自动控制原理 第3章 控制系统的时域分析[3.4].ppt

自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院3.4 3.4 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析常用词汇常用词汇稳定性稳定性 stability必要条件必要条件 necessary condition充分条件充分条件 sufficient condition自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是是是是稳定稳定稳定稳定的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、的。因此。研究系统的稳定性、稳定条件、稳定措施是控制系统的重要内容。稳定措施是控制系统的重要内容。稳定措施是控制系统的重要内容。稳定措施是控制系统的重要内容。本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，本节内容：用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响。分析系统参数变化对稳定性的影响。分析系统参数变化对稳定性的影响。分析系统参数变化对稳定性的影响。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院 线性控制系统稳定性的定义为：线性控制系统稳定性的定义为：线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随线性控制系统在初始扰动影响下，其动态过程随时间推移逐渐衰减时间推移逐渐衰减(decay)并趋于零并趋于零(或原平衡工或原平衡工作点作点)，则称系统是渐进稳定，简称稳定；，则称系统是渐进稳定，简称稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，若在初始扰动下，其动态过程随时间推移而发散，则称系统不稳定；则称系统不稳定；若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不若在初始扰动下，其动态过程随时间的推移虽不能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的能回到原平衡点，但可以保持在原工作点附近的某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。某一有限区域内运动，则称系统临界稳定。临界稳定临界稳定marginally stable/critical stable自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院稳定性是表征系统在稳定性是表征系统在扰动撤消后自身的一扰动撤消后自身的一种恢复能力，因而它种恢复能力，因而它是系统的一种是系统的一种固有的固有的特性。特性。指系统在扰动消失后，指系统在扰动消失后，指系统在扰动消失后，指系统在扰动消失后，由由由由初始偏差状态初始偏差状态初始偏差状态初始偏差状态恢复恢复恢复恢复到到到到原平衡状态原平衡状态原平衡状态原平衡状态的性能。的性能。的性能。的性能。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院3.4.1 线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件（sufficient and necessary condition)由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动由于稳定性研究的问题是扰动作用去除后的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描本身的特性，因而可以系统的脉冲响应函数来描述。述。如果脉冲响应函数是收敛的，即有如果脉冲响应函数是收敛的，即有 (3-52)表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳表示系统能回到原来的平衡状态，因而系统是稳定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数定的。由此可见，系统的稳定与其脉冲响应函数收敛是一致的。收敛是一致的。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院如果如果 (3-53)则系统是不稳定的。则系统是不稳定的。如果如果 (3-54)则系统是临界稳定的。则系统是临界稳定的。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于由于单位理想脉冲函数的拉氏变换等于1 1，所以系统，所以系统的的复域脉冲响应函数复域脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉就是系统闭环传递函数的拉氏变换。氏变换。令系统的闭环传递函数含有令系统的闭环传递函数含有q q个实数极点和个实数极点和r r对复数对复数极点，则其传递函数可写为极点，则其传递函数可写为(3-55)式中，式中，自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院式式(3-55)(3-55)用部分分式展开，得用部分分式展开，得对上式取拉氏反变换，求得系统的对上式取拉氏反变换，求得系统的时域脉冲响应时域脉冲响应为为 t0(3-56)自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院由式由式(3-56)(3-56)可见，可见，若系统的特征根全部为负实部若系统的特征根全部为负实部(negative real(negative real part)part)根，则式根，则式(3-52)(3-52)成立，系统稳定；成立，系统稳定；若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的若系统有一个或一个以上的正实根或实部为正的共轭复根，式共轭复根，式(3-53)(3-53)成立，系统不稳定；成立，系统不稳定；若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特若系统有一个或一个以上的零实部根，其余的特征根具有负实部，式征根具有负实部，式(3-54)(3-54)成立，系统临界稳定。成立，系统临界稳定。虚部虚部 imaginary part负实部负实部 negative real part复数根复数根 complex root实根实根 real root自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院 综上所述，线性系统综上所述，线性系统稳定的充分必要条件稳定的充分必要条件是：是：闭环系统特征方程闭环系统特征方程的所有根均具有负实的所有根均具有负实部。或者说，闭环传部。或者说，闭环传递函数的极点均严格递函数的极点均严格位于位于s s左半平面。左半平面。