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第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分析马树萍21.1 线性定常系统的传递函数描述传递函数描述的是系统的输入输出关系，用它描述系统时，假定对系统结构的内部信息一无所知，能够得到的只是系统的输入信息和输出信息，这种情况下，对我们来说，系统的内部结构就像一个“黑箱”一样，因此，传递函数只能刻画系统的输入输出特性，它被称为系统的输入-输出描述和外部描述。使用传递函数方法描述系统所用的数学工具主要是拉普拉斯（Laplace）变换，因此，它主要适用于描述线性定常系统。31.1-1 单变量情形回顾已知由下列常系数微分方程描述的定常系统(1.1.1)=其中叫做系统的输出，叫做系统的输入，为时间，均为常数，i=0，1,n,yayayaynnn0)1(1)1(1+?()(1)(1)110mmmmb ububub u+?()y t)(tut(),iiid yydt=(),jjijjd uua bdt=0,1,jm=?.mn41.1-1 单变量情形回顾假定(1.1.2)对(1.1.1)两边取拉普拉斯变换，得则(1.1.3)称为系统(1.1.1)的传递函数。传递函数为s的真有理分式，则称系统为物理能实现的。单输入单输出系统的传递函数必为真有理分式。(1)(1)(0)(0)(0)0nyyy=?(1)(1)(0)(0)(0)0nuuu=?11110110()()()()nnmmnmmsasa say sb sbsb sb u s+=+?11101110()()()mmmmnnnb sbsbsby sG su ssasa sa+=+?51.1-1 单变量情形回顾多项式为系统(1.1.1)的特征多项式，代数方程叫系统(1.1.1)的特征方程，特征方程的根或说特征方程的零点叫系统(1.1.1)的极点，多项式的零点，叫(1.1.1)的零点，若系统(1.1.1)有相同的零点和极点，则称系统有零极点相消，零极相消后剩下的系统的零点和极点分别为传递函数的零点和极点。1110nnnsasa sa+?11100nnnsasa sa+=?1110mmmmb sbsb sb+?61.1-2 传递函数矩阵多输入多输出的线性定常系统，令输入变量组为，输出变量组为，且假定系统的初始变量为零。用和分别表示和的拉普拉斯变换，表示系统的由第j个输入端到第i个输出端的传递函数，其中，则由系统的线性属性（即满足叠加原理）可以导出：12,pu uu?12,qy yy?)(syi)(sujiyju1,iq=?1,jp=?1111122122112222()()()()()()()()()()()()()()ppppy sgs u sgs u sgs usy sgs u sgs u sgs us=+=+?1122()()()()()()()qqqqppy sgs u sgs u sgs us=+?71.1-2 传递函数矩阵向量方程的形式为称为系统的传递函数矩阵。为的一个有理分式矩阵。当除严格真还包含真有理分式时，即的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。12()()()()qy sy sY sy s=?11121121222212()()()()()()()()()()()()ppqqqppgsgsgsu sgsgsgsu sgsgsgsus?()()G s U s=()G s()G s()ijgs()G s81.1-2 传递函数矩阵当且仅当为真的或严格真的时，它才是物理上可实现的。当且仅当零阵为严格真的，非零常阵传递函数矩阵为真的。()G s()G slim()sG s=lim()sG s=91.2 线性定常系统的状态空间描述1.2-1 状态和状态空间系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的。定义定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变量，称为系统的状态变量，其中，为初始时刻。由状态变量构成的列向量称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。12(),()x tx t?()nx t0tt0t10()(),()nx tx tttx t=?101.2-1状态和状态空间状态和状态空间的含义几点解释:状态变量组可完全的表征系统行为：只要给定变量,在初始时刻的值，以及输入变量，,在各瞬时的值，则系统中任何一个变量在时的运动行为也就随之完全的确定了。