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第04章时变电磁场本讲稿第一页，共七十二页第第4 4章章 时变电磁场时变电磁场4.1 法拉第电磁感应定律4.2 全电流定律4.3 时变电磁场的基本方程4.4 时变电磁场的能量与能流4.5 时变电磁场的波动性4.6 时变电磁场的位函数4.7 时谐电磁场4.8 电磁波的辐射本讲稿第二页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律 英国物理学家法拉第通过大量的试验，证实了存在着如下的普遍规律：当穿过某一闭合导体回路的磁通不论由于什么原因发生变化时，在导体回路中就会出现电流，这种现象称为电磁感应现象，出现的电流称为感应电流。导体回路中出现感应电流是导体回路中必然存在某种电动势的反映，这种由电磁感应引起的电动势叫做感应电动势。法拉第对电磁感应现象精心研究之后，总结出电磁感应定律为：闭合导体回路中的感应电动势 与穿过此回路的磁通 随时间的变化率 成正比。本讲稿第三页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律的数学表达式为：式中，S 是由闭合导体回路 L 所限定的曲面，其正侧面与 L 的方向成右手螺旋关系。的实际方向由楞次定律决定，即：感应电动势总是力图阻止回路中磁通的变化。(负号体现的是阻碍作用)二、感应电场(涡旋电场)法拉第说明了“动磁生电”的现象，但并没有说明出现感应电动势的真正原因，以及当时变磁场附近不存在导体回路时会发生什么情况。麦克斯韦在对电磁感应现象进行深入分析后认识到：导体中的电流必然由电场引起。本讲稿第四页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 这种由磁场变化激励或者说感应出来的电场被称为感应电场，记为：在导体回路上的环量就是回路上的感应电动势 。不论有无导体回路，时变磁场都会激励起感应电场。因此，电磁感应现象的实质是：时变磁场在周围空间激励起感应电场，若该电场中有导体，就会在导体上引起感应电流。根据以上分析和推广，法拉第电磁感应定律可改写成：式中，L 应理解为任意闭合路径，而不一定是导体回路，S 是 L所张成的任意曲面。本讲稿第五页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 假设磁场随时间变化，闭合路径和它所张成的曲面均不随时间变化。根据旋度定理 ，有：这里，由于 S 不随时间变化，将 与 调换次序；B 又可以是空间位置的函数，所以写成偏微分的形式。将上式移项整理，得：要使上式对任意 S 都成立，必有：可见，时变磁场是感应电场的旋涡源，感应电场是有旋场，因此又被称为涡旋电场，其电力线是闭合曲线，并与其旋涡源时变磁场的磁力线相交链。本讲稿第六页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 这说明感应电场的性质不同于静电场(无旋场)，其原因在于两者的激励源不同，但它们对电荷的作用相同。可以证明，对于其它方式引起的磁通变化，也可以推出上面两式。若在空间中同时存在感应电场 和静电场 ，则总电场 。对于静电场有 ，故对总电场仍有：若 B 不随时间变化，可得静电场中的环路定律。可见上面两式既适用于静电场，又适用于时变场，分别称为法拉第电磁感应定律的微分形式和积分形式，这是电磁理论中的普适方程。本讲稿第七页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律例：如图所示，若半径为 a，平行于 z 轴的无限长圆柱体附近的磁感应强度为：，求空间电场分布。解：根据题意，空间结构和磁场分布都是关于 z 轴旋转对称，因此时变磁场激励出的感应电场也应关于 z 轴旋转对称。取与圆柱同轴的回路 L，在该回路上 处处与回路相切且幅度处处相等。本讲稿第八页，共七十二页4.1 4.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律本讲稿第九页，共七十二页4.2 4.2 全电流定律全电流定律一、位移电流 我们首先看一个引例。如图，一个中间填充理想介质的电容器接在交流电源两端，L 为一个与导线相交链的闭合回路。