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第三章第三章 数字信号处理技术数字信号处理技术 1 1、数字信号处理的主要研究内容、数字信号处理的主要研究内容 数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试数字信号处理主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行信号，并用数学公式和运算来对这些数字序列进行处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分处理。内容包括数字波形分析、幅值分析、频谱分析和数字滤波等。析和数字滤波等。0AtX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)3.1 3.1 数字信号处理概述数字信号处理概述 1物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号计计算算机机显显示示D/A转换转换电信号电信号控制控制物理信号物理信号2 2、测试信号数字化处理的基本步骤、测试信号数字化处理的基本步骤 23 3、数字信号处理的优势、数字信号处理的优势 1)1)用数学计算和计算机显示代替复杂的电路用数学计算和计算机显示代替复杂的电路 和机械结构和机械结构32)2)计算机软硬件技术发展的有力推动计算机软硬件技术发展的有力推动a)a)多种多样的工业用计算机。多种多样的工业用计算机。4b)b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统53.2 3.2 模数模数(A/D)(A/D)和数模和数模(D/A)(D/A)采样采样利用采样脉冲序列利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号之成为采样信号x(nTsx(nTs)的过程。的过程。编码编码将经过量化的值变为二进制数字的过程。将经过量化的值变为二进制数字的过程。量量化化把把采采样样信信号号经经过过舍舍入入变变为为只只有有有有限限个个有有效效数数字字的的数，这一过程称为量化。数，这一过程称为量化。1 1、A/DA/D转换转换 64 4位位A/D:XXXXA/D:XXXXX(1)0101X(2)0011X(3)000072)A/D2)A/D转换器的技术指标转换器的技术指标 (1)(1)分辨率分辨率;用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有化误差越小，分辨力越高。常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。为了缩短量化一个采样值所需的时间，一般均为了缩短量化一个采样值所需的时间，一般均把采样值经过舍入变为只有有限个有效数字的整数，把采样值经过舍入变为只有有限个有效数字的整数，这个整数最大为这个整数最大为255255时，用二进制表示有时，用二进制表示有8bit8bit，最，最大为大为40954095时，用二进制表示有时，用二进制表示有12bit12bit，分别表示量，分别表示量化能达到的精度。采样后的数据总是离散的及有限化能达到的精度。采样后的数据总是离散的及有限的，这就引出了离散傅里叶变换的问题，即希望电的，这就引出了离散傅里叶变换的问题，即希望电子计算机算出的离散傅里叶变换与原信号的连续傅子计算机算出的离散傅里叶变换与原信号的连续傅里叶变换是一致的。里叶变换是一致的。8(3)(3)模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围;如，如，5V5V，+/-5V+/-5V，10V10V，+/-10V+/-10V等。等。(2)(2)转换速度转换速度;指完成一次转换所用的时间，如指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1KHz):1ms(1KHz)；10us(100kHz)10us(100kHz)时间间隔时间间隔 t t必须大于量化一个采样值所需的时必须大于量化一个采样值所需的时间才能保证采样能连续进行下去，间才能保证采样能连续进行下去，f=1/f=1/t t称为采样称为采样频率，各种频率，各种A/DA/D转换器件都规定了它能工作的最高采转换器件都规定了它能工作的最高采样频率。