经济学第五章整数规划课件.ppt

整整 数数 规规 划划(Integer Programming)整数规划的模型整数规划的模型分支定界法分支定界法0 01 1 整数规划整数规划 在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决策变量只能取整数值而非连续取值。题要求决策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化模型就称为整数规划（离散此时，这类最优化模型就称为整数规划（离散最优化）模型。最优化）模型。整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且，一般来说不能简单地将相应的线性规划的而且，一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。解取整来获得。整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划数学模型的一般形式整数规划（整数规划（IPIP）松弛问题松弛问题整数线性规划（整数线性规划（ILPILP）的数学模型：的数学模型：一、整数规划的数学模型及解的特点一、整数规划的数学模型及解的特点5.1c5.1d5.1a5.1b决策变量只能取值决策变量只能取值0 或或 1。整数规划问题的整数规划问题的类型类型纯纯整数线性规划整数线性规划(pure integer linear programming)全部全部决策变量决策变量都必须都必须取整数值取整数值。混合混合整数线性规划整数线性规划(mixed integer linear programming)决策变量中决策变量中一部分必须取整数值，一部分必须取整数值，另一部分另一部分可以不取整数值。可以不取整数值。0-1型型整数线性规划整数线性规划(zero-one integer linear programming)例例1 1、某公司准备投资某公司准备投资 50 50 万元为其产品做广告，万元为其产品做广告，广告代理商给公司的有关广告方式的费用和其广告代理商给公司的有关广告方式的费用和其效果情况如下表，公司面临的管理决策问题是效果情况如下表，公司面临的管理决策问题是广告总费用不超过广告总费用不超过 50 50 万元的基础上选择哪些万元的基础上选择哪些广告方式，使得潜在顾客数尽可能地多。广告方式，使得潜在顾客数尽可能地多。广告方式广告方式电视台电视台报纸报纸杂志杂志电台电台 广告费（万元）广告费（万元）4040151520201010潜在顾客数（万人）潜在顾客数（万人）4040202025251010整数规划问题实例整数规划问题实例 xi=1 选择第选择第i 种广告方式种广告方式0 0 不选择第不选择第i种广告方式种广告方式Max Z=40 x1+20 x2+25x3+10 x4 40 x1+15x2+20 x3+10 x4 50 x1，x2，x3，x4 =0 或或 1例例1 1、模型模型设：设：xi（i=1,2,3,4）表示表示4 种广告方式。种广告方式。例例2 2、某公司在城市的东、西、南三区建立门市部。某公司在城市的东、西、南三区建立门市部。拟议中有拟议中有7 7个位置（地点）个位置（地点）A Ai i（i=1i=1，2 2，7 7）可供选择。公司规定：可供选择。公司规定：在东区，由在东区，由 A A1 1，A A2 2，A A3 3 三个点中至多选两个；三个点中至多选两个；在南区，由在南区，由 A A4 4，A A5 5 两个点中至少选一个；两个点中至少选一个；在西区，由在西区，由 A A6 6，A A7 7 两个点中至少选一个。两个点中至少选一个。如果选用如果选用 A Ai i 点，设备投资估计为点，设备投资估计为 b bi i 元，每年元，每年可获利润估计为可获利润估计为 c ci i 元，但投资总额不能超过元，但投资总额不能超过 B B 元。元。问公司选择哪几个点可使年总利润最大？问公司选择哪几个点可使年总利润最大？例例2 2、模型、模型 设：设：Ai=1 选择选择 A Ai i 建立门市建立门市0 0 不选择不选择 A Ai i 建立门市建立门市 Max Z=ci Ai bi Ai B A1+A2+A3 2 A4+A5 1 A6+A7 1 Ai=0 或或 1，（，（i=1，2，3，4，5，6，7）例例3 3：运动员选拔问题：运动员选拔问题4*100m4*100m混合泳接力是观众最感兴趣的游泳项目之一。混合泳接力是观众最感兴趣的游泳项目之一。