的最短路程为为若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图若蚂蚁沿侧面和上面爬行，如图，解：解：（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲则爬行的最短路程分别为则爬行的最短路程分别为因为因为43，所以蚂蚁经过的最短路程是所以蚂蚁经过的最短路程是cm.(2)545434530(cm)，所以蚂蚁沿着棱，所以蚂蚁沿着棱爬行的最长路程是爬行的最长路程是30cm.（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）几何体的表面上两点间的最短路程问题的几何体的表面上两点间的最短路程问题的解决解决方法是方法是将几何体表面展开，即将立体问题转化为将几何体表面展开，即将立体问题转化为平平面面问题问题，然后，然后利用利用“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”去确定去确定路路线线，最后，最后利用勾股定理利用勾股定理计算计算1如图，一个圆柱体的高为如图，一个圆柱体的高为12cm，底面半径为，底面半径为3cm，在圆柱体下底面的点在圆柱体下底面的点A处有一只蚂蚁，想吃到与点处有一只蚂蚁，想吃到与点A 相对的上底面点相对的上底面点B处的食物，这只蚂蚁从点处的食物，这只蚂蚁从点A出发沿出发沿着柱形的曲面爬到点着柱形的曲面爬到点B，蚂蚁所走最短路线有多长，蚂蚁所走最短路线有多长(取取3.14，结果保留一位小数，结果保留一位小数)?知知2 2练练（来自（来自点拨点拨）知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2(中考中考东营东营)如图，一只蚂蚁沿着棱长为如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方的正方体表面从点体表面从点A出发，经过出发，经过3个面爬到点个面爬到点B，如果它，如果它运动的路径是最短的，则运动的路径是最短的，则AC的长为的长为_在在直线上找一点，使其到直线同侧的两点的直线上找一点，使其到直线同侧的两点的距离距离之和之和最短的方法最短的方法：先先找到其中一个点关于这条直线找到其中一个点关于这条直线的对称点的对称点，连接连接对称点对称点与另一个点的线段与该直线与另一个点的线段与该直线的交点的交点即为所找即为所找的的点点，对称点与另一个点的线段长，对称点与另一个点的线段长就是就是最短距离最短距离之之和和以连接对称点与另一个点的以连接对称点与另一个点的线段为线段为斜边，构造斜边，构造出出一一个两条直角边已知的直角三角形个两条直角边已知的直角三角形，然后，然后利用勾股利用勾股定定理理即可求出最短距离之和即可求出最短距离之和1.必做必做:完成教材完成教材P57习题习题18.1T5,72.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1818章章 勾股定理勾股定理18.1 18.1 勾股定理勾股定理第第3 3课时课时 勾股定理在几何勾股定理在几何 中应用中应用1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升用勾股定理在数轴上表示实数用勾股定理在数轴上表示实数用勾股定理解几何问题用勾股定理解几何问题1.已知已知直角三角形直角三角形ABC的三边为的三边为a、b、c，C90，则，则a、b、c三者之间的关系三者之间的关系是是_；2.若若一个直角三角形两条直角边长是一个直角三角形两条直角边长是3和和2，那么第三，那么第三条条边长是边长是_；3._叫做叫做无理数无理数.1知识点知识点用勾股定理在数轴上表示实数用勾股定理在数轴上表示实数知知1 1讲讲例例1如如图图所所示，数轴上点示，数轴上点A所表示的数为所表示的数为a，则，则a的的值值是是()A.1B1C.1D.C知知1 1讲讲先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点点间间的距离公式即可求出的距离公式即可求出A点的坐标图中的直角点的坐标图中的直角三三角角形的两直角边为形的两直角边为1和和2，斜边长斜边长为为1到到A的距离的距离是是.那么点那么点A所表示的数所表示的数为为1.故选故选C.解析：解析：总 结知知1 1讲讲本题本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答解答此题时要注意，确定点此题时要注意，确定点A的符号后，点的符号后，点A所所表表示示的数是距离原点的的数是距离原点的距离距离.利用利用a可以可以作出作出如图如图2，先作出与已知线段，先作出与已知线段AB垂直，垂直，且与已知线段的端点且与已知线段的端点A相交的直线相交的直线l，在直线在直线l上以上以A为端点截取长为为端点截取长为2a的线的线段段AC，连接，连接BC，则线段，则线段BC即为所求即为所求如图如图2，BC就是所求作的线段就是所求作的线段例例2如图如图1，已知线段，已知线段AB的长为的长为a，请作出长为，请作出长为a的的段段(保留作图痕迹，不写作法保留作图痕迹，不写作法)知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）图图1图图2导引：导引：解：解：总 结知知1 1讲讲 这这类问题要作的线段一般是直角三角形的类问题要作的线段一般是直角三角形的斜斜边边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的的长长(为整数为整数)是解题的关键是解题的关键（来自（来自点拨点拨）1(中考中考台州台州)如图，数轴上的点如图，数轴上的点O，A，B分别表示分别表示数数0，1，2，过点，过点B作作PQAB，以点，以点B为圆心，为圆心，AB 的长为半径画弧，交的长为半径画弧，交PQ于点于点C，以原点，以原点O为圆心，为圆心，OC的长为半径画弧，交数轴于点的长为半径画弧，交数轴于点M，则点，则点M表示的表示的数是数是()A.B.C.D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2如图，点如图，点C表示的数是表示的数是()A1B.C1.5D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）如如图，长方形图，长方形ABCD中，中，AB3，AD1，AB在在数轴上，若以点数轴上，若以点A为圆心，对角线为圆心，对角线AC的长为半径的长为半径作弧交数轴于点作弧交数轴于点M，则点，则点M表示的数为表示的数为()A2B.1C.1D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3如图，在平面直角坐标系中，点如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为的坐标为(2，3)，以点，以点O为圆心，以为圆心，以OP的长为半径画弧，交的长为半径画弧，交x轴轴的负半轴于点的负半轴于点A，则点，则点A的横坐标介于的横坐标介于()A4和和3之间之间B3和和4之间之间C5和和4之间之间D4和和5之间之间知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）42知识点知识点用勾股定理解几何问题用勾股定理解几何问题知知2 2讲讲对于对于一些非直角三角形的几何问题、一些非直角三角形的几何问题、日常生活日常生活实际实际中的应用问题，首先要将它们建立中的应用问题，首先要将它们建立直角三角形直角三角形模型模型，然后利用勾股定理构造方程或方程组解决，然后利用勾股定理构造方程或方程组解决知知2 2讲讲已知：如已知：如图图,在在RtABC中，两直角中，两直角边边AC=5,BC=12.