样频率。92 2、D/AD/A转换过程和原理转换过程和原理 D/AD/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。号的装置。D/AD/A转换器的技术指标转换器的技术指标 分辨率分辨率;转换速度转换速度;模拟信号的输出范围模拟信号的输出范围;103.3 3.3 采样定理采样定理 采样是将采样脉冲序列采样是将采样脉冲序列p(t)p(t)与信号与信号x(t)x(t)相相乘，取离散点乘，取离散点x(ntx(nt)的值的过程。的值的过程。11X(0),X(1),X(2),X(n)12每每周期应该有多少采样点周期应该有多少采样点？最少最少2 2点点:1314频域解释频域解释 0t0f0t0ft00f15采样定理采样定理 为为保保证证采采样样后后信信号号能能真真实实地地保保留留原原始始模模拟拟信信号号信信息息，信信号号采采样样频频率率必必须须至至少少为为原原信信号号中中最最高高频频率率成成分分的的2 2倍倍。这这是是采采样样的的基基本本法法则则，称称为为采采样定理。样定理。Fs 2 Fmax 16 需需注注意意，满满足足采采样样定定理理，只只保保证证不不发发生生频频率率混混叠叠，而而不不能能保保证证此此时时的的采采样样信信号号能能真真实实地地反反映映原原信信号号x(t)x(t)。工工程程实实际际中中采采样样频频率率通通常常大大于于信信号号中最高频率成分的中最高频率成分的3 3到到5 5倍。倍。17频混计算：频混计算：FsFsFsFs频混频混Fs/2工程处理：工程处理：混迭频率混迭频率=Fs-=Fs-信号频率信号频率18A/DA/D采样前的抗混迭滤波：采样前的抗混迭滤波：物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号展开展开低通滤波低通滤波(0-Fs/2)(0-Fs/2)放大放大193.4 3.4 信号的截断、能量泄漏信号的截断、能量泄漏 为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。到虚拟的无限长信号。用用计计算算机机进进行行测测试试信信号号处处理理时时，不不可可能能对对无无限限长长的的信信号号进进行行测测量量和和运运算算，而而是是取取其其有有限限的的时时间片段进行分析，这个过程称信号截断。间片段进行分析，这个过程称信号截断。20 周周期期延延拓拓后后的的信信号号与与真真实实信信号号是是不不同同的的，下下面面我我们们就就从从数数学学的的角角度度来来看看这这种种处处理理带带来来的的误误差差情况。情况。设有余弦信号设有余弦信号x(t),x(t),用矩形窗函数用矩形窗函数w(t)w(t)与其相乘，得到与其相乘，得到截断信号截断信号:y:y(t)=x(t)w(t)(t)=x(t)w(t)将将截截断断信信号号谱谱 X XT T()()与与原原始始信信号号谱谱X()X()相相比比较较可可知知，它它已已不不是是原原来来的的两两条条谱谱线线，而而是是两两段段振振荡荡的的连连续续谱谱.原原来来集集中中在在f0f0处处的的能能量量被被分分散散到到两两个个较较宽宽的的频频带带中中去去了了，这这种种现现象象称称之之为为频频谱能量泄漏谱能量泄漏。21周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差22克服方法之一：信号整周期截断克服方法之一：信号整周期截断233.5 DFT3.5 DFT与与FFT FFT 由于计算机的应用与普及，快速傅立叶变由于计算机的应用与普及，快速傅立叶变化（化（FFTFFT）技术的出现，数字信号分析发展越）技术的出现，数字信号分析发展越来越快，已完全替代模拟分析的趋势。进行数来越快，已完全替代模拟分析的趋势。进行数字信号分析，可以采用专用的数据处理机，用字信号分析，可以采用专用的数据处理机，用硬件进行快速傅立叶变换，也可以在电子计算硬件进行快速傅立叶变换，也可以在电子计算机的控制下进行机的控制下进行A/DA/D转换，即采样，再用软件转换，即采样，再用软件或硬件进行快速傅立叶变换及计算其它函数。