现在从实例出发，研究混合泳运动员的选拔问题：现在从实例出发，研究混合泳运动员的选拔问题：甲、乙、丙、丁是甲、乙、丙、丁是4 4名游泳运动员，他们各种姿势的名游泳运动员，他们各种姿势的100m100m游泳成绩见下表，为组成一个游泳成绩见下表，为组成一个4*100m4*100m混合泳接力混合泳接力队，怎样选派运动员，方使接力队的游泳成绩最好？队，怎样选派运动员，方使接力队的游泳成绩最好？运运动员动员 仰泳仰泳 蛙泳蛙泳蝶泳蝶泳自由泳自由泳甲甲75.586.866.658.4乙乙65.866.257.052.8丙丙67.684.377.859.1丁丁74.069.460.857.0 设：工序设：工序 B B 有两种方式完成有两种方式完成方式（方式（1 1）的工时约束）的工时约束:0.3x1+0.5x2 150方式（方式（2 2）的工时约束）的工时约束:0.2x1+0.4x2 120 问题是完成工序问题是完成工序 B B 只能从两种方式中任选一种，只能从两种方式中任选一种，如何将这两个互斥的约束条件统一在一个线性规划如何将这两个互斥的约束条件统一在一个线性规划模型中呢？模型中呢？例例4 4、应用、应用 0-1 0-1 变量解决含互斥约束条件问题变量解决含互斥约束条件问题 例例4 4、模型、模型 引入引入 0-1 0-1 变量变量y1=0 若工序若工序 B 采用方式（采用方式（1 1）完成）完成1 1 若工序若工序 B 不采用方式（不采用方式（1 1）完成）完成y2=0 0 若工序若工序 B 采用方式（采用方式（2 2）完成）完成1 1 若工序若工序 B 不采用方式（不采用方式（2 2）完成）完成于是前面两个互斥的约束条件可以统一为如下三个约束条件：于是前面两个互斥的约束条件可以统一为如下三个约束条件：0.3x1+0.5x2 150+M1y1 0.2x1+0.4x2 120+M2y2 y1+y2=1 其中其中 M1 1 ，M2 2 都是足够大的正数。都是足够大的正数。有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使总收益最大。使总收益最大。资源量资源量A248500B234300C123100单件可变费用单件可变费用456固定费用固定费用100150200单件售价单件售价81012 例例5 5固定费用问题固定费用问题 解：设解：设xj为第为第j种产品的生产数量，种产品的生产数量，j j=1,2,3=1,2,3；yj=1 1 当生产第当生产第j j种种产品产品,即即 xj 0 时时0 0 当不生产第当不生产第j j种产品即种产品即 xj=0 时时 引入约束引入约束 xi M yi ，i=1，2，3，M充分大，充分大，以保证当以保证当 yi =0 时，时，xi=0。可建立如下的数学模型：可建立如下的数学模型：Max z=4x1+5x2+6x3-100y1-150y2-200y3 s.t.2x1+4x2+8x3 500 2x1+3x2+4x3 300 x1+2x2+3x3 100 xi M yi ，i=1，2，3，M充分大充分大 xj 0 yj 为为0-1变量变量，i=1,2,3 例例6 6、合理下料合理下料 造某种机床，需要造某种机床，需要 A A，B B，C C 三种轴件，其规三种轴件，其规格与数量如下表，各类轴件都用格与数量如下表，各类轴件都用5.55.5米长的同一种圆米长的同一种圆钢下料。若计划生产钢下料。若计划生产100100台机床，最少要用多少根圆台机床，最少要用多少根圆钢？钢？轴类轴类规格：长度（米）规格：长度（米）每台机床所需轴件数每台机床所需轴件数A3.11B2.12C1.24 例例6 6、模型、模型 分析该问题后，发现较合理的下料方案有：分析该问题后，发现较合理的下料方案有：轴类轴类方案方案1 1方案方案2 2方案方案3 3方案方案4 4方案方案5 5A（3.1）11000B（2.1）10012C（1.2）02421用料用料长长5.25.54.84.55.4余料余料0.300.710.1 例例6 6、模型、模型 设：设：xi 采用方案采用方案i下料所用的原料根数。下料所用的原料根数。Min Z=x1+x2+x3+x4+x5 x1+x2 =100 x1+x4+2x5 =200 2x2+4x3+2x4+x5 =400 x1，x2，x3，x4，x5 0，且为整数且为整数例例7、某公司计划在某公司计划在m个地点建厂，可供选择的地点个地点建厂，可供选择的地点有有A1,A2Am，他们的生产能力分别是他们的生产能力分别是a1,a2,am（假假设生产同一产品）。第设生产同一产品）。第i i个工厂的建设费用为个工厂的建设费用为fi(i=1.2m),又有又有n个地点个地点B1,B2,Bn 需要销售这种需要销售这种产品，其销量分别为产品，其销量分别为b1.b2bn。从工厂运往销地的从工厂运往销地的单位运费为单位运费为Cij。