求求斜边上的高斜边上的高CD的长的长在在RtABC中中，AB2=AC2+BC2=52+122=169,AB=13又又RtABC的面积的面积例例3ABC解解：（来自（来自教材教材）总 结知知2 2讲讲同同一直角三角形的面积的不同求法的结果一直角三角形的面积的不同求法的结果是是一一致致的，称为等积法。求直角三角形斜边上的的，称为等积法。求直角三角形斜边上的高高常用常用这种方法这种方法知知2 2讲讲例例4如图，在如图，在ABC中，中，C60，AB14，AC 10.求求BC的长的长题题中没有直角三角形，可以通中没有直角三角形，可以通过过作高构建直角三角形；过点作高构建直角三角形；过点A作作ADBC于于D，图中会出现，图中会出现两两个直角三角形个直角三角形RtACD和和RtABD，这两，这两个个直角三角形有一条公共边直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，借助这条公共边，可可建立起直角三角形之间的联系建立起直角三角形之间的联系导引：导引：知知2 2讲讲如如图，过点图，过点A作作ADBC于于D.ADC90，C60，CAD30，CDAC5.在在RtACD中，中，AD在在RtABD中，中，BDBCBDCD11516.（来自（来自点拨点拨）解解：总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）利用利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形一边上的高，将其转化为两个直角三三角角形，形，然后然后利用勾股定理并结合已知条件，采用利用勾股定理并结合已知条件，采用推推理理或列方程或列方程的方法的方法解决问题解决问题知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1如图，每个小正方形的边长均为如图，每个小正方形的边长均为1，则，则ABC中，中，长为无理数的边有长为无理数的边有()A0条条B1条条C2条条D3条条知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2如如图是一张直角三角形的纸片，两直角边图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将，现将ABC折叠，使点折叠，使点B与点与点 A重合，折痕为重合，折痕为DE，则，则BE的长为的长为()A4cmB5cmC6cmD10cm知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为9的正方形纸片，的正方形纸片，将将其其沿沿MN折叠，使点折叠，使点B落在落在CD边上的边上的B处，点处，点A的的对应对应点为点为A，且，且BC3，则，则AM的长是的长是()A1.5B2C2.25D2.531勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：单一应用：单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，再求这个直角三角形的角度和面积：再求这个直角三角形的角度和面积：综合应用：综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.2应用勾股定理解题的方法：应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构造直角三角形，应用勾股定理求解；造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的，即题中虽有直角三角形，但已知线段的长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建方程，解答计算问题；方程，解答计算问题；(3)建模应用建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾股定理解决实际问题股定理解决实际问题1.必做必做:完成教材完成教材P57习题习题18.1T4,62.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题第第1818章章 勾股定理勾股定理18.2 18.2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理第第1 1课时课时 勾股定理的勾股定理的 逆定理逆定理1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股数勾股数1.勾股定理：直角三角形的两条勾股定理：直角三角形的两条_的平方的平方_等于等于_的的_，即，即_.2.填空题填空题(1)在在RtABC，C=90，a=8，b=15，则，则c=.(2)在在RtABC，B=90，a=3，b=4，则，则c=.（如图）（如图）3.直角三角形的性质直角三角形的性质(1)有一个角是有一个角是；(2)两个锐角两个锐角，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方;(4)在含在含30角的直角三角形中，角的直角三角形中，30的角所对的的角所对的_边是边是边的一半边的一半知知1 1导导2知识点知识点勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理1.据说据说，几千年前的古埃及人就已经知道，在一，几千年前的古埃及人就已经知道，在一根根绳子绳子上连续打上等上连续打上等距离的距离的13个结个结，然后然后，用钉子将第，用钉子将第1个与第个与第13个个结结钉钉在一起，拉紧在一起，拉紧绳子绳子,再在第再在第4个个1.和和第第8个结处各个结处各钉上钉上一个钉子，一个钉子，如如图图.这样围成这样围成的三角形中，最的三角形中，最长长1.边所边所对的角就是对的角就是直角直角.思考思考知知1 1导导2.用圆规、直尺作用圆规、直尺作ABC,使使AB=5,AC=4,BC=3,如图如图,量一量量一量C，它是，它是90吗吗？为什么为什么用上面三条线段围成的三角形，就用上面三条线段围成的三角形，就一定一定是是直角三角形直角三角形呢？呢？知知1 1讲讲勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果如果三角形两边的平方和等于三角形两边的平方和等于第第三三边的平方，那么这个三角形是直角三角形边的平方，那么这个三角形是直角三角形要点要点精析：精析：(1)勾股定理勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在的逆定理是判定直角三角形的方法，在没没有有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说说斜边斜边或直角边或直角边；(2)如果三角形的三边长如果三