第七章-直梁的弯曲课件.ppt

第七章第七章 直梁的弯曲直梁的弯曲第一节第一节 弯曲的概念弯曲的概念第二节第二节 梁弯曲时横截面的内力梁弯曲时横截面的内力 第三节第三节 梁纯弯曲时的正应力梁纯弯曲时的正应力第四节第四节 梁弯曲时正应力的强度计算梁弯曲时正应力的强度计算 第一节第一节 弯曲的概念弯曲的概念桥板桥板墙墙楼板楼板1.1.基本概念基本概念7-1F梁：梁：通常将只发生弯曲变形（或以弯曲变形为主）通常将只发生弯曲变形（或以弯曲变形为主）的构件称为梁。的构件称为梁。常用梁截面常用梁截面杆件受到与轴向垂直的力的作用发生变形，称为杆件受到与轴向垂直的力的作用发生变形，称为弯曲变形弯曲变形。平平面面弯弯曲曲：当当梁梁具具有有纵纵向向对对称称平平面面时时，如如果果作作用用在在梁梁上上的的所所有有外外力力和和力力偶偶都都在在纵纵向向对对称称平平面面之之内内，则则变变形形后后梁梁的的轴轴线线将将是是该该平平面面内内的的一一条条平平面面曲曲线线，这这种种弯弯曲曲变变形形形形式式称称为为平平面面弯弯曲曲。这这是是弯弯曲曲问问题题中最基本也是最重要的一种变形形式中最基本也是最重要的一种变形形式。（l l）简简支支梁梁 梁梁的的两两端端均均有有约约束束，一一端端可可简简化化为为固固定定链链支支座座，另另一一端端可可简简化化为为活活动动铰铰支支座座的的梁称为简支梁。梁称为简支梁。2.2.梁的基本形式梁的基本形式 ABP2P1YAYBXAABP1P2MAYAXA （2 2）悬悬臂臂梁梁 一一端端为为固固定定端端、另另一一端端自自由由的梁称为悬臂梁。的梁称为悬臂梁。P1P2ABCYAYBXA （3 3）外伸梁外伸梁 若简支梁有一端或两端伸出若简支梁有一端或两端伸出支座之外，则为外伸梁。支座之外，则为外伸梁。梁的计算简图梁的计算简图 在计算简图中，通常在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁以梁的轴线表示梁。作用在梁。作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式上的载荷，一般可以简化为三种形式:1.1.集中力集中力:2.2.集中力偶集中力偶:3.3.分布载荷分布载荷(均均 布载荷布载荷)第二节第二节 梁弯曲时横截面的内力梁弯曲时横截面的内力 1.1.基本概念基本概念 梁的弯曲内力有与横截面平行的梁的弯曲内力有与横截面平行的剪力剪力Q Q和使梁的轴线和使梁的轴线发生弯曲的发生弯曲的弯矩弯矩M M。2.2.剪力和弯矩的计算剪力和弯矩的计算 以以图图a a所所示示的的简简支支梁梁为为例例，用用截截面面法法来来计计算算梁横截面上的弯曲内力。梁横截面上的弯曲内力。先用平衡方程求出先用平衡方程求出约束反力约束反力 再再取取左左段段梁梁（图图c c）为为研研究究对对象象，取取横横截截面面的的形形心心O O为为矩矩心心，列列平平衡衡方方程程，计计算算弯弯曲曲内内力力：剪剪力力Q Q和弯矩和弯矩M M。若取右段梁（图若取右段梁（图d d）为）为研究对象，同样可求得剪研究对象，同样可求得剪力力Q Q和弯矩和弯矩M M为：为：计计算算弯弯曲曲内内力力剪剪力力与与弯弯矩矩的的一一般般步步骤骤是是：先先根根据据梁梁的的外外载载荷荷求求出出约约束束反反力力；然然后后用用截截面面法法，根根据据外外载载荷荷和和约约束束反反力力，利利用用平平衡衡方方程程求求出出剪剪力力和弯矩和弯矩。3.3.剪力与弯矩的符号规定剪力与弯矩的符号规定 对剪力和弯矩的正负作出如下规定：对剪力和弯矩的正负作出如下规定：截截面面上上的的剪剪力力使使所所取取梁梁段段有有顺顺时时针针方方向向转转动动趋势时趋势时为正为正；反之为负反之为负；截截面面上上的的弯弯矩矩使使所所取取梁梁段段产产生生向向下下凸凸的的变变形形时为正时为正；反之为负。；反之为负。横截面上的横截面上的剪力剪力，在，在数值数值上等于其左段或上等于其左段或右段梁上右段梁上所有外力的代数和所有外力的代数和；横截面上的；横截面上的弯矩弯矩，在在数值数值上等于其左段或右段梁上上等于其左段或右段梁上所有外力对该所有外力对该截面形心的力矩的代数和截面形心的力矩的代数和。外载荷正负号规定：外载荷正负号规定：左上右下生正剪，左顺右逆生正弯左上右下生正剪，左顺右逆生正弯 一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定，一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定，假设假设截面上的弯矩和剪力为截面上的弯矩和剪力为正方向正方向，然后由平衡，然后由平衡方程方程计算计算截面上的弯矩、剪力。若结果截面上的弯矩、剪力。若结果为正为正，则，则说明假设的正方向是说明假设的正方向是正确正确的，即该截面上的弯矩、的，即该截面上的弯矩、剪力为正；若结果剪力为正；若结果为负为负，则说明弯矩、剪力的实，则说明弯矩、剪力的实际际方向方向相反相反，即为负。，即为负。或者：或者：例例7.17.1：求图求图（a a）所）所示梁示梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。xy解：解：截面法求内力。截面法求内力。1-11-1截面处截取的分离体截面处截取的分离体 如图（如图（b b）示。示。图（图（a a）qqLab1122qLQ1AM1图（图（b b）x12 2-2-2截面处截取的分离体如图截面处截取的分离体如图（c c）xy图（图（a a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（图（c c）4.4.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 以以截截面面离离梁梁的的某某一一端端（左左端端）的的距距离离x x来来表表示示截截面面的的位位置置，剪剪力力Q Q就就是是一一个个x x的的函函数数Q=QQ=Q（x x），这个关系式称为这个关系式称为剪力方程剪力方程。