或硬件进行快速傅立叶变换及计算其它函数。241 1、离散傅立叶变换、离散傅立叶变换 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。一个专用名词。x(t)截断、周期延拓截断、周期延拓xT(t)周期信号周期信号x xT T(t(t)的的傅里叶变换：傅里叶变换：25 对周期信号对周期信号x xT T(t(t)采样，得离散序列采样，得离散序列xT(n),将将积分转为集合：积分转为集合：展开，得连续傅立叶变换计算公式：展开，得连续傅立叶变换计算公式：用计算机编程很容易计算出指定频率点值：用计算机编程很容易计算出指定频率点值：26f=？/计算的频率点计算的频率点Fs=?N=1024dt=1.0/Fspi=3.1415926 XR=0XI=0 For n=0 To N-1 XR=XR+x(n)*cos(2*pi*f*n*dt)*dt XI=XI+x(n)*sin(2*pi*f*n*dt)*dtNextA=sqr(XR*XR+XI*XI)Q=atn(XI/XR)VBScript 样例样例27 采采样样信信号号频频谱谱是是一一个个连连续续频频谱谱，不不可可能能计计算算出所有频率点值，设频率取样间隔为：出所有频率点值，设频率取样间隔为：f=fs/N 频率取样点为频率取样点为0,f,2f,3f,.0,f,2f,3f,.，有：有：该公式就是离散傅立叶计算公式该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)(DFT)28 下图为离散傅里叶变换的图解分析。图下图为离散傅里叶变换的图解分析。图a a中，左中，左边是被分析的信号边是被分析的信号x x（t t）右边是希望得到的连续傅里右边是希望得到的连续傅里叶变换叶变换 X X（f f）。）。图图 b b中，左边是采样脉冲序列中，左边是采样脉冲序列 0 0（t t），），右边是其傅里叶变换右边是其傅里叶变换 0 0（f f）。图。图c c中，左中，左边是被分析的信号边是被分析的信号x x（t t）与采样脉冲序列与采样脉冲序列 0 0（t t）的乘积，右边是其傅里叶变换，相应于图的乘积，右边是其傅里叶变换，相应于图a a中右边信中右边信号与图号与图b b中右边信号的卷积，由于被分析信号中包含中右边信号的卷积，由于被分析信号中包含有较高频率成分，而采样频率相对较低，因而频谱的有较高频率成分，而采样频率相对较低，因而频谱的高端出现混叠。图高端出现混叠。图d d中，左边是矩形脉冲中，左边是矩形脉冲W W（t t），），右右边是其傅里叶变换边是其傅里叶变换W W（f f）。图）。图e e中，左边是有限个采中，左边是有限个采样脉冲序列，这是实际情况，相应于样脉冲序列，这是实际情况，相应于图图c c中左边信号中左边信号与图与图d d中左边信号的乘积，右边是其傅立叶变换，由中左边信号的乘积，右边是其傅立叶变换，由于时域中信号被截断，反映在频谱高端产生了皱波。于时域中信号被截断，反映在频谱高端产生了皱波。29 图图f f中，右边是频域采样脉冲序列中，右边是频域采样脉冲序列 1 1（f f），），左边左边是其逆傅里叶变换是其逆傅里叶变换 1 1（t t）。图）。图g g中，由于经过离中，由于经过离散傅里叶变换后只能得到离散的频谱即右边信号散傅里叶变换后只能得到离散的频谱即右边信号X X（n n），），相应于图相应于图 e e中右边信号与图中右边信号与图 f f 中右边信中右边信号的乘积，其包络确实近似地表示出连续傅里时号的乘积，其包络确实近似地表示出连续傅里时变换，左边是其逆傅里叶变换变换，左边是其逆傅里叶变换x x（k k），），即还原的即还原的被分析信号，其包络也近似地表示出原被分析信被分析信号，其包络也近似地表示出原被分析信号，但已将其周期化。号，但已将其周期化。由以上简单分析可知，若不希望产生频率混由以上简单分析可知，若不希望产生频率混叠现象，采样频率必须大于最高被分析频率两倍叠现象，采样频率必须大于最高被分析频率两倍以上，或必须将大于以上，或必须将大于1/21/2采样频率以上的频率成分采样频率以上的频率成分滤掉，即进行抗混滤波，这称为香农（滤掉，即进行抗混滤波，这称为香农（shannonshannon）采样定理；若希望减小皱波，则时域中不能突然采样定理；若希望减小皱波，则时域中不能突然截断信号，应根据信号的特点，采用不同的窗函截断信号，应根据信号的特点，采用不同的窗函数，减小皱波效应。