右半平面右半平面 right-half plane左半平面左半平面 left-half plane自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院注意：注意：对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，对于稳定的线性系统，当输入信号有界时，系统输出必为有界函数。系统输出必为有界函数。对于不稳定的线性系统而言，在有界输入对于不稳定的线性系统而言，在有界输入信号作用下，系统的输出信号将随时间的信号作用下，系统的输出信号将随时间的推移而发散。推移而发散。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院3.4.2 3.4.2 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件令系统的特征方程为令系统的特征方程为 (3-57)如果如果方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数方程式的根都是负实根，或其实部为负的复数根，根，则则其特征方程式的各项系数均为正值，且无其特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数。零系数。稳定的稳定的稳定的稳定的必要条件必要条件必要条件必要条件（依系数判稳）依系数判稳）依系数判稳）依系数判稳）：在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数。在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数。在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数。在特征方程式中，各项系数均为正值，且无零系数。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院设设P P1 1、P P2 2、为实数根。为实数根。、为复数根。其中，为复数根。其中，P P1 1、P P2 2、和和 、都都为正值，则式为正值，则式(3-57)(3-57)改写为改写为即即(3-58)自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，因为上式等号左方所有因式的系数都为正值，所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有所以它们相乘后项必然仍为正值且不会有系数为零项。系数为零项。反之，若方程式中有一个根为正实根，或一反之，若方程式中有一个根为正实根，或一对实部为正的复数根，则由式对实部为正的复数根，则由式(3-58)(3-58)可知，可知，对于方程式对于方程式s s的各次的各次项的系数不会全为正值，项的系数不会全为正值，即一定会有负系数项或缺项出现。即一定会有负系数项或缺项出现。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，不难证明，对于一阶和二阶线性定常系统，其特征方程式的各项系数全为正值是系统其特征方程式的各项系数全为正值是系统稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上稳定的充分和必要条件。但是对三阶以上的系统，特征方程式的各项系数均为正值的系统，特征方程式的各项系数均为正值仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。仅是系统稳定的必要条件，而非充分条件。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院3.4.3 劳斯稳定判据劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具由于控制系统稳定的充要条件是其特征根均需具有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解有负实部，因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负特征方程式的根，并检验所求的根是否都具有负实部的问题。实部的问题。由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希由于求解高阶系统根的工作量很大，所以我们希望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征望有一种不用求解特征方程的根，而是根椐特征方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部方程式的根与其系数间的关系去判别特征根实部的符号（间接的方法）。的符号（间接的方法）。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院设系统的特征方程式为设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院由劳斯表的结构可知，劳斯表有由劳斯表的结构可知，劳斯表有 行，第一、二行，第一、二行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯行各元素是特征方程的系数，以后各元素按劳斯表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表表的规律求取。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在在s s平面上的具体分布，其结论是：平面上的具体分布，其结论是：(1)(1)如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征如果劳斯表中第一列系数严格为正，则其特征方程式的根都在方程式的根都在s s的左半平面的左半平面(left-half plane)(left-half plane)，相应的系统是稳定的。，相应的系统是稳定的。(2)(2)如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，则系统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式统不稳定，且符号变化的次数等于该特征方程式的根在的的根在的s s右半平面右半平面(right-half plane)(right-half plane)上的个数。上的个数。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-2 已知三阶系统特征方程为已知三阶系统特征方程为判断系统稳定的充要条件。判断系统稳定的充要条件。解：解：列劳斯表为列劳斯表为根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均根据劳斯判据，系统稳定要求劳斯表第一列系数均为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于为正值，所以系统稳定的充要条件是各系数大于零，且零，且bcad。