状态变量组的最小性体现在：状态变量组.,是为完全表征系统行为所必需的系统向量的最少个数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不需要的。0t1()u t2()u t()put0tt0tt12(),()x tx t()nx t12(),()x tx t()nx t111.2-1 状态和状态空间 状态变量组在数学上的特征体现在：状态变量组，构成系统变量中线性无关的一个极大变量组。状态空间是建立在实数域上的向量空间，其维数为n。对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中的一个点；而状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹。状态变量组包含了系统的物理特征：当组成状态的变量个数n为有穷正整数时，相应的系统为有穷维系统，且称n为系统的阶次；当为无穷大时，相应的系统则为无穷维系统。状态变量组选取上的不唯一性。由于系统中变量的个数一般大于n，而其中仅有n个线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。12(),()x tx t()nx t121.2-2 动态系统的状态空间描述在引入了状态和状态空间概念的基础上，就可来建立动力学系统的状态空间描述。图1.1 动力学系统结构示意图131.2-2 动态系统的状态空间描述和输入输出描述不同，状态空间描述中把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程，输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。数学上必须采用微分方程或差分方程来表征，并且称这个数学方程为系统的状态方程。连续动态过程的状态方程为11121201212(,)(,)npnnnpxf x xx u uutttxfx xx u uut=?141.2-2 动态系统的状态空间描述状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，描述这种转换过程的数学表达是为变换方程，并且称之为系统的输出方程或量测方程。一个连续的动力学系统的输出方程为1112121212(,)(,)npqqnpyg x xx u uutygx xx u uut=?151.2-2 动态系统的状态空间描述系统的状态空间描述为状态方程和输出方程组成0),(tttuxfx=?(,)yg x u t=12nxxxx=?12puuuu=?12qyyyy=?12(,)(,)(,)(,)nf x u tfx u tf x u tfx u t=?12(,)(,)(,)(,)qg x u tgx u tg x u tgx u t=?161.2-2 动态系统的状态空间描述离散动态过程的状态空间的描述。离散动态过程的一个重要特点是，系统的各个变量都被处理成为只在离散时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系。用k=0,1,2来表示离散的时刻，则离散时间系统（简称离散系统）的状态方程和输出方程的最一般形式为：(1)(),(),),0,1,2,()(),(),)x kf x k u k kky kg x k u k k+=?171.2-2 线性定常系统的状态空间描述线性定常系统的状态空间描述的表达式为其中为n维状态向量，n为系统的阶，为p维控制输入向量，为q维输出向量，A为阶系统矩阵，B为阶输入矩阵，C 为阶输出矩阵，D为阶前馈矩阵，统称为系统的系数矩阵，均为实常阵。线性定常系统也叫做线性时不变系统，完全由系数矩阵决定，简记为(A,B,C,D)。xAxBuyCxDu=+=+?()x t()u t()y tn nnpqnqp181.2-2 线性定常系统的状态空间描述线性定常系统,称系统矩阵A的特征值，特征向量，若当标准型，特征方程，特征多项式为系统的特征值，特征向量，若当标准型，特征方程，特征多项式，系统的特征值也称作系统的极点。若，则系统为单输入线性定常系统；,系统为单输出线性定常系统，若，系统为单输入单输出系统，或单变量系统。1p=1q=1pq=191.2-2 线性定常系统的状态空间描述线性定常离散系统的状态空间描述为简记为(G,H,C,D)。(1)()(),0,1,2,()()()x kGx kHu kky kCx kDu k+=+=+?201.3 输入输出描述导出状态空间描述考虑单输入单输出线性定常系统。表征系统动态过程的输入输出描述，时域为=（1.3.1）等价的频域描述，即传递函数为（1.3.2）()(1)(1)110nnnyaya ya y+?()(1)(1)110mmmmb ububub u+?