若取一个以 L 为边界的曲面 与导线相交，则由安培环路定律，有：为导线中的传导电流若取另一曲面 ，不与导线相交而从两极板之间通过，则有：这说明恒定磁场中的安培环路定律用于时变场时产生了矛盾。S1 cL本讲稿第十页，共七十二页4.2 4.2 全电流定律全电流定律 麦克斯韦首先注意到并从理论上解决了这一矛盾。由于两极板间有时变电场，据此他假定这种变化的电场引起了另一类型的电流，并称之为位移电流，记为 ，且 。位移电流与传导电流具有相同的磁效应，并以相同的方式在周围空间产生磁场。这样，安培环路定律可改写为：式中，为位移电流密度。由旋度定理可得其微分形式为：本讲稿第十一页，共七十二页4.2 4.2 全电流定律全电流定律二、全电流定律 为了得到位移电流密度 的表达式，麦克斯韦首先分析了前述矛盾的实质。我们知道，电流连续性方程 是一个普适方程，而安培环路定律是在恒定电流，即 的条件下得出的。在时变场中，不再恒等于零。因此安培环路定律在时变条件下必须加以修正。麦克斯韦认为，在时变情况下，高斯定律仍然适用，即：这样，电流连续性方程可写成：本讲稿第十二页，共七十二页4.2 4.2 全电流定律全电流定律即：如果把 看作是另一种电流，则应用安培环路定律，有：与前面的式子比较可知：。可见，空间任意点的位移电流密度 等于该点的电位移矢量对时间的变化率。这就是修正后的安培环路定律的微分形式。其积分形式也容易得出：我们把矢量 称为全电流密度，由于其散度恒为零，所以全电流线为闭合电流线，在传导电流中断处必有位移电流接续下去。修正后的安培环路定律称为全电流定律。本讲稿第十三页，共七十二页4.2 4.2 全电流定律全电流定律 若 D 不随时间变化，就成为恒定磁场中的安培环路定律。因此，全电流定律既适用于时变场，又适用于静态场，也是宏观电磁理论中的一个普适方程。位移电流是麦克斯韦引入的一个非常重要的概念。存在变化的电场的空间就存在位移电流，它并不表示有带电粒子的定向运动。位移电流的正确性被以后的所有实验所证实。全电流定律说明，位移电流与传导电流一样，是磁场的旋涡源。这意味着，即使不存在传导电流，变化的电场也能激励出磁场，这就解释了“动电生磁”的现象。本讲稿第十四页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程一、麦克斯韦(Maxwell)方程组1.麦克斯韦方程组 我们知道，对任意矢量场的研究需要了解其旋度和散度。前面两节介绍的法拉第电磁感应定律和全电流定律适用于静态场和时变场。它们分别给出了电场和磁场的旋度，即场与旋涡源的关系。对于电场和磁场与各自散度源之间的关系，我们在第二章介绍的高斯定律和磁通连续性原理在时变场情况下至今未发现与它们相矛盾的事实，因此它们也适用于时变场。这样，我们就得到了下面的宏观电磁场的基本方程。这些定律由麦克斯韦概括、完善和推广，被命名为麦克斯韦方程组。本讲稿第十五页，共七十二页2.结构方程(辅助方程)在有媒质存在时，上述电磁场的基本方程尚不完备，D、B和 J 都与媒质的特性有关。因此，还需要补充三个描述媒质特性的方程。对于均匀、线性、各向同性的媒质来说，有：4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程全电流定律，引入位移电流法拉第电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律本讲稿第十六页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程3.物理意义 麦克斯韦方程组揭示了各个场矢量与场源的关系，只要知道了这些关系就可以从场源求出电磁场分布，同时麦克斯韦方程组也体现了电场和磁场的性质，从方程中可以看出：(1)电场的散度等于电荷密度，电荷是电场的散度源；由电荷产生的电场是有散场，电力线起始于正电荷，终止于负电荷。(2)磁场的散度恒为零，磁场没有散度源，至今没有证实“磁荷”的存在；磁场是无散场，磁力线是无头无尾的闭合曲线。(3)涡旋电场的旋度等于磁场的负时变率，时变磁场的负时变率是涡旋电场的旋涡源；由时变磁场的负时变率产生的涡旋电本讲稿第十七页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程场与电荷产生的无旋电场不同，它是有旋场，其电力线是闭合曲线，与磁力线相交链。