试决定应在哪些地方建厂，既满足试决定应在哪些地方建厂，既满足各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？各地需要，又使总建设费用和总运输费用最省？单 销地厂址 价生产能力建设费用销量设设 xij :从工厂运往销地的运量从工厂运往销地的运量(i=1,2m、j=1,2n),),1 1 在在Ai建厂建厂 yi （i=1.2m）0 0 不在不在Ai建厂建厂 模型模型：（三）整数规划与线性规划的关系三）整数规划与线性规划的关系 从数学模型上看整数规划似乎是线性规划从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解，有时得到的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。甚至不能保证所得到的解是整数可行解。举例说明举例说明。例：设整数规划问题如下例：设整数规划问题如下 首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）。为松弛问题）。用用图解法求出最优解图解法求出最优解x13/2,x2=10/3且有且有Z=29/6x1x233(3/2,10/3)现求整数解（最优解）：现求整数解（最优解）：如用如用“舍入取整法舍入取整法”可得可得到到4个点即个点即(1，3)、(2，3)、(1，4)、(2，4)。按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，如图所示。是一个有限集，如图所示。显然，它们都不可能是显然，它们都不可能是整数规划的最优解。整数规划的最优解。因此，可将集合内的整数点一一找出，其最因此，可将集合内的整数点一一找出，其最大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。如上例：其中如上例：其中（2，2）（）（3，1）点为最大值，点为最大值，Z=4。目前，常用的求解整数规划的方法有：目前，常用的求解整数规划的方法有：分支定界法和割平面法；分支定界法和割平面法；对于特别的对于特别的0 01 1规划问题采用隐枚举法规划问题采用隐枚举法 和匈牙利法。和匈牙利法。（一）基本思路（一）基本思路 考虑考虑纯整数纯整数问题问题：整数问题的整数问题的松弛问题：松弛问题：二、分枝定界法二、分枝定界法 maxZ=CXAX=bX 0(A)IPmaxZ=CXAX=bX 0X为整数为整数(B)LP(B)B)为为(A)A)的松弛问题。的松弛问题。分枝定界法一般步骤：分枝定界法一般步骤：(1)(1)先解先解(A)A)的松弛问题的松弛问题(B(B)(2)2)(B(B)无可行解无可行解(A)A)无可行解。无可行解。(B(B)最优解符合最优解符合(A)A)要求，停。要求，停。(B(B)最优解不符合最优解不符合(A)A)要求，转要求，转(3)(3)。(3)(3)估整数解估整数解S S0 0 ，定界（上界、下界）定界（上界、下界）(4)(4)选选(B(B)解中不符合整数条件的分量解中不符合整数条件的分量Xj(Xj=b bj j)分枝，作分枝，作(B(B)的后续问题的后续问题(C(C)、(D(D)。(C (C)：(B(B)加约束加约束Xj b bj j+1+1 (D (D)：(B(B)加约束加约束Xj b bj j (6)(6)全部枝剪完，停全部枝剪完，停(5)解解(C)、(D)剪枝条件剪枝条件:(C)，(D)无可行解无可行解 (C)（(D)）对应的目标值对应的目标值Sc(Sd)S0（极大化极大化）(C)（(D)）对应的目标值对应的目标值Sc(Sd)S0（极小化极小化）且解为整数解，令且解为整数解，令Sc(Sd)S0 且解为非整数解，令且解为非整数解，令(C)，(D)取代取代 (B)返回返回(4)(4)例例1：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）：用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）记为（记为（IP）解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题记为（记为（LP）例题例题用图解法求用图解法求（LP）的最的最优解，如图所示。优解，如图所示。x1x233(18/11,40/11)对于对于x118/111.64，取值取值x1 1，x1 2对于对于x2=40/11 3.64，取值取值x2 3，x2 4先将先将（LP）划分为（划分为（LP1）和（和（LP2）,取取x1 1,x1 2 x118/11,x2=40/11 Z(0)=218/11(19.8)即即Z 也是也是（IP）最小值的最小值的下限。