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-3 设系统特征方程为设系统特征方程为使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出使用劳斯判据判断系统的稳定性，如果不稳定求出该特征方程的正实部根的数目。该特征方程的正实部根的数目。解：解：列劳斯表如下列劳斯表如下因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统因劳斯列表第一列元素符号变化两次，所以该系统不稳定，有两个正实部根。不稳定，有两个正实部根。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院两种特殊情况：(1)劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余劳斯表中某行第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使各项不等于零或没有余项，这种情况的出现会使计算下一行第一元素时出现无穷现象。计算下一行第一元素时出现无穷现象。解决的办法是解决的办法是以一个很小的正数以一个很小的正数 代替为零的该项，代替为零的该项，继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号继续劳斯表的列写。若劳斯表第一行的系数符号有变化，其变化的次数就等于该方程在有变化，其变化的次数就等于该方程在s右半平右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一面上根的数目，相应的系统为不稳定。如果第一列列 上面的系数与其下面的系数符号相同，则表上面的系数与其下面的系数符号相同，则表示该方程有一对共轭虚根示该方程有一对共轭虚根(complex-conjugate root)存在，相应的系统也属不稳定。存在，相应的系统也属不稳定。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-4 设系统的特征方程为设系统的特征方程为试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。试用劳斯判据确定该方程的根在平面上的具体分布。解：解：基于方程中基于方程中s2项的系数为零，项的系数为零，s一次项的系数一次项的系数为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有为负值。由稳定的必要条件可知，该方程至少有一个根位于一个根位于s的右半平面，相应的系统为不稳定。的右半平面，相应的系统为不稳定。为了确定该方程的根在为了确定该方程的根在s平面上的具体分布需应用平面上的具体分布需应用劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表劳斯判据。根据方程排出下列的劳斯表自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院由上表可见，其第一列由上表可见，其第一列 项上面与下面的符号变化项上面与下面的符号变化了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在了两次。根据劳斯判据，可知该方程有两个根在s的右半平面。的右半平面。若用因式分解的方法，把原方程改写为若用因式分解的方法，把原方程改写为由上式解得由上式解得s1,2=1，s3=2，从而验证了上式用劳，从而验证了上式用劳斯判据所得的结论的正确性。斯判据所得的结论的正确性。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院(2)如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程如果劳斯表中出现全零行，则表示相应的方程中含有一些大小相等、符号相反的实根中含有一些大小相等、符号相反的实根(real root)和和(或或)共轭虚根。共轭虚根。对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构对于这种情况，可利用系数全零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，造一个辅助多项式，并将这个辅助多项式求导，用导数的系数来代替表中系数为全零的行。用导数的系数来代替表中系数为全零的行。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。如此，继续计算其余的项，完成劳斯表的排列。辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、辅助多项式的次数通常为偶数，它表明大小相等、符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式符号相反的根数，而且这些根可利用辅助多项式求出。求出。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-53-5 系统的特征方程为系统的特征方程为 试判稳。试判稳。解：解：劳斯表如下：劳斯表如下：自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院由于由于s3这一行的元素全为这一行的元素全为0，致使劳斯表无法继续，致使劳斯表无法继续往下排列。现用它上一行的系数组成如下的辅助往下排列。现用它上一行的系数组成如下的辅助多项式多项式上式对上式对s求导，得求导，得自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院用系数为用系数为4和和6代替代替s3这行中相应的这行中相应的0元素，并继续元素，并继续往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由往下计算其他行的元素，完成劳斯表的排列。由劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知系统不劳斯列表第一列元素符号变化一次，可知系统不稳定，有一个正实部根，由稳定，有一个正实部根，由P(s)=0得得求得两对大小相等、符号相反的根为求得两对大小相等、符号相反的根为 ，显然，这个系统是处于临界稳定显然，这个系统是处于临界稳定(marginally stable/critical stable)状态。状态。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位劳斯判据还可以用来判别代数方程式中位于平面上给定垂线于平面上给定垂线 的右侧根的的右侧根的数目。数目。只要令只要令 并代入原方程中，得到以并代入原方程中，得到以 为变量为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂直线是否有根位于垂直线 的右侧。的右侧。用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右用此法可以估计一个稳定系统的各个根中最靠近右侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的侧的根距虚轴有多远，从而了解系统稳定的“程程度度”。