相相应应地地，表表示示弯弯矩矩的的方方程程M=MM=M（x x）则则称称为为弯弯矩矩方程方程。剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图：表表示示剪剪力力和和弯弯矩矩沿沿梁梁轴轴线线变变化的图形。化的图形。实实际际上上，只只有有在在梁梁的的跨跨度度很很小小的的情情况况下下，剪剪力力才才能能对对梁梁的的强强度度和和刚刚度度产产生生较较明明显显影影响响，而而绝绝大大多多数的梁，数的梁，弯矩是强度、刚度的决定因素。弯矩是强度、刚度的决定因素。因此，一般只着重于弯矩的分析计算因此，一般只着重于弯矩的分析计算。【例例7.27.2】简支梁简支梁ABAB受集中力受集中力P P作用，如下图所示，作用，如下图所示，试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。矩图。Q QO OO OM Mx xx x 例例7.37.3如下图所示的简支梁跨度为如下图所示的简支梁跨度为l l，试建立自，试建立自重重q q作用下梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪作用下梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。力图和弯矩图。1 1 计算支座反力计算支座反力2 2 建立剪力、弯矩方程建立剪力、弯矩方程3 3 绘制剪力、弯矩图绘制剪力、弯矩图一、一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系三、剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系三、剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系即：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。即：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。即：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。即：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：29 29二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外外力力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角 自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2简易作图法简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。图的方法。例例7.47.4 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解解:利用内力和外力的关系及利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊点的内力值来作图。特殊点特殊点:端点、分区点（外力变化点）和端点、分区点（外力变化点）和驻点等。驻点等。aaqaqAaaqaqA左端点：左端点：线形：线形：根据根据；及集中载荷点的规律确定。及集中载荷点的规律确定。分区点分区点A A：M M 的驻点的驻点：右端点：右端点：Qxqa2qaxM 例例7.57.5 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力解：求支反力左端点左端点A A：B B点左：点左：B B点右：点右：C C点左：点左：M M 的驻点的驻点：C C点右：点右：右端点右端点D D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+第三节第三节 梁纯弯曲时的正应力梁纯弯曲时的正应力 纯纯弯弯曲曲：若若某某段段梁梁的的横横截截面面上上只只有有弯弯矩矩、没没有有剪剪力力，则则这这段段梁梁的的受受力力状状态态称称为为纯纯弯弯曲曲。纯纯弯弯曲曲梁梁的的所所有有截截面面上上弯弯矩矩为为常常量量。如如图图所所示示的的ABAB段段梁，其受力状态就是纯弯曲。梁，其受力状态就是纯弯曲。一、正应力的分布规律一、正应力的分布规律1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验 横向线横向线(abab、cdcd）变形）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴bdacabcdMM梁由无数纵向纤维组成，各纤维的变形为拉伸或压缩。梁由无数纵向纤维组成，各纤维的变形为拉伸或压缩。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。距中性轴等高处，变形相等。2 2.推推 论论3 3.两两个个概概念念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。横截面上没有剪应力，只有正应力。横截面上没有剪应力，只有正应力。A1B1O2O14.4.几何方程：几何方程：abcdABdq qr ryO1O2O（二）物理关系：（二）物理关系：（三）静力学关系：（三）静力学关系：(3)EIEI 梁梁的抗弯刚度。的抗弯刚度。