()()()Y sg sU s=101110mmnnnb sb sbsasa sa+?mn211.3 输入输出描述导出状态空间描述引进状态变量，将其写成状态空间描述形式（1.3.3）为维n状态变量,A,b,c,d?分别为,11的矩阵。将(1.3.1),(1.3.2)写成(1.3.3)的形式,称为实现问题，第5章作专门介绍。实现不具有唯一性传递函数。下面给出(1.3.1)或(1.3.2)的几种状态空间描述形式：xxAxbuycxdu=+=+?xn n1n1 n221.3 输入输出描述导出状态空间描述(1)当时定理定理1.2 给定单输入单输出线性定常系统的输入输出描述(1.3.1)或(1.3.2)，当时，其对应的一个状态空间描述为(1.3.4)mnnm 0110100101nxxuaaa =+?0100mybbbx=?231.3 输入输出描述导出状态空间描述证明证明：由时域(1.3.1)来证明，引进中间变量，令显然与(1.3.1)有相同的输入输出输出关系，令.z()(1)(1)110nnnuzaza za z=+?()(1)10mmyb zb zb z=+?()()Y sU s1xz=2xz=?(1)nnxz=241.3 输入输出描述导出状态空间描述则有：12xx=?23xx=?1nnxx=?nx=?11201nnaxa xa xu+?01121mmyb xb xb x+=+?12Tnxxxx=?令(1.3.4)式成立。251.3 输入输出描述导出状态空间描述(2)时，(1.3.1)或(1.3.2)的状态空间描述求法。先求极限mn=lim()sg sd=然后令1()()g sg sd=为严格真，直接按(1.3.4)的形式写出A,b,c即可。261.3 输入输出描述导出状态空间描述(3)当0m=时，此时输入输出关系为()(1)(1)1100nnnyaya ya yb u+=?令1xy=(1)2xy=?(1)nnxy=推得12xx=?23xx=?1nnxx=?()(1)(1)1100nnnnxyaya ya yb u=+?1yx=?271.3 输入输出描述导出状态空间描述12Tnxxxx=?记,得到如下状态空间描述形式0110010010nxxuaaab=+?100yx=?281.4 由状态空间描述导出的传递函数矩阵对于多输入多输出线性定常系统，传递函数矩阵是表征系统输出输入特性的最基本的形式。本节从系统的状态空间描述出发，来导出系统的传递函数矩阵，也就是从另一个角度，来揭示状态空间描述和输入输出描述间的关系。291.4-1 传递函数矩阵的表示的基本关系式(,)定理定理1.3 对应于状态空间描述A B C D,(0)0 xAxBu xyCxDu=+=+?(1.4.1)的传递函数矩阵为1()()G sC sIABD=+(1.4.2)并且，当0D 时，()G s为真的，0D=时，()G s为严格真的，且有lim()sG sD=(1.4.3)301.4-1 传递函数矩阵的表示的基本关系式(,)A B C D证明证明：对(1.4.1)作拉普拉斯变换，可导出()()()()()()sX sAX sBU sY sCX sDU s=+=+(1.4.4)由(1.4.4)的第一关系式又可得到()()()sIA X sBU s=(1.4.5)考虑到()sIA作为多项式矩阵必是非奇异的，因此(1.4.5)可改写为311.4-1 传递函数矩阵的表示的基本关系式(,)A B C D1()()()X ssIABU s=(1.4.6)将(1.4.6)代入到(1.4.4)的第二个关系式，即得到1()()()Y sC sIABD U s=+(1.4.7)从而可导出(1.4.2)式。再考虑到1adj()()det()sIAsIAsIA=(1.4.8)adj()sIA()sIA表示特征矩阵的伴随矩阵，321.4-1 传递函数矩阵的表示的基本关系式其每个元多项式的最高幂次均小于()G det()sIA所以必有，1lim()0ssIA=(1.4.9)于是由(1.4.9),(1.4.2)即可得出(1.4.3).进一步易知，当0D，()G 为非零常阵，故有(1.4.2)给出的为真的，当0D=时，()G 为零矩阵，故相应的()G s为严格真的。定理得证。(,)A B C D331.4-2 的实用关系式()G s下面我们给出由 计算的两个实用算式。,A B C()G s定理定理1.4 给定状态空间描述的系数矩阵,A B C，求出1110()det()nnnssIAsasa sa=+?(1.4.10)1212311212011nnnnnnnnnECBECABaCBECABaCABCBECABCABCB=+=+=+?(1.4.11)341.4-2 的实用关系式()G s则相应的传递函数矩阵可表示为1212101()()()nnnnG sEsEsE sEs=+?