(4)磁场的旋度等于传导电流密度与位移电流密度之和，即全电流密度。全电流密度是磁场的旋涡源；磁场是有旋场，磁力线是闭合曲线，与全电流线相交链。(5)时变电场、时变磁场可以不断地互相激励，说明时变电磁场是由时变电场和时变磁场组成的不可分割的统一体。(6)场源一旦激励起了时变电场或者时变磁场，即使去掉场源，时变电场、时变磁场也会互相激励，且闭合的电力线与闭合的磁力线相互交链，电磁场分布的空间逐渐增大，电磁场以波动本讲稿第十八页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程的形式向远处传播。(7)方程中的所有场量既是空间坐标的函数，又是时间的函数。如果方程中的所有场量都不随时间变化，方程中的时间偏导项均等于零，则方程退化为静态场的方程。(8)在线性媒质中，麦克斯韦方程组是线性方程组，满足叠加原理，即多个场源各自产生的场可以在空间同时存在，空间任意一点的场均等于所有场源在该点产生的场的叠加。4.洛伦兹(Lorentz)力 静止电荷和运动电荷(即电流)是电磁场的场源，电磁场又会对电荷产生作用力。当空间存在电磁场时，速度为 v，电量为 q本讲稿第十九页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程的电荷既受到电场力的作用，又受到磁场力的作用。电场力和磁场力的合力称为洛伦兹力，表示为：物理实验证实了洛伦兹力公式适用于任何运动的带电粒子。5.麦克斯韦方程组的历史意义 麦克斯韦方程组、结构方程和洛伦兹力公式一起，完全、正确地反映了宏观电磁场的基本规律及其与其它物质相互作用的规律，构成了宏观电磁理论的基础。它的建立对近代电磁学的发展起到了十分巨大的推动作用，它的正确性在大量的科学实践中得到了证实，它的伟大之处在于它不仅可以完美地解释过去已发现的电磁物理现象，而且还预言了电磁波的存在。本讲稿第二十页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程例：已知在自由空间中，电场强度为 ，求磁场强度 H。解：由 和 ，有则有：本讲稿第二十一页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程二、边界条件 与静态场一样，在时变场中也往往存在两种不同媒质的边界面，因此，在时变场中也必须研究它的边界条件，研究方法与静态场相同，即把积分形式的场方程应用于边界面上的闭曲面或闭曲线，就可推出时变场的边界条件。边界条件就是麦克斯韦方程组的积分方程在边界面处的特殊形式。这里，直接给出时变电磁的边界条件：本讲稿第二十二页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程 在电磁场问题中，经常将均匀、线性、各向同性、对电磁波损耗较小的媒质近似为理想介质，其 均为实数，；将导电性能很好的导体近似为理想导体，其 。下面分别给出两种常见边界面处的边界条件。对于两种理想介质的边界面，由于理想介质中没有自由电荷分布，因此，边界面处不存在自由电荷和传导电流，即：，则边界条件简化为：本讲稿第二十三页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程 对于理想介质与理想导体的边界面，由于物质中的电流密度总是有限的，而理想导体的电导率 ，若理想导体中存在非零电场，则必然导致 ，与物理事实不符，因此理想导体中电场必为零，则时变磁场也为零(若有非零时变磁场，必定会感应出电场，又出现矛盾)，所以理想导体中不存在时变电磁场。设理想导体为媒质1，理想介质为媒质2，则边界条件为：本讲稿第二十四页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程上式中，是导体表面外法向单位矢量。该边界条件表明，在理想导体表面有面电流和面电荷分布；在边界面处，电场矢量、电力线必然垂直于理想导体表面，磁场矢量、磁力线必然平行于理想导体表面。对于 很大的良导体，当频率很高时，电磁场只存在于导体表面很小的薄层内，这种现象称为趋(集)肤效应，薄层的厚度称为透入深度。时，即理想导体，其透入深度为零。例：在两块无限大理想导体板 和 之间的空气中传播的电磁波的电场强度为 ，其中 为常数，试求(1)磁场强度 H；(2)两块导体板表面上的电流密度。