下限。有下式：有下式：现在只要求出（现在只要求出（LP1）和（和（LP2）的最优解即可。的最优解即可。x1x233(18/11,40/11)先求先求（LP1）,如图所示。如图所示。此时在此时在B 点取得最优解。点取得最优解。x11,x2=3,Z(1)16找到整数解，问题已探找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。明，此枝停止计算。11同理求同理求（LP2）,如图所示。如图所示。在在C 点取得最优解。点取得最优解。即即x12,x2=10/3,Z(2)56/318.7BAC(2)Z()16 16 原问题有比（原问题有比（1616）更小的最优解，）更小的最优解，但但 x2 不是整数，故利用不是整数，故利用 3 10/34 加入条件。加入条件。加入条件：加入条件：x23,x24 有下式：有下式：只要求出（只要求出（LP3）和（和（LP4）的最优解即可。的最优解即可。x1x233(18/11,40/11)11BAC先求先求（LP3）,如图所示。如图所示。此时在此时在D 点取得最优解。点取得最优解。即即 x112/52.4,x2=3,Z(3)-87/5 -17.4 Z(5)F 如对如对 Z(6)继续分解，其最小值也不会低于继续分解，其最小值也不会低于15.5 ，问题探明问题探明,剪枝。剪枝。至此，原问至此，原问题（题（IP）的最优的最优解为：解为：x1=2，x2=3,Z*=Z(5)17以上的求解过程以上的求解过程可以用一个树形可以用一个树形图表示如右：图表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)18.5LP3x1=12/5,x2=3Z(3)17.4LP4无可无可行解行解LP5x1=2,x2=3Z(5)17LP6x1=3,x2=5/2Z(6)15.5x11x12x23x24x12x13例例2:用分枝定界法求解整数规划问题用分枝定界法求解整数规划问题LP1x1=1,x2=7/3Z(1)10/3LPx1=3/2,x2=10/3Z(0)29/6LP2x1=2,x2=23/9Z(2)41/9x11x12LP5x1=1,x2=2Z(5)3LP6无可无可行解行解x22x23LP3x1=33/14,x2=2Z(3)61/14LP4无可无可行解行解x22x23LP7x1=2,x2=2Z(7)4LP8x1=3,x2=1Z(8)4x12x13LP1x1=1,x2=7/3Z(1)10/3LPx1=3/2,x2=10/3Z(0)29/6LP2x1=2,x2=23/9Z(2)41/9LP3x1=33/14,x2=2Z(3)61/14LP4无可无可行解行解LP7x1=2,x2=2Z(7)4LP8x1=3,x2=1Z(8)4x11x12x22x23x12x133200CB XB b x1x2x3x40 x3921109/20 x414230114/2-Z032003200CB XB b x1x2x3x43x113/4103/4-1/42x25/201-1/21/2-Z-59/400-5/4-1/4解解:用单纯形法解对应的用单纯形法解对应的(LP)问题问题,如表所示如表所示,获得最优获得最优解。解。初始表初始表最终表最终表例例3、用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）、用分枝定界法求解整数规划问题（单纯形法）x1=13/4 x2=5/2 Z(0)=59/414.75 选选 x2 进行分枝，即增加两个约束，进行分枝，即增加两个约束，2 x2 3 有下式：有下式：分别在分别在(LP1)和和(LP2)中引入松弛变量中引入松弛变量x5和和x6，将，将新加新加约束条件加入上表计算。即约束条件加入上表计算。即 x2+x5=2,x2+x6=3 得得下表下表:32000CB XB b x1x2x3x4x53x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x5201001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x5-1/2001/2-1/21-Z-59/400-5/4-1/403x17/2101/20-1/22x22010010 x4100-11-2-Z-29/200-3/20-1/2x1=7/2,x2=2 Z(1)=29/2=14.5继续分枝，加继续分枝，加入约束入约束 3 x1 4LP132000CB XB b x1x2x3x4x63x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x6-30-1001-Z-59/400-5/4-1/403x113/4103/4-1/402x25/201-1/21/200 x6-1/200-1/2 1/21-Z-59/400-5/4-1/403x15/21001/23/22x230100-10 x31001-1-2-Z-27/2000-3/2-5/2LP2x1=5/2,x2=3 Z(2)=27/2=13.5 Z(2)Z(1)先不考虑分枝先不考虑分枝接接(LP1)继续分枝，加入约束继续分枝，加入约束 4 x1 3，有下式：有下式：分别引入松弛变量分别引入松弛变量x7 和和 x8，然后进行计算。