(1.4.12)证明证明：首先来推导1()sIA的一个关系式，记1()PsIA=()sIA PI=，于是有，则sPAPI=+22s PsAPsIA PAsI=+=+?(1.4.13 a)(1.4.13 b)351.4-2 的实用关系式()G s1221lllllls PA PAAsAssI=+?1221nnnnnns PA PAAsAssI=+?(1.4.13 c)(1.4.13 d)另有凯莱哈密顿(Cayley-Hamilton)定理知11100nnnAaAa Aa I+=?则由(1.4.10),(1.4.13)式可得(1.4.14)361.4-2 的实用关系式()G s1221()nnnnns PA PAAsAssI=+?12321()nnnnnaAPAAssI+?+?2210()()aA PAsIa APIa P+121210121212312211()()()()nnnnnnnnnnnnAaAa Aa Aa I PAaAa Aa IAaAa I sAaI sIs=+?(1.4.15)371.4-2 的实用关系式()G s再由(1.4.14)即可得11212123122111()()()()()nnnnnnnnnPsIAAaAa Aa IsAaAa I sAaI sIs=+?(1.4.16)将(1.4.16)代入1()()G sC sIAB=即得(1.4.12)式。结论得证。381.4-2 的实用关系式()G s1()sIA可简记为11111010111()()()nnnnjijjijiijijjijsIAsa AAa sss =+=+=1na=(1.4.17)()G s还可表示为11110101()()()nnnnjijjijiijijjijsa AAa sG sCBCBss =+=+=(1.4.18)391.4-2 的实用关系式()G sA110,lllssasaln+?（）=(,)A B C11110101(),1()()lllljijjijiijijjijlsa AAa sG sCBCB ass =+=+=推论推论1.1 若的最小多项式为则系统的传递函数矩阵可表示为(1.4.19)(1.4.20)401.4-2 的实用关系式()G s类似于单输入单输出传递函数零点和极点的定义，对于多输入多输出 系统的传递函数()G s，若传递函数(1.4.20)是不可简约（既约）的，则()0s=的根，称为传递函数()G s的极点，()0G s=的所有s值，称为传递函数的零点。411.5 线性定常系统在坐标变换下的特性坐标变换实质上就是一种线性非奇异变换，系统在坐标变换下的特性，即为其在线性非奇异变换下的基本属性。定理定理1.5 给定线性定常系统的状态空间描述为xAxBuyCxDu=+=+?(1.5.1)引入变换xPx=，P非奇异，并令变换后的状态空间状态空间描述为xAxBuyCxDu=+=+?(1.5.2)421.5 线性定常系统在坐标变换下的特性则必成立11,APAPBPB CCPDD=(1.5.3)证明证明：由()xPxP AxBu=+?1PAP xPBuAxBu=+=+1yCxDuCP xDuCxDu=+=+=+(1.5.4)即可得结论成立。431.5 线性定常系统在坐标变换下的特性定理定理1.6 考虑由(1.5.1)，(1.5.2)给出的状态空间描述两者具有相同的特征值()(),1,2,iiAAin=?(1.5.5)证明证明：由1,APAP=可导出10det()det()iiIAIPAP=11det()detdetdet()iiPIA PPPIA=det()0iIA=结论得证。441.5 线性定常系统在坐标变换下的特性定理定理1.7 线性定常系统的传递函数矩阵在坐标变换下保持不变。证明证明：令系统在不同坐标系下的传递函数矩阵分别为1()()G sC sIABD=+1()()G sC sIABD=+且有11,APAPBPB CCPDD=451.5 线性定常系统在坐标变换下的特性即可导出111()()G sCPsIPAPPBD=+1111()()()C PsIPAPPBDC sIABDG s=+=+=定理结论得证。461.5 线性定常系统在坐标变换下的特性几点讨论。若两个状态空间描述之间满足(1.5.3)，则称它们是代数等价的，也即它们具有相同的一些代数特性。定理1.5说明，同一系统采用不同的状态变量组所导出的两个状态空间描述之间必然是代数等价的。定理1.6，定理1.7说明代数等价的线性定常系统有相同的特征值及传递函数。由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的特性具有客观性，因此系统在坐标变换下的不变量和不变属性，反映了其固有的特性。例如特征值反映系统的稳定性，传递函数反映了系统的输入输出特性。