本讲稿第二十五页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程解：(1)由Maxwell第二方程 ，有：(2)导体表面的电流存在于两块导体板相对的一面，根据理想导体与理想介质的边界条件，有：本讲稿第二十六页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程三、时变电磁场的唯一性定理 麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的基本方程，描述了电磁场在空间中随时间的变化规律。要得到实际问题中电磁场的具体表达式，必须求解麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组是时空函数的方程组，要得到唯一确定的解，需要知道初值条件和边值条件。因此，一个至关重要的问题就是，给定什么样的初值条件和边值条件，电磁场才能有唯一解。时变电磁场的唯一性定理：设含有均匀、线性、各向同性媒质的区域 V 的边界面为 S，只要给定 时刻区域 V 中各点电场矢量和磁场矢量的初始值，并同时给定 时边界面 S 上电场矢本讲稿第二十七页，共七十二页4.3 4.3 时变电磁场的基本方程时变电磁场的基本方程量的切向分量，或者磁场矢量的切向分量，或者一部分边界面上的电场矢量切向分量和其余边界面上的磁场矢量切向分量，则区域 V 中的时变电磁场有唯一解。其重要性表现在：(1)是判断电磁场问题数学模型准确性的标准，只有给出了适当的初值条件和边值条件的电磁场问题，才可求出唯一确定解。(2)说明可以用任意方便的解法来求解电磁场，只要数学模型正确，求解过程正确且所得的解满足麦克斯韦方程和初值条件、边值条件，则所得的解就是该电磁场问题的唯一解。(3)可以建立许多求解电磁场问题的等效原理，把一个不易求解的问题变成一个易于求解的问题。本讲稿第二十八页，共七十二页4.4 4.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流一、时变电磁场的能量密度 静电场和恒定磁场的能量密度分别为：在得到这两个公式时，我们并没有对场的时变性质作特别要求，因此它们也适用于时变场。这样，时变电磁场中能量密度 w 是电场能量密度 与磁场能量密度 之和，即：所以，区域 V 中的总电磁能量为：本讲稿第二十九页，共七十二页二、坡印廷矢量和坡印廷定理 与静态场一样，时变电磁场也具有能量，而且还特有能量流动现象。时变电磁场以电磁波的形式从场源向周围空间传播，因此电磁场的能量也随之传播，形成电磁能流。下面我们根据麦克斯韦方程组，推导电磁能量守恒和转化定律坡印廷定理，并引入一个描述电磁能流的物理量坡印廷矢量 S。根据麦克斯韦第一、第二方程：和矢量恒等式：4.4 4.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流本讲稿第三十页，共七十二页有：则：将上式两边在任意体积 V 上积分，有：4.4 4.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流本讲稿第三十一页，共七十二页根据散度定理，并交换积分与偏微分的次序，有：式中，曲面 S 是体积 V 的边界面。该式就是坡印廷定理。等式右边第一项表示单位时间内体积 V 中损耗的焦耳热，第二项表示 V 中电磁能量随时间的增长率，或者说是单位时间内 V 中增加的电磁能量；等式左边是单位时间内通过边界面 S 流入体积 V 中的电磁能量。也就是说，单位时间内流入 V 的电磁能量一部分被损耗掉，另一部分就是 V 中增加的电磁能量。因此，坡印廷定理体现了电磁场中的能量守恒关系。4.4 4.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流本讲稿第三十二页，共七十二页 由于 表示通过曲面 S 流出体积 V 的功率，所以 表示通过单位面积的功率，令S 就称为坡印廷矢量，其方向表示电磁能量流动的方向，大小为通过与能流方向垂直的单位面积的功率，因此，S 也称为能流密度矢量。坡印廷定理主要应用于时变电磁场，也可以应用于静态场。