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-6 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂直的右半平面上，并检验有几个根在垂直线线s=1的右方。的右方。解：解：列劳斯表列劳斯表由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方由于劳斯表的第一列系数全为正值，因而该特征方程式的根全部位于程式的根全部位于s的左半平面，相应的系统是稳的左半平面，相应的系统是稳定的。定的。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院令令s=z1代入特征方程，经化简后得代入特征方程，经化简后得因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于直线直线s=1的右方。列出以的右方。列出以z为变量的劳斯表为变量的劳斯表由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方由上表可见，第一列的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线程有一个根在垂直线s=1的右方。的右方。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院3.4.4 3.4.4 赫尔维兹判据赫尔维兹判据 该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳该判据也是根据特征方程的系数来判别系统的稳定性。设系统的特征方程为定性。设系统的特征方程为以特征方程式的各项系数组成如下行列式以特征方程式的各项系数组成如下行列式自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院赫尔维兹判据指出，系统稳定的充分必要条件是在赫尔维兹判据指出，系统稳定的充分必要条件是在 的情况下，上述行列式的各阶主子式的情况下，上述行列式的各阶主子式 均大于均大于零，即零，即自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-7 系统的特征方程为系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。解：系统行列式解：系统行列式 由赫尔维兹判据，该系统不稳定。由赫尔维兹判据，该系统不稳定。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-8 系统的特征方程为系统的特征方程为 ，判断，判断系统的稳定性。系统的稳定性。解：系统行列式解：系统行列式由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为由赫尔维兹判据可知系统稳定的充要条件为 由上式可知由上式可知二阶系统稳定的充要条件二阶系统稳定的充要条件是特征方程是特征方程的所有系数均大于零。的所有系数均大于零。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82 41 2劳斯表介绍劳斯表介绍劳斯表特点劳斯表特点1 右移一位降两阶右移一位降两阶2 次对角线减主对角线次对角线减主对角线3 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素5 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替代替.4 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数771 2 7-82+8-8(2 +8)-7劳斯判据劳斯判据系统稳定的系统稳定的必要必要条件条件:有正有负一定不稳定有正有负一定不稳定!缺项一定不稳定缺项一定不稳定!系统稳定的系统稳定的充分充分条件条件:劳斯表第一列元素劳斯表第一列元素不变号不变号!若变号系统不稳定若变号系统不稳定!变号的变号的次数次数为特征根在为特征根在s右右半平面的半平面的个数个数!特征方程各项系数特征方程各项系数均大于零均大于零!-s2-5s-6=0稳定吗稳定吗？劳斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程:有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两由综合除法可得另两个根为个根为s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根:s1,2=j劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院 例例3-z 3-z 已知系统的特征方程式为已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。试判别相应系统的稳定性。解解 根据方程列劳斯表根据方程列劳斯表 由由于于表表中中第第一一列列上上面面系系数数的的符符号号与与其其下下面面系系数数符符号号相相同同，表表示示该该方方程程中中有有一一对对共共轭轭虚虚根根存存在在，相相应应的的系系统统为不稳定。为不稳定。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院 把上述方程分解成为因式相乘的形式，即有把上述方程分解成为因式相乘的形式，即有 于是得方程的根为于是得方程的根为 .这与用劳斯判据所得的结论是相吻合的。这与用劳斯判据所得的结论是相吻合的。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院 1 3 5 2 4 0 5 0 5系统不稳定，且有两个正实根。系统不稳定，且有两个正实根。例例3-解解 END自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院6.劳思判据的应用劳思判据的应用1、劳思判据不能表明系统特征根在、劳思判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚平面上相对于虚轴的位置，但实际上，若负实部特征方程式的根紧靠轴的位置，但实际上，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，由于虚轴，由于 很小，系统的动态过程将具有很小，系统的动态过程将具有缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。为了改善系统性缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。为了改善系统性能，常常希望在能，常常希望在S左半平面上系统特征根的位置与虚左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。为此，我们作一条轴之间有一定的距离。为此，我们作一条 的的垂线。而垂线。而a是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定是系统特征根位置与虚轴之间的最小给定距离，通常称为稳定度或稳定裕量距离，通常称为稳定度或稳定裕量 然后用新变量然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到以代入原系统特征方程，得到以S1为变量的新为变量的新特征方程，对新特征方程用劳思判稳。