数，减小皱波效应。30312 2、快速傅立叶变换、快速傅立叶变换(FFT)DFTDFT为离散信号的分析处理从理论上提供了变为离散信号的分析处理从理论上提供了变换工具，而快速付里叶变换换工具，而快速付里叶变换FFTFFT（Fast FourierFast Fourier Transform Transform）则是作为则是作为DFTDFT的一种快速算法而发展的一种快速算法而发展起来的。我们知道，有限长度序列数字信号处理中起来的。我们知道，有限长度序列数字信号处理中占有重要的地位，从时间域到频率域处理这些序列占有重要的地位，从时间域到频率域处理这些序列的手段就是的手段就是DFTDFT。然而，按照然而，按照DFTDFT的定义式进行计算，的定义式进行计算，尽管是采用计算机，也要花费很长的时间，因此，尽管是采用计算机，也要花费很长的时间，因此，DFTDFT的普及应用受到一定的限制。的普及应用受到一定的限制。19651965年美国学者年美国学者库勒库勒（J.W.CooleyJ.W.Cooley）和图基（和图基（J.W.TukeyJ.W.Tukey）提出了提出了离散付里叶变换的一种快速算法，使计算工作量大离散付里叶变换的一种快速算法，使计算工作量大为减少，从而使把时域问题转换到频域的高效处理为减少，从而使把时域问题转换到频域的高效处理成为可能。成为可能。3233 按定义计算DFT，需要N2次复数乘法及N（N1）次复数加法，若N=1024，则实数乘和实数加各为419万次，计算量非常巨大。FFT只需Nlog2 N数量级的运算，计算量比值为1/100，并且序列越长，计算量的减少越显著，因此大大地节约了运算时间。从三角公式也可看出有大量重复的cos、sin计算，FFT的作用就是用技巧减少cos、sin项重复计算。34 FFTFFT的具体实现方法有多种，关于这方面的的具体实现方法有多种，关于这方面的讨论可参阅数字信号处理等有关文献资料，此处讨论可参阅数字信号处理等有关文献资料，此处只简要介绍其中最基本、同时也是最重要的基只简要介绍其中最基本、同时也是最重要的基 2 2时间选抽算法的原理。时间选抽算法的原理。FFTFFT的思路是：的思路是：将序列逐次奇偶对分，直到将序列逐次奇偶对分，直到各子序列只含有一个数，求出单项序列的各子序列只含有一个数，求出单项序列的DFTDFT，（为其自身），然后合成两序列的（为其自身），然后合成两序列的 DFTDFT，由此再，由此再合成四项序列的合成四项序列的DFTDFT，-，最后由两个，最后由两个N/2N/2项项序列的序列的DFTDFT合成原序列的合成原序列的DFTDFT。353637这里相位因子WkN=e-j2nk/N有三个重要性质：（1）周期性Wk+mNN=WkN；（2）对称性Wk+N/2N=-WkN；（3）换底公式：WmNN=WkN/m。正是利用这些性质，可以避免DFT计算式中很多不必要的重复计算，减少计算量，加快DFT的运算速度。383940 从上图可见，变换后的输出序列X（k）按正序排列，但在输入序列X（n）的排列次序不是原来的自然顺序，而是变成了0，4，2，6，1，5，3，7。这是由于对原序列作了三次奇偶分解后得到的，如下图所示。掌握这一规律可对N为2的任意次幂的序列均能作出正确的抽取顺序。7243516（0，4）（2，6）（1，5）（3，7）（0，2，4，6）（1，3，5，7）数据整序方法（奇偶分解整序）0413.6 3.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数 1 1、栅栏效应、栅栏效应 为为提提高高效效率率,通通常常采采用用FFTFFT算算法法计计算算信信号号频频谱谱，设设数数据据点点数数为为N，采采样样频频率率为为Fs。则则计计算算得得到到的的离离散频率点为散频率点为:Xs(Fi)，Fi=i*Fs /N,i=0，1，2，.