在静态场中 ，所以坡印廷定理可表示为：表明，通过闭曲面 S 流入体积 V 中的功率等于 V 内损耗的功率。4.4 4.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流本讲稿第三十三页，共七十二页例：在某无源的理想介质区域中，。求：(1)坡印廷矢量；(2)坡印廷矢量的时间平均值。解：(1)先利用Maxwell方程组求出 H。由 ，得：S 只有 z 分量，所以电磁能量沿 z 轴方向流动。(三者互相垂直)(2)可以看出，S 是 t 的周期函数，所以其平均值等于它在一个周期 内的平均值：4.4 4.4 时变电磁场的能量与能流时变电磁场的能量与能流本讲稿第三十四页，共七十二页4.5 4.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性 我们知道，变化的电磁场可以相互激励，即使场源消失，电磁场仍然存在，并以波动的形式向远处传播，形成电磁波。因此电磁场矢量必然满足波动方程。下面仍从麦克斯韦方程组出发导出时变电磁场矢量满足的波动方程，并在简单条件下求解波动方程，以说明电磁场的波动性。一、波动方程 设所讨论的区域中有时变场源电流 J 和时变场源电荷 ，媒质是均匀、线性、各向同性的。对第二方程 两边取旋度，并交换 与 的运算次序，得：本讲稿第三十五页，共七十二页4.5 4.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性根据矢量恒等式 ，第四方程 和第一方程 ，代入上式，整理得：同样，对第一方程 两边取旋度，并交换 与 的运算次序，得：将第二方程 和第三方程 代入上式，整理得：本讲稿第三十六页，共七十二页4.5 4.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性 根据偏微分方程的知识可知，方程(1)、(2)都具有波动方程的形式，因此将其称为电磁场的波动方程或达朗贝尔方程。若研究区域中无源，将 代入(1)、(2)式，得到无源区域中的波动方程：若无源区域中媒质不导电，将 代入上面两式，得到无源不导电媒质中的波动方程：本讲稿第三十七页，共七十二页4.5 4.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性 电磁波是从场源(例如天线)向远离场源的无源空间(例如天线周围的空气)中传播的。因此我们可以利用有源波动方程来研究场源是如何辐射电磁波的，也可以利用无源波动方程来研究电磁波在离开场源后是如何在无源空间中传播的。二、波动性 为说明电磁场的波动性，必须求解上面的波动方程。为了简化分析，又不影响对电磁场波动性的揭示，我们假设所研究区域中无源，且媒质是均匀、线性、各向同性、不导电的。令 表示 E 或 H 的任一分量，则波动方程为：本讲稿第三十八页，共七十二页4.5 4.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性在直角坐标系中，上式可写成：为简化求解，假设 只是 z 和 t 的函数，则：其中，是媒质中的光速。真空中 。根据数理方程的知识，在无界空间，上述方程的达朗贝尔解为：下面我们来说明达朗贝尔解的物理意义。由 可知，时刻 z 处的数值在 时刻又出现在 处。这说明同一物理量在不同时空点上重复出现了“振动在空间中的传播”，这种现象就是波动。本讲稿第三十九页，共七十二页4.5 4.5 时变电磁场的波动性时变电磁场的波动性 这样，在 的时间内，整个波形向正 z 方向移动了 ，如图所示。所以，表示一个以速度 v 向+z 方向传播的波；同理，表示一个以速度 v 向-z 方向传播的波。所以，无界空间波动方程的解是沿+z 方向和-z 方向传播的两个波的叠加。函数 f、g的具体表示式取决于场源的空间分布形式和时变形式。本讲稿第四十页，共七十二页4.6 4.6 时变场的位函数时变场的位函数动态位动态位:仍从电磁场基本方程组出发称为动态位（potential of Kinetic State）。由由本讲稿第四十一页，共七十二页4.6 4.6 时变场的位函数时变场的位函数经整理后，得洛仑兹条件（规范）定义A 的散度这是非齐次波动方程达朗贝尔方程(Dalangbaier Eguation)本讲稿第四十二页，共七十二页4.6 4.6 时变场的位函数时变场的位函数求解：以位于坐标原点时变点电荷为例，然后推广到连续分布场源的情况。