特征方程，对新特征方程用劳思判稳。利用劳思表求系统的稳定裕度，还可以确利用劳思表求系统的稳定裕度，还可以确定系统一个或两个参数对系统稳定性的影定系统一个或两个参数对系统稳定性的影响。响。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例 3-y 用劳斯判据检验下列特征方程用劳斯判据检验下列特征方程是是否否有有根根在在s的的右右半半平平面面上上，并并检检验验有有几几个个根根在在垂垂直直线线 的右方。的右方。解解 列劳斯表列劳斯表自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院由由于于劳劳斯斯表表的的第第一一列列系系数数全全为为正正值值，因因而而该该特特征征方方程程式的根全部位于的左半平面，相应的系统是稳定的。式的根全部位于的左半平面，相应的系统是稳定的。令令 代入特征方程，经化简后得代入特征方程，经化简后得 因因为为上上式式中中的的系系数数有有负负号号，所所以以方方程程必必然然有有根根位位于于直直线线 的右方。列出以的右方。列出以z为变量的劳斯表为变量的劳斯表由由上上表表可可见见，第第一一列列的的符符号号变变化化了了一一次次，表表示示原原方方程程有一个根在垂直线有一个根在垂直线 的右方。的右方。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院两个判据的一致性两个判据的一致性两个判据的一致性两个判据的一致性 系统的特征方程式的标准形式：构造胡尔维茨行列式D 自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院胡尔维茨稳定判据：胡尔维茨稳定判据：胡尔维茨稳定判据：胡尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式要条件是上述行列式D D的各阶主子式均大于的各阶主子式均大于0 0，即，即 与劳斯表中第与劳斯表中第1列的系数比较，存在如下关系：列的系数比较，存在如下关系：若若 均为正，则均为正，则D1，D2，Dn自然也都为正，自然也都为正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一致的。一致的。当当当当n n 较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常只用于只用于只用于只用于 的系统。的系统。的系统。的系统。END自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院3.5 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 控制系统控制系统稳态误差（稳态误差（steady-state error）是是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为称为稳态性能稳态性能（steady-state characteristic）。在分析与设计中，稳态误差是一项重要的技在分析与设计中，稳态误差是一项重要的技术指标。术指标。只有系统稳定，研究稳态误差才有意义。只有系统稳定，研究稳态误差才有意义。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差叫生的稳态误差叫原理性稳态误差。原理性稳态误差。由于非线性因素所引起的系统稳态误差叫由于非线性因素所引起的系统稳态误差叫附加稳态附加稳态误差，误差，或结构性稳态误差。或结构性稳态误差。无差系统无差系统:阶跃函数作用下，阶跃函数作用下，没有原理性稳态误差没有原理性稳态误差有差系统：有原理性稳态误差有差系统：有原理性稳态误差自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院1.误差与稳态误差误差与稳态误差 （3-70）两种定义（从输入端，从输出端）两种定义（从输入端，从输出端）（3-71）误差定义（两种）误差定义（两种）G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输输入入端定义：端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)输输出出端定义：端定义：E(s)=C希希-C实实=-C(s)R(s)H(s)G(s)R(s)E(s)C(s)C(s)E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希希-C实实=Cn(s)总误差怎么求？总误差怎么求？自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院误差的时域表达式误差的时域表达式 （3-72）为系统误差传递函数为系统误差传递函数 （3-73）在误差信号中，包含瞬态分量在误差信号中，包含瞬态分量 和稳态分量和稳态分量 两部分。两部分。控制系统的控制系统的稳态误差稳态误差定义为误差信号的稳态分量定义为误差信号的稳态分量 ，常以常以 简单标志。简单标志。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院如果有理函数如果有理函数 除在原点处有唯一的极点外，在除在原点处有唯一的极点外，在s右半右半平面及虚轴上平面及虚轴上解析解析，即即 的极点均位于左半平面（包括坐标原点），亦即的极点均位于左半平面（包括坐标原点），亦即系统稳定，系统稳定，则可根据拉氏变换的终值定理，由式（则可根据拉氏变换的终值定理，由式（3-73）方便地求）方便地求出系统的稳态误差：出系统的稳态误差：（3-74）由于上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量由于上式算出的稳态误差是误差信号稳态分量 在在t趋趋于无穷时的数值，故有时称为于无穷时的数值，故有时称为终值误差终值误差。它不能反映。它不能反映 随时间的变化规律，具有一定的局限性。随时间的变化规律，具有一定的局限性。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院例例3-10 单位反馈，开环传递函数单位反馈，开环传递函数求稳态误差。求稳态误差。解解（a）由式（由式（3-73）显然，显然，在在s=0处有一极点。求反变换得处有一极点。求反变换得其中，其中，随时间增长逐渐减到零；，随时间增长逐渐减到零；表明稳态误差表明稳态误差 。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院(b)显然，显然，。由于正弦函数的拉氏变换式在虚轴上不解析，。由于正弦函数的拉氏变换式在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算在正弦函数作用下的所以此时不能应用终值定理法来计算在正弦函数作用下的稳态误差，否则得出稳态误差，否则得出 的错误结论。的错误结论。自动控制原理自动控制原理第第3章章 控制系统的时域分析法控制系统的时域分析法大连民族学院机电信息工程学院大连民族学院机电信息工程学院2.系统类型系统类型 由稳态误差通式（由稳态误差通式（3