，N/2 X(f)f0f 如果信号中的频如果信号中的频率分量与频率取样点率分量与频率取样点不重合，则只能按四不重合，则只能按四舍五入的原则，取相舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线邻的频率取样点谱线值代替。值代替。42 可见在进行DFT的过程中，最后需对信号的频谱作采样，经过这种采样所能显示出来的频谱仅在各采样点上，而不在此类点上的频谱一律显示不出来，即使在其它点上有重要的峰值也会被忽略，这就是栅栏效应。432 2 能量泄漏与栅栏效应的关系能量泄漏与栅栏效应的关系 频频谱谱的的离离散散取取样样造造成成了了栅栅栏栏效效应应，谱谱峰峰越越尖锐，产生误差的可能性就越大。尖锐，产生误差的可能性就越大。例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。穷大。44 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。等，也能得到该频率分量的一个近似值。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。45 能能量量泄泄漏漏分分主主瓣瓣泄泄漏漏和和旁旁瓣瓣泄泄漏漏，主主瓣瓣泄泄漏漏可可以以减减小小因因栅栅栏栏效效应应带带来来的的谱谱峰峰幅幅值值估估计计误误差差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。463 3 常用的窗函数常用的窗函数 1 1）矩形窗）矩形窗 472 2）三角窗）三角窗 483 3）汉宁窗）汉宁窗49常用窗函数常用窗函数503.7 数字信号分析处理中存在的问题 及解决方法 1）量化误差 时间离散、幅值离散。量化误差的最大值为数字编码最后位所代表值的一半。途径：加大量化编码的位数。十二位、十六位。2）混叠 措施：提高采样频率，降低信号的最高频率fmax。抗混叠滤波。513）泄漏 措施：增加截断长度。采用不同的窗函数。目的使主瓣突出，二是使旁瓣尽快衰减。但实际上两者往往不可兼的得。4）栅栏效应 措施：整周期截取;采用不同的窗函数。52图示周期信号作整周期截取的DFT53图示 周期函数作非周期截取的DFT54通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：加矩形窗加矩形窗加加汉宁窗汉宁窗55 说明：对x（t）采一段样，相当于用一矩形窗去截取原信号，在矩形窗外的信号值都假设为零，在矩形窗内同原信号。然后在作离散付里叶变换时，又相当于强迫原信号成为窗长度为周期的周期信号。当原信号不是周期信号，或者虽是周期信号，但截取长度不等于整周期时，就歪曲了原信号，如 图所示的正弦波（图中（a）当非整周期截断时，等价的周期函数将不再是正弦波（图中（b），这就改变了信号的频率结构。又如图正弦波整周期截断时，其频谱图上有一根谱线，但若是非整周期截断，就出现了原来频率以外的许多频率成分，即出现了频率泄漏现象。为了克服这种现象因而采用了各种不同的窗函数。5657小结：小结：信号截断信号截断能量泄漏能量泄漏FFTFFT栅栏效应栅栏效应从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。583.8 3.8 时域统计量的离散运算及平均时域统计量的离散运算及平均 采样后的信号是离散的，积分相应地要变为求和运算，所以上面的各运算公式均要按求和来运算。这里就不在赘述了。由于数据处理设备的限制，采样后的数据点数N不可能非常大，常用的点数一般为1024、2048、4096等，只按一个样本的结果来分析信号，尤其对于平稳随机过程会产生较大的估计误差。解决的办法是，根据数据处理设备的特点，可每次采样 N点，进行处理并保存中间结果，再采样 N点，进行处理与前次中间结果平均，就能减少估计误差。这种方法称为集合平均的方法，它是算术平均的一种推广。59常用的平均方法有两种：常用的平均方法有两种：l l）线性平均。假定每次处理的结果为线性平均。假定每次处理的结果为a an n，平均平均后的中间结果为后的中间结果为A An n，第，第n-1n-1次算术平均应为：次算术平均应为：60 式中M为任意正整数，当nM时，可以证明前次的中间结果对当前平均值的影响随平均次数n的增加而减弱，M越大则减弱越慢。