1）通解的物理意义：有 的物理意义 式中 具有速度的量纲，f1，f2 是具有二阶连续偏导数的任意函数。f1 在 时间内经过 距离后不变,说明它是以有限速度 v 向 r 方向传播，称之为入射波。本讲稿第四十三页，共七十二页4.6 4.6 时变场的位函数时变场的位函数由此推论，时变点电荷的动态标量位为可以证明：该解满足齐次波动方程。在无限大均匀媒质中没有反射波，即 f2=0。它表明：f2 在 时间内,以速度v 向(-r)方向前进了 距离,故称之为反射波。2）解的表达式 当点电荷不随时间发生变化时，波动方程蜕变为 ，其特解为波的入射、反射与透射本讲稿第四十四页，共七十二页4.6 4.6 时变场的位函数时变场的位函数连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得：若激励源是时变电流源时，仿上述方法推导，得到A的表达式（无反射）当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位A。本讲稿第四十五页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场 前面的讨论是针对随时间任意变化的电磁场进行的。在实际问题中，通常需要研究的，也是最重要的是随时间做简谐变化的时谐电磁场。正弦变化和余弦变化统称为时谐变化。又由于正弦和余弦只有 的相位差别，因此，又往往将时谐变化称为正弦变化，将时谐电磁场称为正弦电磁场。时谐电磁场之所以重要，是因为它容易产生和激励，易于分析，而且任意时变形式的电磁场都可以按时间展开成傅里叶级数的形式，将其看作是许多个时谐电磁场的叠加。因此，研究时谐电磁场是研究一切时变场的重要基础。本讲稿第四十六页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场一、时谐电磁场的复数表示式 对于时谐场中的物理量，以电场强度 为例可表示为：式中，分别为 E 的各分量在 点处的振幅；分别为 E 的对应分量在 点处的初始相角；是角频率，即单位时间内相位的变化量。其它场矢量也可以表示成类似的形式，这种表示式称为瞬时表示式。本讲稿第四十七页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场 可以看出，瞬时表示式比较繁琐，若直接用于分析、计算将比较麻烦。如果我们将时谐场的场矢量、激励源都用复数表示，并将场方程改写成复数形式，将会使时谐场的计算、分析大为简化。下面我们先讨论时谐场量的复数表示式，然后讨论场方程的复数形式。仍以电场强度为例，对上式应用欧拉公式，有：本讲稿第四十八页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场式中，分别是 各分量在 点处的复振幅，它们包含了 的相应分量在空间分布的全部信息；而 是在 点处的复振幅矢量。相反，我们可以通过上式由 和 还原出瞬时表达式 ，因此用 来代替 既简洁又完备。同样，场量 D，H，B，J 和 都可以用上述方法表示成相应的复矢量或标量。需要特别注意的是，只有时谐场才能写成复数表示式。瞬时表示式与复数表示式的相互转换非常重要，分析、研究时为了方便起见，往往需要将一种表示式转换为另一种表示式。本讲稿第四十九页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场 下面举例说明转换过程及需要注意的地方。(1)。这是复数表示式，转换成瞬时表示式为：(2)。这是复数表示式，转换成瞬时表示式为：注意：复系数 j 要写成 e 的指数形式。本讲稿第五十页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场(3)。这是瞬时表示式，转换成复数表示式。注意：由欧拉公式我们知道，一个复数的实部是cos函数，所以首先要将所有的时谐函数都转换成cos函数，有：本讲稿第五十一页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场(4)。这是瞬时表示式，转换成复数表示式。