第七节 傅立叶(Fourier)级数.ppt

第七节第七节 傅立叶傅立叶(Fourier)级级数数1.问题的提出问题的提出2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性3.函数展成傅立叶级数函数展成傅立叶级数4.正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数5.小结、作业小结、作业1/27一、问题的提出一、问题的提出正弦函数正弦函数简单的周期现象简单的周期现象2 周期三角级数。周期三角级数。非正弦周期函数能否表为不同频率正弦波的叠加非正弦周期函数能否表为不同频率正弦波的叠加2/27二、二、三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系三角函数系在在2 长周期区间上具有长周期区间上具有正交性正交性：任两个不同函数的乘积在任两个不同函数的乘积在2 长周期区间上积分长周期区间上积分=0：3/27三、函数展成傅里叶级数三、函数展成傅里叶级数问题问题:1.若能展开若能展开,是什么是什么?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数4/275/27傅里叶系数傅里叶系数:傅里叶级数傅里叶级数:问题问题:6/272.2.狄利克雷狄利克雷(DirichletDirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)注意注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.7/27解解(所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.8/27根据收敛定理，有根据收敛定理，有函数图象函数图象和函数图象和函数图象9/27观看：观看：u(t)不同频率正弦波分量的叠加过程不同频率正弦波分量的叠加过程10/27观看：观看：u(t)不同频率正弦波分量的叠加过程不同频率正弦波分量的叠加过程11/27观看：观看：u(t)不同频率正弦波分量的叠加过程不同频率正弦波分量的叠加过程12/27观看：观看：u(t)不同频率正弦波分量的叠加过程不同频率正弦波分量的叠加过程13/27观看：观看：u(t)不同频率正弦波分量的叠加过程不同频率正弦波分量的叠加过程14/27注注:对对2 长长区间上定义的区间上定义的非周期非周期函数函数 f(x)也也可展成可展成2 周期傅氏级数。周期傅氏级数。作法作法:15/27解解16/27*利用傅氏展开式求数项级数的和：利用傅氏展开式求数项级数的和：17/27四、正弦级数和余弦级数四、正弦级数和余弦级数由由18/27解解（为（为奇函数奇函数，傅氏级数为，傅氏级数为正弦级数正弦级数）。）。由狄氏充分条件，有由狄氏充分条件，有函数的图象函数的图象19/27和函数的图象和函数的图象观观察察两两函函数数图图形形20/27解解（为（为偶函数偶函数，傅氏级数为，傅氏级数为余弦级数余弦级数）21/27(0,)、(0,、0,)、0,上的上的非周期非周期函数函数 既可展成既可展成2 周期正弦级数又可展成余弦周期正弦级数又可展成余弦级数级数.1.正弦级数展开正弦级数展开:2.余弦级数展开余弦级数展开:22/27解解(1)1)正弦级数展开正弦级数展开.23/27(2)2)余弦级数展开余弦级数展开.24/27问：问：(0,)、(0,、0,)、0,上的上的非周期非周期函数函数 f(x)的的2 周期傅氏级数只能是正弦级数和余弦周期傅氏级数只能是正弦级数和余弦级数级数?例例:25/27 长区间上长区间上函数的函数的2 周期傅氏级数展开式有无穷多个。周期傅氏级数展开式有无穷多个。26/27五、小结五、小结1.三角函数系的正交性；三角函数系的正交性；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分条件；狄利克雷充分条件；4.2 2 长区间上长区间上非周期函数的傅氏展开式。非周期函数的傅氏展开式。5.奇函数和偶函数的傅氏级数。奇函数和偶函数的傅氏级数。6.0 0到到 上上非周期函数的非周期函数的2 2 周期傅氏级数展开。周期傅氏级数展开。27/27作 业习题11-7 1-(1)2-(2)6