471.6 线性定常系统的运动分析线性定常系统的状态方程为0,(0),0 xAxBu xx t=+=?(1.6.1)xnup,A B,nn np为维状态向量,为维输入向量,分别为常阵。分析系统(1.6.1)的运动规律，从下面的三种情形考虑。481.6-1 零输入响应线性定常系统的自治方程0,(0),0 xAx xxt=?(1.6.2)定理定理1.8 系统(1.6.2)的零输入响应的表达式为0(),0,Atx te xt=(1.6.3)证明证明：设()Atx te C=,由0(0)xx=可得00AeCx=即0Cx=，从而得(1.6.3)。491.6-2 零状态响应初始状态为零的线性定常系统的强迫方程,(0)0,0 xAxBu xt=+=?(1.6.4)定理定理1.9(1.6.4)所描述的线性定常系统的零状态响应的表达式为()0()(),0,tA tx teBudt=(1.6.5)501.6-3 线性定常系统的状态运动规律定理定理1.10 线性定常系统(1.6.1)在初始状态和外输入同时作用下的状态运动的表达式为()00()(),0tAtA tx te xeBudt=+更一般的表达式为00()()00()(),tA t tA ttx texeBudtt=+511.6-3 线性定常系统的状态运动规律状态运动的表达式物理含义:系统的运动由两部分组成，其中第一项是初始状态的转移项，第二项为控制作用下的受控项。正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的控制，使状态轨线满足期望的要求的可能性。这是我们分析系统的结构特性和对系统进行控制设计的基本依据。521.7 线性定常系统的脉冲响应矩阵1.7-1 脉冲响应矩阵考虑一个具有个输入端和个输出端的线性定常统,假定系统具有零初始状态，令时刻加于第个输入端一个单位脉冲函数,令其他输入端的输入为零，用表示第个输出端在时刻的脉冲响应。称pqj()t()ijgtit111212122212()()()()()()()()()()ppqqqpgtgtgtgtgtgtG tgtgtgt=?(1.7.1)为系统的脉冲响应矩阵。531.7-1 脉冲响应矩阵由于系统满足因果律，总假定系统的输出在输入加入之前的所有瞬时为零，所以满足()G t()G ttCT或2ST=831.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化T图1.5 连续信号的幅频谱及上限频率841.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化T定理定理1.15 线性定常系统（1.9.1）的时间离散化模型为(1)()()x kGx kHu k+=+()()()y kCx kDu k=+ATGe=0TAtHe dtB=,证明：系统(1.9.1)的状态运动表达式为()00()()tAtA tx te xeBud=+851.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化T(1)(1)(1)00(1)()kTA kTA kTx kTexeBud+=+(1)(1)(1)00()()kTkTATAkTA kTA kTkTeexeBudeBud+=+()000()()kTTATAkTA kTAteexeBude dtBu k=+记(1)(1),x kTx k+=+()()y kTy k=,ATGe=0TAtHe dtB=结论得证。861.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化T例例1122010,0021xxu txx=+?采样周期0.1T=秒，建立其时间离散化模型。解：首先求,Ate11111(2)02102sss ssIAss+=+（871.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化T求拉普拉斯反变换得2210.5(1)0tAtteee=2210.09110.5(1)00.8190TATTeGee=881.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化220022010.5(1)1000.0050.50.250.2510.09100.50.5tTTAttTTeHe dt BdteTTee=+=+离散化模型的状态方程为1122(1)()10.0910.005()(1)()00.8190.091x kx ku kx kx k+=+T891.9-2 线性定常系统按采样周期的离散化T线性定常系统离散后的特点：?离散化系统仍为定常系统。A是否奇异，离散化后系统矩阵?不管G一定非奇异。