注意：要将 前的负号转化成正号，有：本讲稿第五十二页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场二、时谐电磁场的频域麦克斯韦方程组及边界条件和结构方程 既然电磁场量可以用复数表示，则麦克斯韦方程组、边界条件和结构方程也可以用复数表示。下面以第一方程为例来讨论。首先将第一方程 中的所有物理量都用复数表示式来表示，即：由于取实部的“Re”运算与偏微分算子 、无关，所以可交换它们的运算次序，得：即：本讲稿第五十三页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场要使上式对任意 t 都成立，必须有：即：上式就是复数形式得第一方程，也称为频域全电流定律。将上式与瞬时方程比较可知：将时谐场瞬时方程中的所有物理量的瞬时表示式用对应的复数表示式替换，并将偏微分算子用 替换，即可得到对应的复数形式方程(频域方程)。因此，类似地可写出其它三个麦克斯韦方程相应的频域方程为：同样，时谐场的频域结构方程为：本讲稿第五十四页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场 频域边界条件为：三、复坡印廷矢量和复坡印廷定理1.复坡印廷矢量 前面我们讲过，表示时变场在时刻 t、空间 点处的能流密度，称为瞬时坡印廷矢量或瞬时能流密度。时谐电磁场场矢量随时间 t 做时谐变化，其瞬时能流密度将随 t 以固定周期变化，下面讨论其复数形式。本讲稿第五十五页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场 可表示成如下形式：式中，分别是 的共轭，因此 为：本讲稿第五十六页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场上式右边第一项不随时间变化，第二项以 为角频率随时间 t 变化。因此 是一个周期函数，它在每个周期 T 内的时间平均值为：就称为平均坡印廷矢量或平均能流密度，并定义复矢量：为复坡印廷矢量或复能流密度。由上面两式可知，的实部就是平均能流密度。注意：并不是 的复数表示式，即 。这是因为，尽管 都是时谐函数，但 是周期函数，不是时谐函数，因此只能通过上述定义式来求解。本讲稿第五十七页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场 由复坡印廷矢量来求平均功率十分方便，而且实际问题中通常关心的是平均功率而不是瞬时功率。因此，复坡印廷矢量具有很大的实用价值。例：已知矩形波导中主模的电磁场如下，求通过矩形波导横截面的平均功率。解：将 E 和 H 写成复数表示式，有：azyxb本讲稿第五十八页，共七十二页2.复坡印廷定理 坡印廷定理也有其复数形式。在体积 V 的边界曲面 S 上求复坡印廷矢量 的面积分，并应用散度定理，得：4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场本讲稿第五十九页，共七十二页 根据矢量恒等式 及和 代入上式，得：这就是复坡印廷定理。若媒质参数 均为实数，则有：式中，就是体积 V 中的平均损耗功率，分别是体积 V 中的平均磁场能量和平均电场能量。4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场本讲稿第六十页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场因此，复坡印廷定理可写为：上式表明，在体积 V 中无外加源的情况下，通过边界面 S 流入体积 V 中的复功率 的实部正好等于体积 V 中的平均损耗功率，而虚部等于体积 V 中平均磁场能量与平均电场能量之差的 倍，是流入 V 中的无功功率。四、时谐场的复波动方程 时谐场的波动方程也可以写成复数形式。将有源瞬时波动方程中的场矢量写成复数表示式，算子 分别用 代替，即可得到有源区域中的复波动方程：本讲稿第六十一页，共七十二页4.7 4.7 时谐电磁场时谐电磁场式中，。这两个方程称为场矢量的亥姆霍兹方程。令 ，即可得到无源、不导电媒质中的复波动方程：前面我们得到波动方程的达朗贝尔解为其中，函数 f、g 的具体表达式取决于场源的空间分布形式及其时变形式。若场源随时间做时谐变化，则 f、g 也是关于时间 t 的时谐函数，电磁场是时谐电磁场。