指数平均适合渐变的非平稳信号，如用于计算均值、均方值或方差等，可观察到其随时间渐变的过程。61 另一种不同的平均方式称为时域同期平均，这种方式需要与有用信号同步的触发信号，例如需要分析齿轮的啮合频率信号，可在齿轮轴上设置光码盘，利用光码盘的信号启动采样，此时采到的有用信号相位可保持完全一致，对时间信号直接进行平均，就可消除那些相位与触发信号不同步的随机信号，平均后再求功率谱密度函数，可以提高信噪比。623.9 Zoom-FFT 信号分析和故障诊断中经常会遇到信号中有频率很密集的谐波成分，用普通的谱分析方法就很难加以辩别。例如在10kHz范围内作1024点FFT，频率分辩率只有25Hz，即相邻两根谱线的间距为25Hz，如果有相邻5Hz的谐波成分就不能分辨它们了，为此要求有高分辨率的谱分析方法。照相技术中用局部放大的办法，或用变焦距镜头来观察景物的细部以提高分辨率。“频率细化”的英文名词Zoom就是从照相技术中借用过来的，其原意为变焦距。6364 从理论上讲，提高频率分辨率只有增加信号的采样长度T，如果要提高10倍分辨率就要采集10倍长的信号来作离散付里叶变换。但这样计算时间就要为原来的100倍（对 DFT方法，计算量与 N2成正比）或33.2倍(对FFT，计算量与NLog2N成正比），而且对信号分析仪来讲还要受到计算FFT点数的限制，一般固定为512、1024或明或2048点。65 细化分析方法很多，这里以应用较为广泛的复调制细化方法为例说明其原理和步骤。一般的FFT分析是一种基带的分析方法，在整个分析带宽内，频率是等分频率的，即6667假设原频率分析范围为fmax采样点数为N，采样频率fS2.56 fmax，则频率分辨率f2.56 fmax N。现若要在f1-f2区间将频率分辨率提高M倍（Zoom Factor），f2-f1 fmaxM，则采样长度应为MN点。其分析步骤为：68 （1）以采样频率fS采集MN点，得离散数据Xt，t0，1，2，MN1。（2）将信号序列Xt乘以单位旋转矢量e-j2f1t得到新的序列yt，按傅氏变换的调制性质，相当对原信号进行频移，即将f1移到频率坐标的原点。（3）用截止频率为f2-f1的数字低通滤波器对 yt进行数字滤波，得到Zt，t0，1，2，MN-1。（4）对Zt每隔M个抽选一个，组成Wt，即Wt=ZMt，t0，1，2，N-1。（5）对Wt进行N点FFT就得到了细化的频谱。即在f2-f1范围内的分辨率为f=f M。69 复调制法频率细化过程可用下图所示的框图表示，如果要改变分析范围f2-f1，则要重新按上述过程进行。目前信号分析仪可具有10400倍的频率细化能力。70Zoom-FFT原理图71图中可以看出，在输出轴齿轮Z3、Z4的啮合频率处调制出以输出轴的旋转频率n*13.17HZ为间隔的一组边频带。功率谱细化图(细化中心频率为Z3、Z4的啮合频率368HZ)72第四章第四章 信号的时序分析简介信号的时序分析简介 FFTFFT是谱估计中使用最为广泛的方法。但这种是谱估计中使用最为广泛的方法。但这种方法存在几个固有的缺陷，其中最突出的是频率分方法存在几个固有的缺陷，其中最突出的是频率分辨力受到采样长度的限制；其次是数据截取加窗的辨力受到采样长度的限制；其次是数据截取加窗的影响，在频率中表现为能量的影响，在频率中表现为能量的“泄漏泄漏”。虽然，。虽然，选用适当的窗函数，可以减小泄漏，然而又将导致选用适当的窗函数，可以减小泄漏，然而又将导致谱分辨力和幅值精度的下降，特别是在短数据记录谱分辨力和幅值精度的下降，特别是在短数据记录的情况下更为突出，这是在实际情况下经常遇到的的情况下更为突出，这是在实际情况下经常遇到的问题。而机械冲击响应信号、机械故障源信号等只问题。而机械冲击响应信号、机械故障源信号等只有很短的数据可用于分析；另一方面，当信号具有有很短的数据可用于分析；另一方面，当信号具有缓变的时变谱时，也只有在采样序列较短时，才可缓变的时变谱时，也只有在采样序列较短时，才可视其谱为时不变的。在这些情况下，基于视其谱为时不变的。在这些情况下，基于FFTFFT的传的传统谱估计方法就显得不适用了。统谱估计方法就显得不适用了。73 为了改善谱分析的性能，扩大信号处理应用的范围而发展了一种适于短数据序列的分析处理方法，即时序分析方法。与 FFT谱分析相对应，时序谱分析方法称为现代谱分析方法。