中性轴中性轴Z Z是通过截面形心且与纵向对称轴垂直，中性层的是通过截面形心且与纵向对称轴垂直，中性层的曲率为：曲率为：根据胡克定律，应力在材料的比例极限内，应力与应变的规律：根据胡克定律，应力在材料的比例极限内，应力与应变的规律：I I为横截面对中性轴的为横截面对中性轴的惯性矩惯性矩。I I是对是对指定的轴指定的轴而言的，而言的，是一个是一个仅与截面的尺寸和形状有关的几何量仅与截面的尺寸和形状有关的几何量，表征截面的，表征截面的抗弯能力抗弯能力，I I的单位是的单位是m m4 4。梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力计算公式为：梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力计算公式为：横截面上应力与弯矩的关系横截面上应力与弯矩的关系 每每一一点点的的正正应应力力值值都都与与弯弯矩矩成成正正比比，与与截面轴惯性矩截面轴惯性矩I I成反比；成反比；应力沿截面高度线性分布，在中性轴处应力沿截面高度线性分布，在中性轴处正应力为零，上下边缘处最大。正应力为零，上下边缘处最大。(4)（四）最大正应力：（四）最大正应力：(5)其中：其中：W:W:截面对中性轴截面对中性轴Z Z的抗弯截面模量，的抗弯截面模量，mmmm3 3注意：若中性轴注意：若中性轴z z不是截面的对称轴，则计算最大拉、不是截面的对称轴，则计算最大拉、压应力时，需将中性轴两侧不同的压应力时，需将中性轴两侧不同的y y值代入计算。值代入计算。dDdDd=abh例例1 1 受均布载荷作用的简支梁受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：如图所示，试求：（1 1）1 11 1截面上截面上1 1、2 2两点两点的正应力；的正应力；（2 2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3 3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4 4）已知）已知E E=200GPa=200GPa，求，求1 11 1截面的曲率半径。截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：解：画画M M图求截面弯矩图求截面弯矩30Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力求应力18030求曲率半径求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030第四节第四节 梁弯曲时正应力的强度计算梁弯曲时正应力的强度计算 如如果果是是等等截截面面梁梁，弯弯矩矩最最大大的的截截面面就就是是危危险险截截面面；要要先先（通通过过画画弯弯矩矩图图的的方方法法）确确定定最最大大弯弯矩矩所所在在截截面面，算算出出最最大大弯弯矩矩值值，然然后后计计算算出出该该截截面面上上应应力力最最大大点点的的应应力力。它它就就是是全全梁梁中中的的最最大大应应力力maxmax,称称为为危危险险点点应应力力，这这个个点点就就称为称为危险点危险点。如如果果是是变变截截面面梁梁，则则危危险险点点未未必必出出现现在在弯弯矩矩最最大大的的截截面面上上，因因为为还还要要考考虑虑截截面面抗抗弯弯截截面面模模量量的的大大小小。这这就就需需要要综综合合弯弯矩矩和和抗抗弯弯截截面面模模量量两两个个因因素素，才才能能找找到到危危险险点点，算算出危险点应力，再进行强度计算。出危险点应力，再进行强度计算。梁弯曲的梁弯曲的强度条件强度条件，是梁内的危险点应力不超过材料，是梁内的危险点应力不超过材料的许用弯曲应力的许用弯曲应力，即，即 运运用用梁梁弯弯曲曲的的强强度度条条件件式式可可解解决决的的三三类类强强度度计计算算问题：问题：强度校核强度校核、设计截面尺寸设计截面尺寸、确定最大载荷。确定最大载荷。例例7.6 7.6 T T字形截面外伸梁，其截面尺寸如图，字形截面外伸梁，其截面尺寸如图，截面的惯性矩为截面的惯性矩为I IZ Z=2.6=2.610107 7mmmm4 4，梁的材料为铸，梁的材料为铸铁，其许用拉应力铁，其许用拉应力+=30MPa=30MPa，许用压应力，许用压应力-=120MPa=120MPa，且外力，且外力q=16kN/mq=16kN/m，试校核梁的强，试校核梁的强度。度。解解 1.1.确定危险截面确定危险截面 由梁的平衡方程求约束反力由梁的平衡方程求约束反力 对于对于ABAB段段 在在ABAB段内取距离段内取距离A A端端x x的任意截面的任意截面，将梁截开，取左端为研究对象。，将梁截开，取左端为研究对象。对对于于BCBC段段 在在BCBC端端内内取取距距离离A A端端x x的的任任意意截截面面，将梁截开，取右端为研究对象。将梁截开，取右端为研究对象。作梁的剪力图、弯矩图如图所示。作梁的剪力图、弯矩图如图所示。由由弯弯矩矩图图可可见见，截截面面E E上上正正弯弯矩矩最最大大，截截面面B B上上负负弯弯矩矩最最大大。由由于于截截面面只只有有一一根根对对称称轴轴，故故截截面面上上最最大大拉拉、压压应应力力不不等等，且且梁梁的的材材料料为为铸铸铁铁，其其许许用用拉拉、压压应应力力不不等等，所所以以截截面面E E、B B均均为为可可能能的的危危险险截面。截面。2 2确定危险点并进行强度校核确定危险点并进行强度校核 对对于于截截面面E E，其其上上弯弯矩矩为为正正值值，截截面面的的应应力力分分布布如如图所示，最大拉、压应力分别为图所示，最大拉、压应力分别为 对对于于截截面面B B，其其上上弯弯矩矩为为负负值值，截截面面的的应应力力分分布布如图所示，最大拉、压应力分别为如图所示，最大拉、压应力分别为 比较以上结果得梁的最大拉、压应力为比较以上结果得梁的最大拉、压应力为 故梁的强度是安全的。故梁的强度是安全的。