本讲稿第六十二页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射 电磁辐射的问题，实际上是已知某区域中的时变电流或时变电荷，求空间中的电磁场分布以及电磁波在空间中的传播问题。天线是电磁辐射的基本装置，因此，电磁辐射的问题又是已知天线上的电流分布，求解空间中的电磁场分布以及其电磁波在空间传播的问题。电流元辐射 一段载有均匀同相的时变电流的导线称为电流元，电流元的 d l，且 l ,l r。Ild 均匀同相电流是指导线上各点电流的振幅相等，且相位相同。本讲稿第六十三页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射 任何线天线均可看成是由很多电流元连续分布形成的，电流元是线天线的基本单元。很多面天线也可直接根据面上的电流分布求解其辐射特性。电流元具备的很多电磁辐射特性是任何其它天线所共有的。设电流元周围媒质是无限大的均匀线性且各向同性的理想介质。建立的坐标如左图示。利用矢量磁位 A 计算其辐射场。该线电流 I 产生的矢量磁位 A 为式中r 为场点，r 为源点。rIlzyx,P(x,y,z)o本讲稿第六十四页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射 由于 ，可以认为上式中 ，又因电流仅具有z 分量，即 ，因此 为了讨论天线的电磁辐射特性，使用球坐标系较为方便。那么，上述矢量位 A 在球坐标系中的各分量为 rIlzyx,AAzAr-A再利用关系式 ，求得磁场强度各个分量为本讲稿第六十五页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射 由 ，或者直接利用 ，根据已知的磁场强度即可计算电场强度，其结果为 上述结果表明，在球坐标中，z 向电流元场强具有 ，及 三个分量，而 。由此可见，可以认为电流元产生的电磁场为TM 波。通常，r 的区域称为远区。在电磁场中，物体的绝对几何尺寸是无关紧要的。具有重要意义的是物体的尺寸相对于波长的大小，以波长度量的几何尺寸称为物体的波长尺寸。本讲稿第六十六页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射位于坐标原点的 z 方向电流元的电磁场r 的区域称为远区。近区中的电磁场称为近区场，远区中的电磁场称为远区场。rIlzyx,EErH本讲稿第六十七页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射 近区场因 ，则上式中的低次项 可以忽略，且令 ，那么 将上式与静态场比较可见，它们分别是恒定电流元 Il 产生的磁场及电偶极子 ql 产生的静电场。场与源的相位完全相同，两者之间没有时差。可见，近区场与静态场的特性完全相同，无滞后现象，所以近区场称为似稳场。电场与磁场的时间相位差为 ，能流密度的实部为零，只存在虚部。可见近区场中没有能量的单向流动，近区场的能量完全被束缚在源的周围，因此近区场又称为束缚场。本讲稿第六十八页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射 远区场因 ，则上式中的高次项可以忽略，结果只剩下两个分量 和 ，得式中 为周围媒质的波阻抗。上式表明，电流元的远区场具有以下特点：（1）远区场为向 r 方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向 r 垂直，可见远区场为TEM波，电场与磁场的关系为 。（2）电场与磁场同相，复能流密度仅具有实部。能流密度矢量的方向为传播方向 r。这就表明，远区中只有不断向外辐射的能量，所以远区场又称为辐射场。本讲稿第六十九页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射天线的方向性 天线的方向性是天线的重要特性之一。任何天线都具有方向性，本节将介绍如何定量地描述天线的方向性。本讲稿第七十页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射小 灵 通 天 线本讲稿第七十一页，共七十二页4.8 4.8 电磁波的辐射电磁波的辐射本讲稿第七十二页，共七十二页