1、时间序列与时间序列分析 所谓时间序列，是指按时间先后顺序排列的一组数据，在“时序分析”这一学科的研究范围内，时间序列则是广义地指一切有序的随机数据，包括时间上的先后有序和空间上的前后有序。74 时间序列分析简称时序分析，它把依某一规律变化的信号（数据）看成是依时间变化而变化的先后有序的数据，在一定的假设前提下，依据某一准则建立起数学模型，以此对原时间序列或对产生这一时间序列的系统进行分析辨识。时间序列分析方法从1927年产生至今，已在诸多工程技术领域获得了极为广泛的应用，已成为动态数据处理的一种极为重要的数学工具。将时间序列分析用于机械设备的故障诊断则是近十多年的事情，通过对有关数学模型的时域特性和频域特性分析，可识别机械设备所处的工况，但其更主要的应用则是对机械设备的剩余寿命或其未来发展趋势的预测。75 时间序列分析是数理统计学科的一个重要分支，是分析随机过程的一个重要数学工具，当然，它也不是包罗万象的，而是有其应用范畴，能够采用时序方法进行分析处理的动态数据应该满足各态历经性假设。762、时间序列分析的数学模型2.1模型结构 时间序列分析中两类最基本的数学模型是ARMA模型和AR模型。（随机差分方程）77 公式的含意是在时刻t的输出xt是此系统前n-1 个输出xt-1，xt-2，-，xt-n和由t到t-m时刻中的m个互相独立的白噪声输入的线性和。因此上式可改写为以下形式：xt=1xt-1+-+nxt-n+at+1at-1+-+mat-m 78 综上，可将at 记为at NID（0，a2），意为均值为零，方差等于a2 79 2.2模型定阶 建模的关键是把模型的阶数和参数全部估计出来，其过程是根据xt（t=l，2，N）和一定的准则，选择 n和 m，估计参数i和 j。很明显，如果阶数不同，参数的个数和数值也就不同。对于合适的阶数和模型参数，模型残差序列应为白噪声。当模型阶数低于实际阶数时，由于数据的动态结构尚未充分反映到模型中，一般残差2a较大。随着阶数的上升，逐步接近实际模型，2a值将下降。80 但是，若阶数过高，由于参数估计的误差增大，又会使2a值上升。一般用定阶准则来确定其阶数。2.3模型的特性 自功率谱密度函数是时序模型的重要特性之一。它与信号的 FFT分析处理得到的自功率谱密度函数所不同的是，它不是由观察数据直接算出，而是通过模型参数估计得到的。时序法中的自功率谱密度函数，无加窗的影响，它的频率分辩率在数据较短时比传统的付里叶谱要高。81 （利用Z变换与傅里叶变换关系ARMA模型导出自功率谱密度函数）但ARMA（n，m）在应用中主要困难是在参数估计时，观测值xt可通过检测读出，而残差at-j则需要递推计算求出，因此参数估计时间长，往往不能满足在线建模的要求。另外，它们的好坏取决于模型的阶数是否正确和模型参数估计的精度。由此可见，ARMA 模型实质上是一种利用“历史资料”（即t时刻以前的数据）来分析现 在（t时刻的数据）并进一步预测未来的数学模型。从故障诊断的观点看，这种模型的优越性表现在：821）ARMA模型是一种动态模型，它不限于对序列中的N个数据是适用的，而有自动无限外延的特性y(k),y(k-j),x(k),x(k-j)的k，j为时间的流动坐标。因此进行频域功率分析时，就克服了传统方法由于加窗而带来的一系列缺点如谱线泄漏和分辨率降低等。此外，这种方法也不必追求大样本数据，短样本数据参数估计照样能获得较好效果。2）ARMA模型能将数据中所含的信息集中凝聚在为数甚少的几个模型参数中（包括a0,a1,-,am，,b0,b1,-,bn，及a等n+m+2个参数）。在进行诊断时，便于充分利用其中的信息。8384 时序谱如果能正确地建模及模型定阶准确，则比传统的傅立叶谱有明显的优点。如图（a）表示由三个正弦波（三根离散的谱线）和有色噪声（即有限带宽噪声）所组成的过程的真实功率谱。图（b）表示64个采样点经FFT求得的功率谱，可以看到三个正弦分量很难辨认，图（c）表示由64个采样点用最小二乘法建立AR（16）模型得到的自回归谱，可见三个正弦分量清晰可辨，高频段的形状接近于真实功率谱。85自回归谱与傅立叶谱比较86 实例简介：8788 诊断结论：对抖晃影响最大的是张紧轮部件，其次是飞轮部件，然后是电动机轮及压带轮，最后是带传动。89