然后进行计算。CB XB b x1x2x3x4x5x73x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x73100001-Z-29/200-3/20-1/203x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x7-1/200-1/201/21-Z-29/200-3/20-1/203x131000012x220100100 x420001-3-20 x310010-1-2-Z-130000-2-3 x1=3,x2=2 Z(3)=13找到整数解，找到整数解，问题已探明，问题已探明，停止计算。停止计算。LP3CB XB b x1x2x3x4x5x83x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x8-4-100001-Z-29/200-3/20-1/203x17/2101/20-1/202x220100100 x4100-11-200 x8-1/2001/20-1/21-Z-29/200-3/20-1/203x1410000-12x210110020 x4300-310-40 x5100-101-2-Z-1400-200-1 x1=4,x2=1 Z(4)=14找到整数解，找到整数解，问题已探明，问题已探明，停止计算。停止计算。LP4树形图如下：树形图如下：LP1x1=7/2,x2=2Z(1)29/2=14.5LPx1=13/4,x2=5/2Z(0)59/4=14.75LP2x1=5/2,x2=3Z(2)27/2=13.5LP3x1=3,x2=2Z(3)13LP4x1=4,x2=1Z(4)14x22x23x13x14练习：用分枝定界法求解整数规划问题练习：用分枝定界法求解整数规划问题 （单纯形法）（单纯形法）cj-1-5000cBxBbx1x2x3x4x50 x32-111000 x4 30560100 x5410001-Z-1-5000cj-1-5000cBxBbx1x2x3x4x5-5x240/11011/115/110-1x1 18/11101/11-6/1100 x526/1100-1/116/111-Z218/11006/1119/110LP1x1=1,x2=3Z(1)16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)18.5LP3x1=12/5,x2=3Z(3)17.4LP4无可无可行解行解LP5x1=2,x2=3Z(5)17LP6x1=3,x2=5/2Z(6)15.5x11x12x23x24x12x13 隐枚举法隐枚举法(max)原则：原则：1 1、用试探法，求出一个可行解，以它的目标值、用试探法，求出一个可行解，以它的目标值 作为当前最好值作为当前最好值Z Z0 02 2、增加过滤条件增加过滤条件Z Z Z Z0 03 3、将、将x xi i 按按c ci i由小由小大排列大排列三、三、0 01 1 整数规划整数规划 01 整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的决整数规划是一种特殊形式的整数规划，这时的决策变量策变量xi 只取两个值只取两个值0或或1，一般的，一般的解法为隐枚举法解法为隐枚举法。例例1：maxZ=3x1-2x2+5x3x1+2x2-x3 2 x1+4x2+x3 4 x1+x2 3 4x2+x3 6 x1,x2,x3为为0或或1解：解：观察得解观察得解(x1,x2,x3)=(1,0,0)Z0=3过滤条件过滤条件：3x1-2x2+5x3 3将将(x1，x2 ，x3)(x2，x1，x3)解解(x2 x1 x3)目标值目标值 Z0 当前最好值当前最好值 (0,0,0)0 5 (0,1,0)3 8 (1,0,0)-2 (1,0,1)3 (1,1,0)1 (1,1,1)6 最优解最优解 x=(1,0,1)T Z=8（0.1.1.0.0）练习：用隐枚举法求解练习：用隐枚举法求解0101规划问题规划问题